大单元复习04 数列- 2024-2025学年高二上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

大单元复习04 数列（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】数列的概念 9 【考点2】等差数列的概念 12 【考点3】等差数列的前n项和公式 14 【考点4】等比数列的概念 16 【考点5】等比数列的前n项和公式 18 知识梳理 一、数列的概念及一般形式 (1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 二、数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 三、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 四、数列与函数的关系 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 五、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 注意： (1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式； (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能给定一个数列. 六、数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 注意： 若已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an时，则需利用an与Sn之间的关系式an＝在这里，应注意an＝Sn－Sn－1不是对一切正整数n都成立，而是局限于n≥2的一切正整数n恒成立.因为当n＝1时，Sn－Sn－1无意义.这样，分n＝1与n≥2两种情况分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示.若不能，则用分段的形式表示. 七、等差数列的概念 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 注意： (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合； (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻； (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 八、等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列. (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a＋b＝2A. 注意： (1)任意两个实数都有等差中项. (2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列. 九、等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 注意： (1)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项； (2)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项. 十、从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d. 注意： 等差数列具有关于n的一次函数的结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列为递增数列，d＝0时，数列为常数列，d<0时，数列为递减数列. 十一、等差数列的判定与证明 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2). (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 十二、由等差数列构造新等差数列 (1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 十三、等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n). 十四、等差数列两项或多项之间的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 十五、等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋ (2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d. 注意： Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d. 十六、等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0). (6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 十七、等差数列前n项和Sn的函数特征 前n项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋n. 十八、等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. (2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 十九、等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 注意： (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉； (2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 二十、等比中项 等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列. (2)结论：G叫做a，b的等比中项. (3)满足的关系式：G2＝ab. 注意： ①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列； ②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 二十一、等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 二十二、等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点. 注意： (1)a1>0，q>1时，数列为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列为负项的递减等比数列；(4)a1<0，0<q<1时，数列为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列为常数列；(6)q<0时，数列为摆动数列，奇数项符号相同，偶数项符号相同. 二十三、等比数列的判定与证明 判断等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2). (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 二十四、等比数列通项公式的推广 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*). 注意：　 公式an＝am·qn－m中的n，m都属于正整数，n>m，n＝m，n<m都成立. 二十五、“子数列”性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk. 二十六、等比数列的常用性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al. (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列. (4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. (5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. 二十七、等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 注意： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝). 二十八、等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 二十九、错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法. 三十、等比数列前n项和的相关性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)，S奇＝a1＋qS偶. 注意： (1)对于有些数列问题，必须充分挖掘题目中的隐含条件(如n的奇偶性等)，若忽略这些隐含条件，将导致多解或漏解. (2)等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 热考题型 【考点1】数列的概念 一、单选题 1．（2024·广东深圳·一模）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列，，，，，则是它的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 3．（24-25高三上·河南·期中）数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．7或8 D．6或7 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．该数列有3个负数项 B．该数列有无限多个正数项 C．该数列的最小项大于函数的最小值 D．该数列中的所有项均为奇数或4的倍数 8．（2021高二·全国·专题练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 10．（22-23高二上·福建漳州·期末）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（）， 12．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 13．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知数列满足，则 . 14．（21-22高二·全国·课后作业）如图，是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，…，，…的长度构成数列． （1）写出数列的前4项： ； （2）写出数列的一个递推公式： ． 四、解答题 15．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2） 已知数列满足且，求的通项公式. 16．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【考点2】等差数列的概念 一、单选题 1．（22-23高二下·全国·课后作业）设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2022·广东惠州·一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（21-22高一下·上海黄浦·期末）设等差数列满足，公差．若当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·江苏常州·期中）已知等差数列，下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 9．（22-23高三上·云南·阶段练习）若一个等差数列至少存在两项为质数，则称该数列为K数列．已知等差数列的公差为4，且为K数列，写出满足题意的的一个值： ． 10．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 四、解答题 11．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 12．（23-24高二上·上海·课后作业）（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 【考点3】等差数列的前n项和公式 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 7．（24-25高三上·贵州毕节·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 8．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．使的的最小值为2024 B． C．当取最小值时， D．为单调递减的等差数列 9．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 三、填空题 10．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 14．（20-21高三·云南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）已知，，设___________，求数列的通项公式. 在①，②，③，这3个条件中，任选一个解答上述问题. 注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分. 15．（22-23高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【考点4】等比数列的概念 一、单选题 1．（2023·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（    ） A．8 B．6 C． D．0 4．（2024·广东河源·模拟预测）记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2023·四川内江·一模）已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高二上·吉林通化·阶段练习）在递增等比数列中，，，则公比q为(     ) A． B．2 C．3 D． 7．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列满足，则（    ） A．公比 B． C．为等比数列 D．数列的公比为16 9．（23-24高二下·河南开封·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·重庆·期末）设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 三、填空题 11．（21-22高二·全国·课后作业）设是由实数构成的等比数列，若，，则的值为 ． 12．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 13．（2020·云南昆明·一模）已知等比数列的各项都是正数，，，则的公比为 . 四、解答题 14．（2023高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 15．（22-23高二下·山东潍坊·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 16．（22-23高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，，且. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 【考点5】等比数列的前n项和公式 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（   ） A．121 B．364 C．728 D．1093 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·重庆巫山·期末）下列说法正确的是（    ） A．若数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； 二、多选题 5．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 三、填空题 7．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 8．（21-22高二·全国·课后作业）我国古代数学典籍《九章算术》的第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第 天相遇． 四、解答题 9．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，． (1)求的通项公式： (2)记为的前n项和，若，求m． 10．（2022·福建宁德·模拟预测）设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习04 数列（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】数列的概念 9 【考点2】等差数列的概念 17 【考点3】等差数列的前n项和公式 23 【考点4】等比数列的概念 31 【考点5】等比数列的前n项和公式 39 知识梳理 一、数列的概念及一般形式 (1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 二、数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 三、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 四、数列与函数的关系 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 五、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 注意： (1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式； (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能给定一个数列. 六、数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 注意： 若已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an时，则需利用an与Sn之间的关系式an＝在这里，应注意an＝Sn－Sn－1不是对一切正整数n都成立，而是局限于n≥2的一切正整数n恒成立.因为当n＝1时，Sn－Sn－1无意义.这样，分n＝1与n≥2两种情况分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示.若不能，则用分段的形式表示. 七、等差数列的概念 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 注意： (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合； (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻； (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 八、等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列. (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a＋b＝2A. 注意： (1)任意两个实数都有等差中项. (2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列. 九、等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 注意： (1)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项； (2)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项. 十、从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d. 注意： 等差数列具有关于n的一次函数的结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列为递增数列，d＝0时，数列为常数列，d<0时，数列为递减数列. 十一、等差数列的判定与证明 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2). (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 十二、由等差数列构造新等差数列 (1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 十三、等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n). 十四、等差数列两项或多项之间的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 十五、等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋ (2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d. 注意： Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d. 十六、等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0). (6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 十七、等差数列前n项和Sn的函数特征 前n项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋n. 十八、等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. (2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 十九、等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 注意： (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉； (2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 二十、等比中项 等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列. (2)结论：G叫做a，b的等比中项. (3)满足的关系式：G2＝ab. 注意： ①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列； ②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 二十一、等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 二十二、等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点. 注意： (1)a1>0，q>1时，数列为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列为负项的递减等比数列；(4)a1<0，0<q<1时，数列为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列为常数列；(6)q<0时，数列为摆动数列，奇数项符号相同，偶数项符号相同. 二十三、等比数列的判定与证明 判断等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2). (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 二十四、等比数列通项公式的推广 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*). 注意：　 公式an＝am·qn－m中的n，m都属于正整数，n>m，n＝m，n<m都成立. 二十五、“子数列”性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk. 二十六、等比数列的常用性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al. (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列. (4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. (5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. 二十七、等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 注意： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝). 二十八、等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 二十九、错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法. 三十、等比数列前n项和的相关性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)，S奇＝a1＋qS偶. 注意： (1)对于有些数列问题，必须充分挖掘题目中的隐含条件(如n的奇偶性等)，若忽略这些隐含条件，将导致多解或漏解. (2)等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 热考题型 【考点1】数列的概念 一、单选题 1．（2024·广东深圳·一模）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列，，，，，则是它的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 3．（24-25高三上·河南·期中）数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．7或8 D．6或7 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．该数列有3个负数项 B．该数列有无限多个正数项 C．该数列的最小项大于函数的最小值 D．该数列中的所有项均为奇数或4的倍数 8．（2021高二·全国·专题练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 10．（22-23高二上·福建漳州·期末）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（）， 12．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 13．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知数列满足，则 . 14．（21-22高二·全国·课后作业）如图，是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，…，，…的长度构成数列． （1）写出数列的前4项： ； （2）写出数列的一个递推公式： ． 四、解答题 15．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2） 已知数列满足且，求的通项公式. 16．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C C C ABD CD BCD ABD 1．B 【分析】由题意可知一位自然数有3个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列举法列出符合题意得自然数，即可求解. 【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，两位自然数有个， 三位自然数有个，四位自然数有个， 又四位自然数为 2024为四位自然数中的第6个，所以. 故选：B 2．C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 3．D 【分析】根据给定的通项公式，判断其单调性及值的正负即可得解. 【详解】由，得当时，数列递减，当时，数列递增， 由，得，因此，当时，， 所以当该数列的前项和取得最小值时，的值为6或7. 故选：D 4．C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 5．C 【分析】计算数列的前几项求出周期，再结合周期性分组求和. 【详解】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 6．C 【分析】由函数解析式得到数列的通项公式，由分段函数的单调性法则列出不等式，从而求得实数的取值范围. 【详解】由题意知， 因为数列是递增数列， 所以当时，，即； 当时，，且， 所以，即，即， 所以或． 综上可得的取值范围为． 故选：C. 7．ABD 【分析】根据数列的通项公式可判断A、B、D，利用数列的单调性和函数的单调性可判断C. 【详解】对于和，令，解得， 所以数列前3项为负数项，从第5项开始后面的项均为正数项，故A正确，B正确； 对于C，由二次函数的性质可知，，故C错误； 对于D，，与同为奇数或同为偶数，故D正确； 故选：ABD 8．CD 【分析】直接根据数列中数据变化情况来判断即可. 【详解】选项C、D既是无穷数列又是递增数列， 而选项A是递减数列，选项B是摆动数列． 故选：CD. 9．BCD 【分析】 对于A,数列中的项与顺序有关判断；对于B,运用公式计算即可；对于C,D观察得出通项公式即可. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关，故数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是两个不同的数列，故A错误； 对于B，当时， 又是递增数列，故110是该数列的第10项，故B正确； 对于C，数列的一个通项公式是，故第8项是，故C正确； 对于D，数列变形为所以通项公式为，故D正确． 故选:BCD． 10．ABD 【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可. 【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，… 设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确； B：，故B正确； C：结合A分析知：，故C错误； D：，， 可得，故D正确. 故选：ABD. 11．/1.6 【分析】根据递推公式依次代值计算即可. 【详解】由（），， 则，， ，. 故答案为：. 12．； 【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式. 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 13．1 【分析】由题意可知数列是周期为的数列，且每项的积为，由此即可求出结果. 【详解】依题意，，，所以， 所以数列是周期为的数列，且每项的积为， 又，所以. 故答案为：1. 14． 1，，，2 （答案不唯一） 【分析】由题意可直接求出数列的前面四项；继而根据其规律可得数列的而一个递推公式. 【详解】由题意可得： , ; 由上面的结果可得数列的一个递推公式：， 故答案为：1，，，2； 15．（1）；（2） 【分析】（1）利用进行求解； （2）将原式变形成，利用累加法进行求解. 【详解】（1）当时，； 当且时，； . （2）由题设，即，而， 所以，且， 所以，显然也满足上式，故. 16．(1) (2) 【分析】（1）采用累乘法直接求解即可； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）由题意知：当时，， ； 当时，满足； 综上所述：. （2）由（1）知：， . 17．(1) (2). 【分析】（1）由当时，；当时，，计算即可得到所求通项公式； （2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值． 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，满足上式，所以. （2）由 . 所以，即的最小值为. 【考点2】等差数列的概念 一、单选题 1．（22-23高二下·全国·课后作业）设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2022·广东惠州·一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（21-22高一下·上海黄浦·期末）设等差数列满足，公差．若当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·江苏常州·期中）已知等差数列，下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 9．（22-23高三上·云南·阶段练习）若一个等差数列至少存在两项为质数，则称该数列为K数列．已知等差数列的公差为4，且为K数列，写出满足题意的的一个值： ． 10．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 四、解答题 11．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 12．（23-24高二上·上海·课后作业）（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C C B AD CD 1．C 【分析】根据题意可判断也是等差数列，进一步可判断数列为常数列，得解. 【详解】因为，都是等差数列，所以也是等差数列． 又因为，， 所以数列的公差为0，即数列为常数列． 所以的第37项为100. 故选：C． 2．C 【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得. 【详解】，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 3．C 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值. 【详解】根据等差数列性质可得， 则， ， 当且仅当，即，时，取“”号． 故选：C． 4．C 【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可. 【详解】充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．C 【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理. 【详解】由， 得， 得， 由和差角公式，得， 整理得， 所以 ，因为公差，所以， 则，所以， ， 设，其图像的对称轴方程为. 由题意，当时，数列的前项和取得最大值， 所以，解得. 则首项的取值范围是 故选：C 6．B 【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可． 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 7．AD 【分析】根据题意可利用公式法求出数列的通项公式，从而可求解 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 8．CD 【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，又由， 因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确； 对于B中，由，又由， 因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确； 对于C中，因为，可得，且， 又因为，所以 又由，所以等号不成立，即，所以C正确. 对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确. 故选：CD. 9．7（答案不唯一） 【分析】根据等差数列及K数列定义，取差值为4的整数倍的两质数作为其中两项即可取得. 【详解】同为等差数列及K数列，公差为4，由K数列的定义可得，数列有至少两质数项，差值为4的整数倍，如可取质数7、11作为其中两项，此时该数列取即可. 故答案为：7（答案不唯一） 10．3 【分析】根据等差中项的定义求解． 【详解】与的等差中项为． 故答案为：3. 11．(1) (2)是，第45项. 【分析】（1）由等差数列的定义确定新的公差即可求解； （2）由（1）所得通项公式代入验证即可 【详解】（1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设28是新数列的第项，令， 解得，所以28是新数列中的项，且是第45项. 12．（1）恒成立；（2）数列一定是等差数列 【分析】根据等差数列的定义验证（1）（2）结论即可. 【详解】（1）因为数列为等差数列，故当时，，所以，则恒成立； （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，则，所以 故数列一定是等差数列. 【考点3】等差数列的前n项和公式 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 7．（24-25高三上·贵州毕节·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 8．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．使的的最小值为2024 B． C．当取最小值时， D．为单调递减的等差数列 9．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 三、填空题 10．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 14．（20-21高三·云南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）已知，，设___________，求数列的通项公式. 在①，②，③，这3个条件中，任选一个解答上述问题. 注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分. 15．（22-23高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C B B B A AC BC AD 1．C 【分析】根据等差数列通项公式基本量计算出，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】由于，故，所以． 故选：C 2．C 【分析】 由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，. 故选：C. 3．B 【分析】对于等差数列的前n项和可知，所以，然后求解即可. 【详解】对于等差数列的前n项和满足， 知道，故． 故选：B 4．B 【分析】利用等差数列下标和的性质及前项和公式可得的通项公式，由可得等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，即可得结果. 【详解】因为为等差数列， ，所以，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数， 所以取得最小值时为4. 故选：. 5．B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B 6．A 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 7．AC 【分析】求得等差数列的首项和公差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， ，，， A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. D选项，， 由，解得，且 所以当取得最大值时，的值为或，D选项错误. C选项，， 由，解得，而， 所以的最大值为，C选项正确. 故选：AC 8．BC 【分析】根据得到，且，得到A错误，BC正确；求出公差，计算出，D错误. 【详解】AB选项，因为， ， 故，且，故的的最小值为1012，A错误，B正确； C选项，因为，故当时，取得最小值，C正确； D选项，设的公差为，因为，所以， 因为，所以， 故， 故为单调递增的等差数列，D错误. 故选：BC 9．AD 【分析】根据题意得到，，，从而逐项判断. 【详解】等差数列中，若且，则，，故. ，故A正确； ，故，故B错误； ，故C错误； ，，故，故D正确； 故选：AD. 10． 【分析】求出通项公式，得到当时，，当时，，再分组求和即可. 【详解】， 当时，，当时，， 故 故答案为： 11． 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 12．7 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可。 【详解】因为为等差数列，不妨设其公差为d，易知， 则，即是关于n的二次函数， 又，所以关于对称， 由二次函数性质知时，最小. 故答案为：7 13．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到所以是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：由，可得，且， 所以是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，解得． （2）解：由（1）知， 当时，， 又由符合上式，故， 则， 所以是首项为2，公差为4的等差数列． 14．（1）；（2）见解析. 【分析】（1）根据等差数列的性质可求，从而可求的通项. （2）根据题设中的递推关系可得，从而可得为常数列，据此可求的通项，从而可求相应的的通项公式. 【详解】（1）因为为等差数列，故，故， 而，故即，所以等差数列的公差为1， 所以. （2）因此，故， 所以，所以为常数列， 所以，所以， 若选①，则； 若选②，则； 若选③，则. 15．(1) (2)-50 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. （2）因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，. 【考点4】等比数列的概念 一、单选题 1．（2023·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（    ） A．8 B．6 C． D．0 4．（2024·广东河源·模拟预测）记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2023·四川内江·一模）已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高二上·吉林通化·阶段练习）在递增等比数列中，，，则公比q为(     ) A． B．2 C．3 D． 7．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列满足，则（    ） A．公比 B． C．为等比数列 D．数列的公比为16 9．（23-24高二下·河南开封·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·重庆·期末）设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 三、填空题 11．（21-22高二·全国·课后作业）设是由实数构成的等比数列，若，，则的值为 ． 12．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 13．（2020·云南昆明·一模）已知等比数列的各项都是正数，，，则的公比为 . 四、解答题 14．（2023高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 15．（22-23高二下·山东潍坊·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 16．（22-23高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，，且. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C A B B ACD BCD ABD 1．D 【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断. 【详解】角的终边不在坐标轴上，有，，，， 对于A，令，则， ，即，A不是； 对于B，令，则，即，B不是； 对于C，令，则， 于是，即，C不是； 对于D，，则，则一定成等比数列，D是. 故选：D 2．B 【分析】由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可. 【详解】因为，，成等比数列，得，且，得，由余弦定理，. 故选：B 3．D 【分析】由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出. 【详解】，，成等比数列，， ，化为，解得， 则. 故选：D. 4．C 【分析】根据给定条件，利用等比数列求出，再利用计算即得. 【详解】在非零数列中，，由，，得数列是等比数列，， 因此，所以. 故选：C 5．A 【分析】先通过求出，则可得数列的通项公式，代入可求得. 【详解】由已知， 则，解得， 故选：A. 6．B 【分析】根据等比数列通项公式基本量的计算，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】，， 故可得，，两式相比可得：， 即，解得或，又，故； 又为递增数列，故. 故选：B. 7．B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 8．ACD 【分析】A选项，利用求出公比；B选项，求出，相加得到答案；C选项，，从而得到；D选项，，得到，D正确. 【详解】A选项，设公比为，由得，解得，A正确； B选项，因为，所以，B错误； C选项，因为，所以，则， 故，为等比数列，C正确； D选项，因为，所以， 所以，所以数列的公比为16，D正确． 故选：ACD 9．BCD 【分析】对于A，令结合基本不等式可举出反例，对于B，由等差、等比中项即可判断；对于C，由等差数列求和公式以及等差数列性质即可判断；对于D，直接由定义验算即可. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 若， 则，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】设出的公比为，AB选项，利用等比数列的定义进行判断；CD选项，可举例说明. 【详解】设的公比为， A选项，，故一定为等比数列，A正确； B选项，，故一定为等比数列，B正确； C选项，不妨设，此时公比为1，则， 故不是等比数列，C错误； D选项，不妨设，此时， 所以当时，可能为公比为1的等比数列，D正确. 故选：ABD 11．4 【分析】由等比中项的定义并结合等比数列通项公式即可求得答案. 【详解】因为，所以或，记该等比数列公比为q，又因为，所以，所以． 故答案为：4. 12．5 【分析】根据等比数列性质结合对数运算运算求解即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且，可得， 所以. 故答案为：5. 13． 【解析】由等比数列下标的性质且的各项都是正数，可求得，再由，求得答案. 【详解】因为为各项都是正数的等比数列， 所以由，得 且.，则 故答案为： 【点睛】本题考查等比数列的性质求项，进而求公比，属于简单题. 14．(1)440 (2)205 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案； （2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案. 【详解】（1）由等差数列求和公式知． （2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而 ． 15．(1) (2)存在，序号，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）根据数列最大项的性质进行求解即可. 【详解】（1）设该等差数列的公差为，， 由， 因为成等比数列，所以， 由可得： （2）由上可知：，， 假设否存在最大项， 则有， 因为，所以，所以假设成立，数列是否存在最大项，序号. 16．(1) (2)不是 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解； （2）根据通项公式判断－81是否为此数列中的项即可. 【详解】（1）由题意知，则或 (舍去)，∴. （2）当时，.显然－81不是此数列中的项； 当时，,令，无解， ∴－81不是此数列中的项． 【考点5】等比数列的前n项和公式 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（   ） A．121 B．364 C．728 D．1093 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·重庆巫山·期末）下列说法正确的是（    ） A．若数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； 二、多选题 5．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 三、填空题 7．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 8．（21-22高二·全国·课后作业）我国古代数学典籍《九章算术》的第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第 天相遇． 四、解答题 9．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，． (1)求的通项公式： (2)记为的前n项和，若，求m． 10．（2022·福建宁德·模拟预测）设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B A BC ACD 1．B 【分析】由条件结合等比数列性质求，再根据等比数列通项公式求公比，首项，结合等比数列求和公式求. 【详解】在正项递增等比数列中，所以， 又，所以或（舍去）， 设数列的公比为，则，所以，所以. 故选：B. 2．A 【分析】根据等比数列的性质，求得数列的公比，再结合等比数列前项和公式，即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由题可知：； 又，也即，故. 故选：A. 3．B 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 4．A 【分析】 根据等差数列等比数列的性质，逐个验证选项中的结论. 【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确； 若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误； 若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误； 数列是等比数列，为前项和，当公比， 为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误. 故选：A 5．BC 【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前项和公式判断BC选项. 【详解】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A是错误的； B选项中，设等差数列公差为，由前项和， 可知，所以B是正确的； C选项中，由可知，等比数列公比不为1，设公比为， 由等比数列前和公式得，则有，， 则常数，所以C是正确的； D选项中，等比数列中，当公比时，若，有，则就不是等比数列，所以D是错误的； 故选：BC． 6．ACD 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 7．/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 8．3 【分析】利用已知条件，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【详解】第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：； 第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：，两天总和：， 第三天：大老鼠与小老鼠应该能打洞尺数：， 所以两鼠在第3天相遇 故答案为：3 9．(1)或． (2)． 【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式； （2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）等比数列中，，． ，解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，或． （2）记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得． 10．(1) (2)4 【分析】（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式. （2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值. 【详解】（1）解：由题意得： 设数列的公比为．由，得 ，即 成等差数列 ，即，解得，或（舍去） ． （2）由，当时，，两式相减得，，对也成立 所以 设 当n为奇数时，可递减数列，所以 当n为偶数时，为递增数列，所以 所以的最小值为4． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$