专题03 函数的性质及其应用（5大基本题型+4大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题03 函数的性质及其应用 1、 基础题型 1、 指对幂函数比较大小 2、 指数函数模型、对数函数模型应用 3、 根据函数的单调性解不等式 4、 函数性质的综合 5、 函数零点问题 2、 重难点题型 1、 函数的奇偶性求参数和解不等式 2、 函数不等式恒成立问题 3、 函数的实际应用 4、 函数新定义问题 指对幂函数比较大小 1．（23-24高一上·北京·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京通州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 指数型函数、对数型函数的应用 1．（23-24高一上·北京·期末）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 3．（23-24高一上·北京密云·期末）近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（    ） A．80个单位 B．120个单位 C．160个单位 D．320个单位 4．（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京东城·期末）某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（    ）（参考数据：，） A．20 B．16 C．12 D．7 根据单调性解不等式 1．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 2．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 . 3．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数给出下列五个结论： ①存在无数个零点； ②不等式的解集为（）； ③在区间上单调递减； ④函数的图象关于直线对称； ⑤对（），都有. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，是偶函数； ③当时，有3个零点； ④当时，对任意，都有． 其中所有正确结论的序号是 ． 函数零点问题 1．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知是函数的一个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京通州·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京密云·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 根据函数的奇偶性求参数和解不等式 1．（23-24高一上·北京房山·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)解关于的不等式. 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 函数不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数的图像如图所示，定义域为，其中，，当时.图像是二次函数的一部分，其中顶点，当时，图像是指数函数的一部分. (1)求函数的解析式: (2)求不等式的解集： (3)若对于，恒有恒成立.求出的取值范围（不要求计算过程）. 2．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)若0是函数的一个零点，求的值并判断函数的奇偶性； (2)若函数同时满足以下两个条件，求的取值范围. 条件①：，都有； 条件②：，使得. 3．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 5．（23-24高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的奇函数，当时． (1)求的解析式； (2)根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 函数的应用 1．（23-24高一上·北京东城·期末）某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． (1)求出S关于的函数解析式； (2)若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元. (1)若旅游团人数为40，求每人应交的费用； (2)设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式； (3)求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大. 函数的新定义 1．（23-24高一上·北京房山·期末）若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. (1)分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； (2)若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·北京顺义·期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明） (2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围. 3．（22-23高一上·北京·期末）若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的性质及其应用 1、 基础题型 1、 指对幂函数比较大小 2、 指数函数模型、对数函数模型应用 3、 根据函数的单调性解不等式 4、 函数性质的综合 5、 函数零点问题 2、 重难点题型 1、 函数的奇偶性求参数和解不等式 2、 函数不等式恒成立问题 3、 函数的实际应用 4、 函数新定义问题 指对幂函数比较大小 1．（23-24高一上·北京·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 故，， ，故， ，故， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由在上单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 综上所述：. 故选：D. 4．（23-24高一上·北京通州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以；，；，；所以. 故选：D 指数型函数、对数型函数的应用 1．（23-24高一上·北京·期末）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 【答案】D 【详解】由已知，解得，即， 推测此古生物的死亡时间为年，则，， 所以，． 故选：D． 3．（23-24高一上·北京密云·期末）近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（    ） A．80个单位 B．120个单位 C．160个单位 D．320个单位 【答案】C 【详解】因为两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为， 所以，所以，所以， 当两岁燕子飞行速度为时，，解得，所以， 即两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到160个单位. 故选：C 4．（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 所以， 故选：D 5．（23-24高一上·北京东城·期末）某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（    ）（参考数据：，） A．20 B．16 C．12 D．7 【答案】B 【详解】根据题意可得， 则，， 则经过n年时，有， 即，则， 所以， 则. 故选：B. 根据单调性解不等式 1．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数是上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 3．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为， 因为，， 由可得，即的图象在图象的上方， 画出的图象，如下图，    由图可知：不等式的解集是. 故选：D. 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：的图象关于点对称； ； 又在上连续不断，且在上单调递增， 所以在上单调递增. . 故选：B 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 【答案】②④ 【详解】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，则，①错误； 在时，没有最大值，在时，有最大值， 因此有最大值，则，，②正确； 由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，则，③错； 若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，因此，解得，④正确． 故答案为：②④．    2．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【详解】当时，，则方程， 若， 若，与前提矛盾，舍去， 所以当时，方程有唯一解，故①正确； 当时， 若， 若， 易知在上单调递减， 则当时,，且在上单调递减， 当时，，则， 此时， 作出函数与的草图如下， 可知当时，方程有三个解，故②正确； 因为且，可知恒成立， 若，由上可知在上单调递减， 且时，，此时； 若，易知在上单调递增，即， （i）当时，，则， （ii）当时，在时，，此时； 则当时，取不到最小值，故③错误； 由上可知和时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，故④错误. 故答案为：①② 3．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数给出下列五个结论： ①存在无数个零点； ②不等式的解集为（）； ③在区间上单调递减； ④函数的图象关于直线对称； ⑤对（），都有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，由可得且，即函数的定义域为， 令可得，则，且， 故，所以函数有无数个零点，①对； 对于②，当时，，此时，则， 故当时，，而（），②错； 对于③，，， 因为，即，故， 故函数在上不可能单调递减，③错； 对于④，对任意的，， 所以函数的图象关于直线对称，④对； 对于⑤，对（），， 则有，从而， 假设函数在上的最大值点为，则， 因为函数在上单调递增，且， 对任意的，且，则， 所以， 则，⑤对. 故答案为：①④⑤. 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，是偶函数； ③当时，有3个零点； ④当时，对任意，都有． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【详解】因为为偶函数，且当时，， 当时，可得，所以， 对于①中，当时，， 令，解得， 如图所示，， 结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；    对于②中，当时，可得， 令，即，解得或， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得， 即，其中，所以， 所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确； 对于③中，当时，令，即，解得， 当时，令，即，解得， 当时，令，即，解得或， 若时，函数有三个零点，分别为，和； 若时，即时，函数有三个零点，分别为，和； 若时，即时，函数有三个零点，分别为，和； 综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确； 对于④中，当时，令，即，解得， 将点代入函数，可得，解得， 如图所示，当时，函数，所以④不正确. 故答案为：①③.    函数零点问题 1．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知是函数的一个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 又因为是函数的一个零点， 所以时，时， 若，则. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京通州·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 故函数零点的区间是. 故选：C 3．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知， ， ， 即， 因为，所以， 则，当时， 解得：. 故选：D 4．（23-24高一上·北京密云·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点，所以没有一个零点，不合题意； 若，，画出函数的图象如下图所示：    由图知当时，函数恰有一个零点0，满足题意； 若，当时，由得，此时函数恰有一个零点， 要使函数恰有一个零点，则当时，函数无零点， 即方程无解，又当时，，所以，即， 记，则函数单调递增，且， 所以，所以； 综上，的取值范围是. 故选：D 5．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 又， 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 则有两个不相等的实数根，也即的图象有两个不同的交点； 在直角坐标系中，作出的图象如下所示： 数形结合可知，要满足题意，则. 故选：B. 6．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】A 【详解】当时，函数在上单调递增，，显然， 而，即恒有，函数在上无零点； 当时，，函数取值集合为， 由，，得，解得或，在上有2个零点， 所以函数的零点个数为2. 故选：A 根据函数的奇偶性求参数和解不等式 1．（23-24高一上·北京房山·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)解关于的不等式. 【详解】（1）由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. （2）偶函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称. 因为， 所以. 即函数是定义在上的偶函数. （3）由， 得，即. 因为在是增函数，所以. 解得， 因为函数的定义域为. 因此不等式的解集为. 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a的值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 【详解】（1）函数为奇函数，则， 即，解可得； （2）由（1）知，在上单调递减； 证明：任取，，且， 则 ， 又由，，且，则，，，， 则有，即 所以函数在上单调递减． （3）因为有两个零点， 所以方程有两个不等实根，即有两个不等的实根， 任取，，且，由（2）知， 因为，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称， 又，，时，，作出图象如图， 所以当且时，与有两个不同交点，即有两个不等实根. 故k的范围为. 函数不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数的图像如图所示，定义域为，其中，，当时.图像是二次函数的一部分，其中顶点，当时，图像是指数函数的一部分. (1)求函数的解析式: (2)求不等式的解集： (3)若对于，恒有恒成立.求出的取值范围（不要求计算过程）. 【详解】（1）当时，图像是二次函数的一部分，设解析式为， 根据题意可知：，解得：， 当时，图像是指数函数的一部分，设解析式为， 根据题意可知：，所以， 所以. （2）由（1）可化为：，解得， 或，解得， 综上，不等式的解集为； （3）在坐标系中再作出的图象，如图，由图象可知不等式的解集为， 所以由题意，，所以，即的范围是． . 2．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)若0是函数的一个零点，求的值并判断函数的奇偶性； (2)若函数同时满足以下两个条件，求的取值范围. 条件①：，都有； 条件②：，使得. 【详解】（1）因为0是函数的一个零点，所以， 解得：，所以， 因为的定义域为，， 所以为奇函数. （2）条件①：，都有，即， 所以，即，则在上恒成立， 因为，所以，则. 故的取值范围为. 条件②：，使得，即， 即，即， 令，，则， 令，， 当时，，所以. 若函数同时满足两个条件①②可得：故的取值范围为. 3．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，即， 所以，经检验符合题意， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 因为， 任取， 所以， 则， 所以， 所以在上单调递增； （3）由（2）得在上单调递增， 又时，恒成立， 所以， 所以， 则在时恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以， 故的范围为． 4．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，，解得； （2）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 即，解得，所以实数a的取值范围为； （3）即， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 5．（23-24高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的奇函数，当时． (1)求的解析式； (2)根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【详解】（1）依题是定义在上的奇函数， 当时， 当时，， 则， 所以. （2）当时，， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故，即， 所以在上单调递减， 根据奇函数的性质可知在上的单调递减. （3）因为， 化为， 即， 根据在上的单调递减， 则，在时恒成立， 即恒成立， 故， 解得， 故实数k的取值范围为. 函数的应用 1．（23-24高一上·北京东城·期末）某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． (1)求出S关于的函数解析式； (2)若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 【详解】（1）依题意，当时，，所以， 所以，， 则（万元），. （2）若， 不等式化为， 解得 又， 所以隔热层的厚度不能超过6厘米. 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元. (1)若旅游团人数为40，求每人应交的费用； (2)设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式； (3)求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大. 【详解】（1）若旅游团人数为40，每人应交的费用为：元； （2）当时，， 当时，， 即； （3）当时，， 当时，， 即. 当时，中随的增大而增大， 所以时，， 当时，， 即时，. 所以当旅游团人数为时，旅行社可获得的利润L最大. 函数的新定义 1．（23-24高一上·北京房山·期末）若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. (1)分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； (2)若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为在上是单调递增的函数，在上是单调递减的函数， 则在上是单调递增的函数，可得， 任意，当时，， 所以函数在区间上不具有性质. 因为在区间上单调递减， 由可得，则，所以， 所以，对，， 即函数在区间上具有性质，且的取值范围是. （2）因为函数在上具有性质， 即对，都有， 且， 令， 可得对，都有， 方法1：，都有， 设，，可得，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递增. 则，.可得， 所以的取值范围为. 方法2：对，都有， 可得，解得， 若，函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为. 方法3：函数的对称轴为， 以对称轴与区间的关系分，，三种情况. （i）当时，，解得； （ⅱ）当时，，不合题意，舍去； （ⅲ）当时，，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围为. 2．（23-24高一上·北京顺义·期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明） (2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围. 【详解】（1），在上单调递增， 由得或1，所以存在优美区间， 是增函数，若存在优美区间，则，无解， 即函数不存在优美区间； （2）函数在上存在“优美区间”，设是一个优美区间， 在上递减，在上递增， 若，则，即有两个不等的非负根， 即，可得，当，即时， 设方程两根分别为， 则，则，所以； 若，则，即， 两式相减得，即， 所以，所以方程有两个不等的非正根， 方程整理为， 由，解得， 又满足题意，由，解得， 所以； 综上，的取值范围是或． 3．（22-23高一上·北京·期末）若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 【详解】（1）不存在，理由如下： 对于，则，整理得， ∵，则该方程无解， ∴函数不存在“飘移点”. （2）对于，则，整理得， ∵在内连续不断，且， ∴在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3）对于，则，即， ∵，则， 令，则， ∴， 又∵，当且仅当，即时等号成立， 则，， ∴，即， 故实数a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$