清单03 相似三角形（考点清单，9个考点梳理+16个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期湘教版

清单03相似三角形(9个考点梳理+16个题型解读+提升训练) 【清单01】比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【清单02】比例性质的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【清单03】平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【清单04】相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 【清单05】相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 【清单06】相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 【清单07】相似三角形的性质与盘底 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【清单08】位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 【清单09】位似图形的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【考点题型一】成比例线段 【例1】下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段成比例，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．理解并掌握线段成比例的计算是解题的关键． 根据成比例线段的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，故A选项不符合题意． ∵，故B选项不符合题意． ∵，故C选项符合题意． ∵，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】已知线段a，b，c，d，下列各组线段中a，b，c，d不成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段线段a，b，c，d成比例，则，据此判断即可． 【详解】解：A、，，即，a，b，c，d不成比例，符合题意； B、，，即，a，b，c，d成比例，不符合题意； C、，，即，a，b，c，d成比例，不符合题意； D、，，即，a，b，c，d成比例，不符合题意． 故答案为：A． 【变式1-2】下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，掌握相关知识是解题的关键．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、 ， ，，，是成比例线段，故选项符合题意； B、 ， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、 ， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； D、 ， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； 故选：A． 【考点题型二】图上距离与实际距离 【解题思路】比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位） 【例2】在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，设这条道路的实际长度为，则：，解方程，最后统一单位，即可求解． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： ． 解得， 这条道路的实际长度为． 故答案为：． 【变式2-1】在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为 米． 【答案】500 【分析】设A，B两地间的实际距离为，根据比例尺为的地图上，测得A，B两地间的图上距离为，得：，求出x再转换单位即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离为， 根据题意列方程得，， 解得， ， ∴A、B两地的实际距离为500米， 故答案为：500． 【点睛】本题考查了比例线段，比较简单，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位． 【考点题型三】利用比例的性质求解 解题方法：与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果. 【例3】已知线段如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，再把a、b、c用k替换后约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如果，那么下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质逐项判断即可； 【详解】解：A、由可得：；本选项不符合题意； B、由可得：；本选项不符合题意； C、由可得：；本选项符合题意； D、由可得：；本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：D． 【考点题型四】黄金分割 【例4】已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的概念，如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．根据黄金分割的概念得到，从而得出结果． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：A． 【变式4-1】如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 利用黄金分割的定义列出比例式即可求出的长． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 或（舍去）， 故答案为：C． 【变式4-2】已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点，掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可求出结论． 【详解】解：根据黄金分割的定义， ∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 【考点题型五】相似图形的识别 【例5】下列图形不是相似图形的是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面照片 D．大小不同的两张中国地图 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似图形的定义．利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人的侧身照片和正面照片，不是形状相同的图形，符合题意； D、大小不同的两张中国地图，是形状相同的图形，不合题意； 故选：C． 【变式5-1】下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式5-2】下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个圆 B．两个矩形 C．两个直角梯形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等是解题关键． 【详解】解：两个圆是相似图形，故A选项符合题意， 两个矩形对应角相等，对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故B选项不符合题意， 两个直角梯形的对应角不一定相等，不一定是相似图形，故C选项不符合题意， 两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似图形，故D选项不符合题意， 故选：A． 【考点题型六】利用相似图形的性质求解 【例6】图，四边形与四边形相似，若，则 °． 【答案】103 【分析】根据相似图形对应边相等求出，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：103． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，熟知相似图形对应边相等是解题的关键． 【变式6-1】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ． 【答案】1 【分析】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4， ∵四边形EFDC是矩形， ∴EF＝CD＝2，CE＝DF， ∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA， ∴， 即＝， ∴CE＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 【变式6-2】五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 【变式6-3】如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【考点题型七】利用平行线分线段成比例求解 【例7】如图，直线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【变式7-1】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 【变式7-3】如图，已知，它们依次交直线于点和点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先根据平行线分线段成比例定理可得，然后根据求解即可．熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ，即， ， ． 【考点题型八】作平行线构造成比例线段 解题方法：当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 【例8】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，，都在横线上.若线段，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，    则，即， 解得：，． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式8-1】如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （  ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可． 【详解】解：如图，作交于F，    ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 【变式8-2】如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．作平行于交于G，．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得；然后根据为的中点，可得，所以由等量代换证得结论． 【详解】解：如图，作交于G，则 ， ∵， ∴， 根据比例的性质得：， 又E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题： (1)三角形中位线定理是： ； (2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；    (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ； (4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．    【答案】(1)三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 (2)； (3)42 (4)，证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可； （2）先证和全等，再说明是△ABG的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （3）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于于，再根据梯形面积公式计算即可； （4）连接、相交于O，过点O作于P，利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理得出是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【详解】（1）解：三角形中位线定理是：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （2）解：；． 证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，    ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴ ∴ ∴，， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （3）解：∵梯形的中位线长为， ∴梯形两底和的一半等于于， ∴ （4）解：， 证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查三角形与梯形中位线性质，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理．熟练掌握三角形中位线性质和应用是解题的关键． 【考点题型九】选择或补充条件证明两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【例9】如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】见详解 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】（1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 【变式9-1】如图， (1)要使，需要添加什么条件，说明理由； (2)在（1）的条件下，如果， ，则 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理添加，两个角相等，三角形相似即可证明； （2）根据三角形相似的判定定理即可求出； 【详解】（1）需要添加， ∵，， ∴， ∴， 又 ∴ （2）∵， ∴， 又∵， ∴ 【点睛】此题考查三角形的判定定理，解题的关键是熟悉三角形相似的判定定理和相似比． 【变式9-2】如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2），见解析 【分析】（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE，根据相似三角形的判定定理得出即可； （2）根据相似三角形的性质定理得出∠E＝∠C，再根据相似三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE， ∵，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）； （2）△AOE∽△COD， 理由是：∵△ABC∽△ADE， ∴∠E＝∠C， ∵∠AOE＝∠COD， ∴△AOE∽△COD． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理进行推理是解此题的关键． 【考点题型十】利用相似三角形的性质求解 解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 【例10】如图，是的边上的一点，连接，已知，，， (1)证明； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定， （1）已知，，根据两组对应角相等的三角形相似证明结论； （2）利用相似三角形对应边成比例先求出的长，再算出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【变式10-1】如图，，下列结论错误的是（　　） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，平分； 综上：只有选项B错误，符合题意； 故选B． 【变式10-2】如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ．    【答案】 【分析】由，可得，证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【变式10-3】如图所示，在中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得与相似，求的长．    【答案】或． 【分析】本题考查了相似三角形的性质．由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分，两种情况求解；    当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，； ∴； 综上所述，或． 【考点题型十一】相似三角形性质与判定综合 【例11】如图，正方形的边长为4，，E为的中点． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证． （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 为的中点， ， ， 又， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， 【变式11-1】如图，在四边形中，点E，F在边上，连接 ，. (1)求证； (2)若，，，则 . 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据得，结合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证； （2）证即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即： ∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则 故答案为： 【变式11-2】【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， ∵为边的中线 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式11-3】有一块三角形余料，它的边长，高．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？ 【答案】矩形零件的两条边长分别为， 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式是解题的关键．由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设，则，易证，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：设矩形的边长，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴这个矩形零件的两条边长分别为，． 【考点题型十二】在网格中画与已知图形相似的三角形 【例12】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 【变式12-1】如图，的顶点与线段的端点，均在边长为的正方形网格的格点上．    (1)请找一个格点，使得，并画出； (2)①与的相似比是________；②． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)， 【分析】（1）利用相似三角形的判定方法，找到格点，即可； （2）由（1）即可得出相似比，根据相似三角形的对应角相等，得到，即可得出结果． 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似，是解题的关键．同时考查了勾股定理． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    由图可知：，，，， ∴， ∴； （2）由（1）知与的相似比是； ∵， ∴， ∴， 由图可知：， ∴； 故答案为：，． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． (1)外接圆的圆心坐标是__________；外接圆的半径是__________； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是__________； (3)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念即可求出圆心坐标，然后勾股定理即可求出半径的长度； （2）根据位似变换和位似中心的概念解答； （3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答． 【详解】（1）解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点G，连接， 根据网格的特点可得圆心； ∴半径， 故答案为：；； （2）解：如图，连接，交于点，即位似中心， 根据网格的特点可知， 故答案为：； （3）解： ，且相似比为． 根据网格的特点作出，如图， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查的是格点正方形、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键． 【考点题型十三】相似三角形的实际应用-测量高度 解题方法：利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 【例13】如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 【答案】(1)灯杆的高度为6米 (2)能，小丽落在墙上的影长为0.6米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形对应成比例即可求出的长． （2）将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，证明，求得，说明小丽的影子不能完全落在地面上，证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴灯杆的高度为6米； （2）解：将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，如图所示． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小丽的影子不能完全落在地面上． 同理，可得出， ∴，即，∴． ∴小丽落在墙上的影长为米． 【变式13-1】如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走到达C处．已知小女孩在A处影子的长为，在C处影子的长为，求小女孩的身高． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，，再由等量代换得出，求解确定，然后代入原式中求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 代入求解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴小女孩的身高为． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质即应用举例，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【变式13-2】大明寺栖灵塔雄踞在古城扬州北郊蜀冈中峰之上，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量栖灵塔的高度，如图，栖灵塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为47.5m，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出栖灵塔的高度（结果精确到）． 【答案】栖灵塔的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．设，则，证明，得到，，根据，得到即，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ，，， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：栖灵塔的高度约为． 【考点题型十四】相似三角形的实际应用-测量宽度 解题方法：利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据三角形的对应边成比例，求出物体的宽度. 【例14】如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后，再选点，使，用视线确定和的交点．此时如果测得米，米，米，则两岸间的大致距离为 米． 【答案】100 【分析】证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【变式14-1】学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 【变式14-2】阅读下列材料，回答问题： 任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度．    工具：米长的标杆和米长的标杆，皮尺（有刻度）等． 小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度，测量过程如下： （1）小康站在河岸的一端点B处立了一根米长的标杆（）； （2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根米长的标杆（）； （3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上； （4）小康利用皮尺测出米． 求解过程： ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵米，米，米，设， ∴ ① ， 解得 ② ， 答：闽江河的一条支流宽度为※※※米． (1)补全小康求解过程中①②缺失的内容． (2)小康求得闽江河的一条支流的宽度用到的几何知识是______． (3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画出图形，并简要说明一下（不必计算）． 【答案】(1)， (2)相似三角形的判定与性质 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）根据利用了相似三角形的判定与性质进行作答即可； （3）如图，设计使可测量，，，通过，可计算求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵米，米，米，设， ∴， 解得， 答：闽江河的一条支流宽度为15米． 故答案为：，； （2）解：由题意知，用到的几何知识是相似三角形的判定与性质， 故答案为：相似三角形的判定与性质； （3）解：如图，在河岸一边，确定恰好在同一条直线上的三点B，D，C，利用皮尺测、的长，在端点C处，立一根米长的标杆（），在B点正对岸点A处（），测点A，D，E恰好在同一条直线上；由可证，计算求解即可；    【考点题型十五】坐标系与位似图形 【例15】如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，则与的面积比是（　　）    A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【分析】根据图形可知位似比为，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解： ， 则与的位似比为， 与的相似比为, 则与的面积比为, 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，求得位似比是解题的关键． 【变式15-1】如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，，根据位似图形的概念解答即可． 【详解】解：由平面直角坐标系可知：，， ∴与的相似比为：， 故选B． 【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键． 【变式15-2】如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置． 【详解】解：如图所示， 位似中心点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 【变式15-3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2) ； 【分析】（1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． 【详解】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 【考点题型十六】坐标系中画位似图形 解题方法：画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 【例16】如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由（1）作图可得，，，． 【变式16-1】如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C均在格点上，按下列要求完成作图． (1)以点A为位似中心，将放大3倍得到，请在网格中画出； (2)在线段上作点D，使得（要求：用无刻度的直尺，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似变换和相似三角形的判定和性质，熟练网格的特征是解题的关键； （1）根据位似的性质作图即可； （2）取格点M、N，连接交于点D，则，则，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，点D即为所求， 【变式16-2】如图平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)若与关于轴对称，则点的对称点点的坐标为 ； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的右侧，画出放大后的图形并直接写出点的坐标 ． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】此题考查了位似图形的作图和关于坐标轴对称的点的特征． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数进行解答即可； （2）作出 的位似变换后的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：若与关于轴对称，则点的对称点点的坐标为， 故答案为： （2）如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03相似三角形(9个考点梳理+16个题型解读+提升训练) 【清单01】比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【清单02】比例性质的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【清单03】平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【清单04】相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 【清单05】相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 【清单06】相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 【清单07】相似三角形的性质与盘底 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【清单08】位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 【清单09】位似图形的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【考点题型一】成比例线段 【例1】下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知线段a，b，c，d，下列各组线段中a，b，c，d不成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-2】下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【考点题型二】图上距离与实际距离 【解题思路】比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位） 【例2】在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长 ． 【变式2-1】在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为 米． 【考点题型三】利用比例的性质求解 解题方法：与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果. 【例3】已知线段如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如果，那么下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】黄金分割 【例4】已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 【变式4-3】（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点题型五】相似图形的识别 【例5】下列图形不是相似图形的是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面照片 D．大小不同的两张中国地图 【变式5-1】下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【变式5-2】下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个圆 B．两个矩形 C．两个直角梯形 D．两个等腰三角形 【考点题型六】利用相似图形的性质求解 【例6】图，四边形与四边形相似，若，则 °． 【变式6-1】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ． 【变式6-2】五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【变式6-3】如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【考点题型七】利用平行线分线段成比例求解 【例7】如图，直线，，，则的长是 ． 【变式7-1】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【变式7-2】如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【变式7-3】如图，已知，它们依次交直线于点和点，若，，求的长． 【考点题型八】作平行线构造成比例线段 解题方法：当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 【例8】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，，都在横线上.若线段，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （  ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式8-2】如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为 ． 【变式8-3】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题： (1)三角形中位线定理是： ； (2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；    (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ； (4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．    【考点题型九】选择或补充条件证明两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【例9】如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【变式9-1】如图， (1)要使，需要添加什么条件，说明理由； (2)在（1）的条件下，如果， ，则 【变式9-2】如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【考点题型十】利用相似三角形的性质求解 解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 【例10】如图，是的边上的一点，连接，已知，，， (1)证明； (2)求线段的长． 【变式10-1】如图，，下列结论错误的是（　　） A． B． C．平分 D． 【变式10-2】如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ．    【变式10-3】如图所示，在中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得与相似，求的长．    【考点题型十一】相似三角形性质与判定综合 【例11】如图，正方形的边长为4，，E为的中点． 求证： (1)． (2)． 【变式11-1】如图，在四边形中，点E，F在边上，连接 ，. (1)求证； (2)若，，，则 . 【变式11-2】【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【变式11-3】有一块三角形余料，它的边长，高．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？ 【考点题型十二】在网格中画与已知图形相似的三角形 【例12】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【变式12-1】如图，的顶点与线段的端点，均在边长为的正方形网格的格点上．    (1)请找一个格点，使得，并画出； (2)①与的相似比是________；②． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． (1)外接圆的圆心坐标是__________；外接圆的半径是__________； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是__________； (3)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 【考点题型十三】相似三角形的实际应用-测量高度 解题方法：利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 【例13】如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 【变式13-1】如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走到达C处．已知小女孩在A处影子的长为，在C处影子的长为，求小女孩的身高． 【变式13-2】大明寺栖灵塔雄踞在古城扬州北郊蜀冈中峰之上，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量栖灵塔的高度，如图，栖灵塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为47.5m，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出栖灵塔的高度（结果精确到）． 【考点题型十四】相似三角形的实际应用-测量宽度 解题方法：利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据三角形的对应边成比例，求出物体的宽度. 【例14】如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后，再选点，使，用视线确定和的交点．此时如果测得米，米，米，则两岸间的大致距离为 米． 【变式14-1】学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【变式14-2】阅读下列材料，回答问题： 任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度．    工具：米长的标杆和米长的标杆，皮尺（有刻度）等． 小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度，测量过程如下： （1）小康站在河岸的一端点B处立了一根米长的标杆（）； （2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根米长的标杆（）； （3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上； （4）小康利用皮尺测出米． 求解过程： ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵米，米，米，设， ∴ ① ， 解得 ② ， 答：闽江河的一条支流宽度为※※※米． (1)补全小康求解过程中①②缺失的内容． (2)小康求得闽江河的一条支流的宽度用到的几何知识是______． (3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画出图形，并简要说明一下（不必计算）． 【考点题型十五】坐标系与位似图形 【例15】如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，则与的面积比是（　　）    A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【变式15-1】如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ． 【变式15-3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【考点题型十六】坐标系中画位似图形 解题方法：画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 【例16】如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【变式16-1】如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C均在格点上，按下列要求完成作图． (1)以点A为位似中心，将放大3倍得到，请在网格中画出； (2)在线段上作点D，使得（要求：用无刻度的直尺，保留作图痕迹）． 【变式16-2】如图平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)若与关于轴对称，则点的对称点点的坐标为 ； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的右侧，画出放大后的图形并直接写出点的坐标 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$