清单02 一元二次方程（考点清单，5个考点梳理+12个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期湘教版

清单02 一元二次方程（5个考点梳理+12个题型解读+提升训练） 【清单01】一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 【清单02】解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 【清单03】一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 【清单05】一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 【考点题型一】一元二次方程的定义 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是一元二次方程的判断,掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 是一元二次方程，故本选项符合题意；    B． 是一元一次方程，故本选项不符合题意；    C． 是二元二次方程，故本选项不符合题意；     D． 是分式方程, 故本选项不符合题意． 故选A． 【变式1-1】下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式1-3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 【答案】B 【详解】本题考查了一元二次方程， 根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 【变式1-4】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 【考点题型二】用直接开方法解一元二次方程 【例2】一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法求解一元二次方程是解题的关键． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 【变式2-1】，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 【答案】A 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案． 【详解】解：、是一元二次方程的两个解，且， ， ，， 故选：A 【变式2-2】下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】解一元二次方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； 【考点题型三】用配方法解一元二次方程 【例3】把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 得，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式3-1】用配方法将方程变形为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即，故， 故答案为：3． 【变式3-2】将一元二次方程配方为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为，再进一步解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-3】配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【考点题型四】用公式法解一元二次方程 【例4】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【变式4-1】利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 【变式4-2】解一元二次方程： ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，其中涉及公式法等知识，掌握相关知识是解题关键． 方程变形为，根据公式法即可求解． 【详解】解：，即：， ∵，，， ∴， ， ， 则：，． 【变式4-3】解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： 利用公式法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【考点题型五】用因式分解法解一元二次方程 【例5】在数、、和中，是方程的根的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， 故选：B． 【变式5-1】等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 【变式5-2】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得：． 【考点题型六】一元二次方程判别式的应用 【例6】关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式6-1】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 【变式6-2】在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 【考点题型七】一元二次方程根与系数的关系 【例7】设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程两根为，则两根之和，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：方程的两个根为， ， 故选：C． 【变式7-1】若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式，进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴； 故选C． 【变式7-2】已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 【变式7-3】已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 【考点题型八】增长率问题（一元二次方程的应用） 【例8】保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并正确的列出方程． 根据题意两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子即可列出方程． 【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子， ， 故选：D． 【变式8-1】受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设快递量平均每年增长率为x，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 【变式8-2】某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 【答案】可变成本平均每年增长的百分率为20% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设可变成本平均每年增长的百分率为x，根据该菜农第3年的种植成本为万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设可变成本平均每年增长的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为． 【变式8-3】安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．在某次茶品交易会上，茶农小林参展首日签单100份，第三天签单144份，若连续三天签单数量的增长率相同，求增长率为多少？ 【答案】增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，设增长率为，根据“首日签单100份，第三天签单144份，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得， 解得或（不合题意，舍去）， 答：增长率为． 【考点题型九】利润问题（一元二次方程的应用） 【例9】上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为元袋，经市场调查发现，当销售单价为元时，每天可售出袋；销售单价每降低元，每天可多售出袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价降低元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价降低元，根据题意得， 故选：D． 【变式9-1】中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 (2)每个圆规的售价为11元 【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； （2）解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 【变式9-2】今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均增长率为，由题意列出一元二次方程求解即可； （2）设降价元，由题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 【变式9-3】某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 【答案】(1) (2)40元或者60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程． （1）利用待定系数法求解可得； （2）由题意可得，， 再求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 根据图象可知，点在上，代入可得， ∴ ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， 解得，， 答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元． 【考点题型十】几何问题（一元二次方程的应用） 【例10】我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 【变式10-1】某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2，如果把一些金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的围墙，下列长度的栅栏够用并节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的简单应用，二次根式的估值，根据题目设出未知数是基础，依据等量关系列写一元二次方程是解题关键． 设长方形围场长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽，再求出长方形周长即可解答． 【详解】解：设长方形围场长为米，则其宽为米， ， 解得米（负值已舍去）， 长方形周长为：米， 而A，B，C，D四个选项中大于且与最接近的是C选项：126m， 故选：C． 【变式10-2】如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 【考点题型十一】动点问题（一元二次方程的应用） 【例11】如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 【变式11-1】如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， ， ． 故选：B 【变式11-2】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【答案】2秒和4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及勾股定理；设秒后线段恰好平分的面积，分别求出,，得到，再通过勾股定理计算出，计算出，线段恰好平分的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时， ， ，符合题意， 当时， ， ，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 【变式11-3】如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1) (2)经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，解一元二次方程．解题的关键是掌握勾股定理，列出一元二次方程． （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：，， ∴， 当时，在中， ， 整理，得：， 解得：； 当时，的长度等于． （2）设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积，， ①当的面积为面积的时， 则： 整理，得： 解得：或； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； 经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分． 【考点题型十二】其他问题（一元二次方程的应用） 【例12】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 【变式12-1】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．由题意设参加聚会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，则可得每个人可碰次，继而可得人一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的人数为人， 根据题意得：， 整理，可得：， 解得：， 不合题意，舍去， 则参加聚会的人数为人， 故答案为：． 【变式12-2】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【变式12-3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式12-4】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 【变式12-5】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次方程（5个考点梳理+12个题型解读+提升训练） 【清单01】一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 【清单02】解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 【清单03】一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 【清单05】一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 【考点题型一】一元二次方程的定义 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【变式1-3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 【变式1-4】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【考点题型二】用直接开方法解一元二次方程 【例2】一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【变式2-1】，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 【变式2-2】下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】解一元二次方程：； 【考点题型三】用配方法解一元二次方程 【例3】把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【变式3-1】用配方法将方程变形为，则 ． 【变式3-2】将一元二次方程配方为的形式为 ． 【变式3-3】配方法解一元二次方程：． 【考点题型四】用公式法解一元二次方程 【例4】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】解一元二次方程： ． 【变式4-3】解下列方程： ． 【考点题型五】用因式分解法解一元二次方程 【例5】在数、、和中，是方程的根的为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式5-2】解方程： 【考点题型六】一元二次方程判别式的应用 【例6】关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 【变式6-1】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【变式6-2】在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【考点题型七】一元二次方程根与系数的关系 【例7】设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【变式7-1】若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式7-2】已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【变式7-3】已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【考点题型八】增长率问题（一元二次方程的应用） 【例8】保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 【变式8-3】安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．在某次茶品交易会上，茶农小林参展首日签单100份，第三天签单144份，若连续三天签单数量的增长率相同，求增长率为多少？ 【考点题型九】利润问题（一元二次方程的应用） 【例9】上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为元袋，经市场调查发现，当销售单价为元时，每天可售出袋；销售单价每降低元，每天可多售出袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【变式9-2】今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【变式9-3】某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 【考点题型十】几何问题（一元二次方程的应用） 【例10】我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【变式10-1】某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2，如果把一些金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的围墙，下列长度的栅栏够用并节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【考点题型十一】动点问题（一元二次方程的应用） 【例11】如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【变式11-1】如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【变式11-3】如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【考点题型十二】其他问题（一元二次方程的应用） 【例12】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）． A． B． C． D． 【变式12-1】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为 ． 【变式12-2】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【变式12-3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【变式12-4】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【变式12-5】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$