精品解析：山东省济南市高新区五校联考2024-2025学年八年级上学期月考数学试题

济南高新区五校联考八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 在实数、、、、、中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 要使二次根式有意义，则x的值不可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 点A关于y轴的对称点A1坐标是（2，-1），则点A关于轴的对称点A2坐标是（　　） A. （-1，-2） B. （-2，1） C. （2，1） D. （2，-1） 4. 下列说法正确的是（　　） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的平方根是 5. 一次函数上有两点和，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小蒙 92 80 90 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 8. 如图，直线，Rt△ABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于点D，CB延长线交直线b于点E，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 9. 在平面直角坐标系中，直线：y＝x+3与直线：y＝mx+n交于点A（﹣1，2），则关于x、y的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1＋∠2＝90°，下列结论不一定成立的是（ ） A. AB∥CD B. ∠ABE＋∠CDF＝180° C. AC∥BD D. 若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 9的平方根是_________． 12. 一个正数的两个平方根分别是3与，则的值为___________． 13. 某少年军校准备从甲、乙、丙三名同学中选拔一名参加全市射击比赛．他们选拔比赛中，射靶十次的平均环数，，，，，．根据以上提供的信息，你认为应该选__________参加全市射击比赛． 14. 如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点和点，则第一架轰炸机位于的点P的坐标是__________． 15. 已知某直线经过点A(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.则该直线的函数表达式是___________. 16. 关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则； ③若点和均在该函数图象上时，则； ④若它的图象与直线是关于轴对称，则． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）计算：的面积； （3）若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 20. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 21. 小美打算在“母亲节”男一束百合和康乃组合的鲜花送给妈妈，已知买2支合和1支康乃共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（列二元一次方程组解答） （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且乃馨不多于9支，设买康乃馨a支，买这束鲜花所需总费用为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出最少费用． 22. 小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求小王的骑车速度，点C的横坐标； （2）求线段对应的函数表达式； （3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？ 23. 某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题： 最喜爱的节目 人数 歌曲 15 舞蹈 a 小品 12 相声 10 其它 b （1）在此次调查中，该校一共调查了　 　名学生； （2）a＝　 　；b＝　 　； （3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数． 24. 观察下列各式，发现规律： ；… （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）计算（写出计算过程）：； （3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来． 25. 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． （1）求直线的表达式： （2）的面积为 ； （3）连接，， ①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ； ②当时，请直接写出点P的坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南高新区五校联考八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 在实数、、、、、中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：、=3是有理数； 、、、是无理数； 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 要使二次根式有意义，则x的值不可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 四个选项中，只有D选项不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式的被开方数是非负数． 3. 点A关于y轴的对称点A1坐标是（2，-1），则点A关于轴的对称点A2坐标是（　　） A. （-1，-2） B. （-2，1） C. （2，1） D. （2，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】由题意由对称性先求出A点坐标，再根据对称性求出点关于轴的对称点坐标． 【详解】解：由点关于轴的对称点坐标是，可知A为，则点关于轴的对称点坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查对称性，利用点关于轴对称，横轴坐标变为相反数，纵轴坐标不变以及点关于轴对称，纵轴坐标变为相反数，横轴坐标不变进行分析． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义即可作出判断． 【详解】解：A、9的平方根是，说法错误，不符合题意； B、负数有立方根，说法错误不符合题意； C、的算术平方根是2，说法正确，符合题意； D、的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作；也考查了立方根的定义． 5. 一次函数上有两点和，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点和分别代入求得，比较即可求解． 【详解】解：∵一次函数上有两点和， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数（，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设共有人，物品价格元，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设共有人，物品价格元， 根据题意得，． 故选：A． 7. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小蒙 92 80 90 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可． 【详解】解：小莹的个人总分， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键． 8. 如图，直线，Rt△ABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于点D，CB延长线交直线b于点E，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求出∠ACD，再根据余角的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠1＝55°， ∴∠ACD＝∠1－∠A＝25°， ∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－25°＝65°， ∵， ∴∠2＝∠DCE＝65°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，直线：y＝x+3与直线：y＝mx+n交于点A（﹣1，2），则关于x、y的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案． 【详解】解：直线与直线交于点， 方程组的是． 故选C 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 10. 如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1＋∠2＝90°，下列结论不一定成立的是（ ） A. AB∥CD B. ∠ABE＋∠CDF＝180° C. AC∥BD D. 若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线的定义和三角形的内角和得到AB∥CD，再根据平行线的性质和外角定理可得答案． 【详解】解：∵AP平分∠BAC， ∴∠1=∠PAC=∠BAC， ∵CP平分∠ACD， ∴∠2=∠PCA=∠DCA， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠BAC+∠DCA=180°， ∴AB∥CD，故A一定成立； ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴∠ABE+∠CDF=180°，故B一定成立； 若∠ACD=2∠E， ∵∠ACD=2∠PCA， ∴∠PCA=∠E， ∴AC∥BD， ∴∠F=∠CAP， ∵∠CAB=2∠F，故D一定成立； 题中的条件不能说明AC∥BD，故C不一定成立． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定及性质以及平行公理等知识，三角形的内角和定理，灵活应用上述知识是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 一个正数的两个平方根分别是3与，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质； 根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某少年军校准备从甲、乙、丙三名同学中选拔一名参加全市射击比赛．他们选拔比赛中，射靶十次的平均环数，，，，，．根据以上提供的信息，你认为应该选__________参加全市射击比赛． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙三个人的平均数和方差进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴甲、乙的平均成绩大于丙的平均成绩， ∵， ∴甲的成绩比乙的成绩稳定， ∴应该选甲参加全市射击比赛， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的意义． 14. 如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点和点，则第一架轰炸机位于的点P的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查坐标问题，关键是根据和点的坐标以建立坐标系．根据和点的坐标建立坐标系，根据坐标系解答即可． 【详解】解：和点， 则建立如下图所示平面直角坐标系：     可得点的坐标为， 故答案为：． 15. 已知某直线经过点A(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.则该直线的函数表达式是___________. 【答案】y=x+2或y=-x+2 【解析】 【分析】先画出函数大致图，结合图象分两种情况讨论，根据三角形的面积为2求出函数与x轴交点坐标，即可求出函数解析式 【详解】如下图，∵点A(0,2) ∴OA=2 当直线与x轴相交于时， ∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2， ∴, 解得，故 设该直线的解析式为y=kx+2 将（2,0）代入得0=2k+2，解得k=-1 ∴y=-x+2 当直线与x轴相交于时，同理可求 将代入得0=-2k+2，解得k=1 ∴y=-x+2 故该函数表达式为：y=x+2或y=-x+2 填：y=x+2或y=-x+2. 【点睛】本题考查一次函数与几何图形问题.能根据函数与两坐标轴围成的三角形的面积为2求出它与x轴的交点坐标是解决此题的关键.另外本题一定要分交点在x轴正半轴和x轴负半轴两种情况讨论. 16. 关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则； ③若点和均在该函数图象上时，则； ④若它的图象与直线是关于轴对称，则． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用函数的增减性质可判断①；利用平移的性质可判断②；把两个点的坐标分别代入，解方程组消去m，可判断③；根据轴对称的性质可判断④． 【详解】解：①当时，则，故的值随着值的增大而增大；故①说法正确； ②将该函数图象向下平移2个单位后，得到， 则，， 解得，故②说法错误； ③若点和均在该函数图象上时， 则， 解得，故③说法错误； ④直线与轴交于点，与轴交于点， 依题意得，， 解得，故④说法正确； 综上，正确的说法有①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，数形结合解题是关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的性质分别化简，再利用二次根式的除法运算法则计算，进而合并得出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，解题的关键是正确化简各数． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）两个方程相加，得出，求出代入②求出y即可； （2）①×4-②×3，得出，求出代入①求出x即可． 【详解】1）， ①+②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 故方程组的解为； （2）， ①×4-②×3得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）计算：的面积； （3）若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，再结合图形写出的坐标； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交轴于，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 由图可得：； 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴， 故当点、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 20. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°． 【解析】 【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明； （2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°． 【详解】（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°. ∵AD∥EF . （2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 21. 小美打算在“母亲节”男一束百合和康乃组合的鲜花送给妈妈，已知买2支合和1支康乃共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（列二元一次方程组解答） （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且乃馨不多于9支，设买康乃馨a支，买这束鲜花所需总费用为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出最少费用． 【答案】（1）（1）买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元； （2）（2）w＝﹣x+55；买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元． 【解析】 【分析】（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，根据题意，2支合2n元和，1支康乃馨m元，共花费14元，3支康乃馨3m元， 2支百合2n元，多2元，列方程组求解即可； （2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式w=-x+55，然后根据函数的性质和康乃馨不多于9支求函数的最小值即可． 【小问1详解】 解：设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元， 则根据题意得：， 解得： ， 答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元； 【小问2详解】 ①根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55， ②∵康乃馨不多于9支， ∴x≤9， ∵﹣1＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝9时，w最小， 即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元）， 答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意运用总价与单价、数量的关系写出方程组或函数关系式． 22. 小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求小王的骑车速度，点C的横坐标； （2）求线段对应的函数表达式； （3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？ 【答案】（1）18千米/小时， （2）； （3）4.5千米 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标； （2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式； （3）将代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离． 【小问1详解】 解：由图可得， 小王的骑车速度是：(千米/小时)， 点C的横坐标为：； 【小问2详解】 设线段对应的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为； 【小问3详解】 当时，， ∴此时小李距离乙地的距离为：（千米）， 答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有千米． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23. 某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题： 最喜爱的节目 人数 歌曲 15 舞蹈 a 小品 12 相声 10 其它 b （1）在此次调查中，该校一共调查了　 　名学生； （2）a＝　 　；b＝　 　； （3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数． 【答案】（1）50；（2）8，5；（3）108°；（4）240人. 【解析】 【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数， （2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值， （3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可， （4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数． 【详解】（1）12÷24%＝50人 故答案为50． （2）a＝50×16%＝8人， b＝50﹣15﹣8﹣12﹣10＝5人， 故答案为8，5． （3）360°×＝108° 答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°； （4）1200×＝240人 答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人． 【点睛】考查扇形统计图、频数统计表的制作方法，明确统计图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键． 24. 观察下列各式，发现规律： ；… （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）计算（写出计算过程）：； （3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来． 【答案】（1）5，6；（2）；（3）（n+1）（自然数n≥1）． 【解析】 【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可； （2）利用二次根式性质计算得到结果即可； （3）归纳总结得到一般性规律，写出即可． 【详解】解：（1）根据题意得： 故答案为5，6； （2） , =2015； （3）归纳总结得： （自然数n≥1）． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25. 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P= 180°；（3）∠N的度数为45° 【解析】 【分析】(1)过点P作PE// AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A= 50°，∠EPD= 180°- 150°= 30°，即可求出∠APD的度数； (2)过点P作PE// AB，则AB//PE//CD，根据平行线的性质可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+ ∠PAB= 180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°； (3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO= 90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出 ∠PAN +∠PAB= 90°，由∠POA+∠PAN= 90°，得出∠POA=∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN =∠PDC，即∠AND=180°- (PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【详解】(1)如图2，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB//PE//CD， ∴∠APE=∠A = 50°， ∠DPE+∠D= 180°， ∴∠DPE= 180°- 150° = 30° ∴∠APD=∠APE+∠DPE = 50°+ 30°= 80° (2)如图3，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB// PE//CD， ∴∠DPE=∠CDP=β， 又∠APE+∠PAB= 180° ∴∠APE= 180°- a， ∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+ 180°-a ∴β=∠DPA + 180°- a， ∴a+β-∠P= 180°， 故答案为：∠a+∠β-∠P= 180°； 【联系拓展】如图4，PD交AN于点O， ∵ AP⊥PD， ∴∠APO=90° ∵∠PAN +∠PAB=∠APD， ∴∠PAN +∠PAB= 90° ， ∵∠POA+∠PAN = 90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND= 180°-∠NOD-∠ODN = 180°- (∠PAB +∠PDC)， 由(2)得： ∠CDP+∠PAB-∠APD= 180° ∴∠CDP+ ∠PAB= 180°+∠APD， ∴∠AND= 180°- (∠PAB +∠PDC) = 180°- (180°+∠APD) = 180°- (180° + 90°) = 45° 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线，对顶角，平行公理的应用，角平分线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． （1）求直线的表达式： （2）的面积为 ； （3）连接，， ①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ； ②当时，请直接写出点P的坐标为 ． 【答案】（1）； （2）3 （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式： （2）由直线可得，由直线得，即可得的面积； （3）①设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可； ②设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线得， ， 点， 设直线的解析式是， 点， ，解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：直线与轴相交于点， ， 直线与轴相交于点， ， 点， ， ， 故答案为：3； 【小问3详解】 解：①设点的坐标为， Ⅰ点在轴正半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； Ⅱ点在轴负半轴时， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； ②设点的坐标为， Ⅰ点在轴正半轴时，过点作轴于， ， ， ， ， 直线，令，则， ， ， ，，， ， ， 设点的坐标为； Ⅱ点在轴负半轴时， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $