清单01 反比例函数（考点清单，5个考点梳理+6个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期湘教版

清单01 反比例函数（5个考点梳理+6个题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的概念 定义：形如 (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 、、(k≠0) 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 【清单02】反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 【清单04】求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 【清单05】反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 【考点题型一】反比例函数概念 【例1】反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函图象上点的坐标特征．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键． 分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：A、当时，，故此选项符合题意； B、当时，，故此选项不符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为 ． x 1 y 3 p 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式是，根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式；再将代入求出的反比例函数解析式中即可求出y的值，即可求解． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式是； 把代入到中， 得，即． 故答案为：． 【变式1-3】已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为， ∵当时，， ∴； ∴； 故答案为：． 【变式1-4】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 【考点题型二】求反比例函数解析式 【例2】一个反比例函数图象经过点，那 么k 的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出k 的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式2-1】已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式．把点代入，求得的值，再将点代入，求出k，即可求解． 【详解】解：把点代入， ∴， ∴， ∴， 把点代入，得： 解得：， ∴此函数的解析式为． 故答案为：． 【变式2-2】已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【变式2-3】已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∴是的反比例函数． 【考点题型三】反比例函数的图象和性质 【例3】关于反比例函的图象，下列说法正确的是（　　） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、把代入得：，则反比例函的图象不过点故本选项错误，不符合题意； B、，图象在第一、三象限，故本选项错误，不符合题意； C、沿x轴对折不重合，故本选项错误，不符合题意； 【变式3-1】已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 2． D、两曲线关于原点对称，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 1． 【变式3-2】如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的对称性可得另一支在第三象限，根据反比例函数反比例函数图象在第一、三象限得到，可得； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：该反比例函数图象的一支在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限． ∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一个象限内，随的增大而减小． ∵， ∴． 【变式3-3】在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 【答案】(1)经过第二、四象限 (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大，得到函数图象经过第二、四象限即可； （2）根据函数的图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大，得到反比例函数的系数小于0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴函数经过第二、四象限． （2）∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴，解得． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 【变式3-4】关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 【答案】D 【分析】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：，故A错误； ，图象位于一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B错误； 反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误； 将代入，得，即，故D正确， 故选：D 【变式3-5】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式3-6】已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 【变式3-7】在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-8】小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 【变式3-9】已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且个每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【变式3-10】已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【答案】（1）；（2）；（变式1）B；（变式2）A 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的纵坐标比较大小的方法：方法一（利用函数增减性比较）：在同一象限的，根据，随的增大而减小，，随的增大而增大比较；在不同象限时，轴上方图象上点的纵坐标大，反之则小．方法二（数形结合法）：画出草图，大致标出各点，从图象中比较大小．（此方法为最简单的方法）方法三（特殊值法）给和要比较的点的横坐标取满足条件的数，算出对应的纵坐标，再进行比较． （1）把点代入即可求解； （2）利用反比例函数的增减性比较即可； 变式1：利用反比例函数的增减性比较即可； 变式2：利用反比例函数的增减性比较即可； 【详解】解：（1）将点代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）， 反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点，，都在反比例函数的图像上， 在第三象限，和在第一象限， ，，， 又， ． 变式1： ， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数 的图象上， 点分布在第三象限，，分布在第一象限，且， ，， ． 故选B； 变式2： 在反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， ，均在第三象限， ， ，A正确，符合题意； 当时，， 点在第三象限，点在第一象限， ，， ，B，C错误，不符合题意；当时，， ，在第一象限， ， ，D错误，不符合题意． 故选A． 【考点题型四】比例系数k的几何意义 【例4】如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合反比例函数关系是，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义． 【变式4-1】如图， P（a，a）是反比例函数在第一象限内图象上的一个点，以P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA面积是（  ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据反比例函数系数k的几何意义求得点P的坐标，则易求PD＝4．然后通过等边三角形的性质易求线段AD＝，所以S△POA＝OA•PD＝××4＝． 【详解】如图，∵点P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点， ∴16＝a2，且a＞0， 解得，a＝4， ∴PD＝4． ∵△PAB是等边三角形， ∴AD＝＝． ∴OA＝4−AD＝， ∴S△POA＝OA•PD＝××4＝． 故选：D．    【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质．等边三角形具有等腰三角形“三线合一”的性质． 【变式4-2】如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【详解】解：作于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ， 而， ， 故选：A． 【变式4-3】在反比例函数的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M，则四边形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：∵点P为反比例函数上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M， ∴四边形的面积是． 故答案为：3． 【变式4-4】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 【变式4-5】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 【变式4-6】在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 【考点题型五】反比例函数与一次函数的综合运用 【例5】已知反比例函数 图像与一次函数的图像交于点，． (1)　　，　　，　　； (2)点是反比例函数图象上一点，且点横坐标大于2，连接、．若的面积是5，求出点的纵坐标． 【答案】(1)6，1， (2)点的纵坐标为2 【分析】（1）由点的坐标求出的值，即可得出反比例函数的解析式；由反比例函数解析式求出，由待定系数法求出的值； （2）求得的面积为，即可得出的面积是的面积的2倍，点作的平行线，交反比例函数的图象于，此时符合题意，求得直线与反比例函数的交点即可求得点的纵坐标． 【详解】（1）解：由题意得， ， 反比例函数的解析式是， 反比例函数过点， ， ， 一次函数的图象过点，． ，解得，， 故答案为：6，1，； （2）解：由（1）可知一次函数， ， ， ， 经过点作的平行线，交反比例函数的图象于，使点到直线和到直线的距离相等，则的面积是的面积的2倍， 直线的表达式为， 由，解得或， 点横坐标大于2， ， 点的纵坐标为2． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想． 【变式5-1】如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 【变式5-2】如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合面积问题： （1）将点代入两个函数求解即可得到答案； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标及B点坐标，根据求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， 解得：，， ∴解析式为：，； （2）联立两个函数得， ，解得：，， 当时，， ∴， 当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∴． 【变式5-3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像，直接写出时x的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题考查反比例函数、一次函数与方程的关系，图像法求解不等式，直角坐标系内面积求解；理解函数与方程，不等式的联系是解题的关键． （1）将已知的点坐标代入反比例函数解析式，求解参数k，将点代入反比例函数解析式，求解m，由点A，B，坐标，构建二元一次访组求解，得一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求得点D坐标，进而求得的面积； （3）把不等式化为，再求解两个函数的交点的横坐标，再结合图像求解即可． 【详解】（1）解：的图像经过， ∴，则， ∴． ∵的图像经过点，则， ∴． 一次函数的图像经过，， ，解得 ∴ （2）解：∵直线， 当时，， ∴，， ∴的面积 （3）解：∵，即， ∴， 如图， 当时， ∴， 解得：，， ∴两点横坐标分别为，， ∴的解集是或． 【变式5-4】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式； （2）设，然后根据三角形面积公式列方程求得C点坐标，从而利用待定系数法求解函数解析式． 【详解】（1）把代入中 得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 把代入中 ， ， 设反比例函数的解析式为， 把代入中 得， 反比例函数的解析式为； （2）设 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 【变式5-5】如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)，直线的关系式为 (2)点 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提． （1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可; （2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小; （3）进行计算即可 【详解】（1）解：1.在矩形中，，， 点， 点D是边的中点， 点， 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的关系式为， 当时，即， 解得， 点 ， 设直线的关系式为，则， 解得， 直线的关系式为 （2）点关于x轴的对称点的坐标为， 直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小， 设直线的关系式为，则 解得， 直线的关系式为 ， 当时，即， 解得， 直线与x轴的交点， 当的周长最小时，点， （3）如图，   由（1）（2）知 ，，，， ，，，， 1 的面积为． 【考点题型六】反比例函数的应用 【例6】如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，      (1)用含 的代数式表示 ； (2)当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ； (3)若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ． 【答案】(1) (2)人和木板对滩涂的压强是 (3)至少需要 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用等知识点， （1）根据，得出结论； （2）把代入（1）中解析式即可； （3）根据反比例函数的性质得出结论； 关键是求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，， 答：人和木板对滩涂的压强是； （3）解：∵， ∴当时，p随S的增大而减小， ∴当时，即， ∴， 答：“木海马”底面面积至少需要． 【变式6-1】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度）与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1)材料加热时，与的函数关系式为， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． (2)4分钟 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得，解得， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）把代入中， 得， 分钟． 故锻造的操作时间为4分钟． 【变式6-2】如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .    【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用以及从函数图像中获取信息．能够从函数图像中获取信息是解题的关键. 观察图像直接获取信息即可求解. 【详解】解：由图像可知，当时，气体的密度为2， 故答案为：2. 【变式6-3】喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【答案】(1)，， (2)min 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型． （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】（1）解：设停止加热时，设， 由图可知，将代入得：，解得：， ， 当时，得，解得：， 点坐标为， 点坐标为， 设当加热烧水时，设， 由图及题意可知，将代入得：，解得：， 当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；； （2）解：把代入，得， （分钟）； 从烧水开到泡茶需要等待分钟． 【变式6-4】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式． （1）设与之间的函数表达式为，把时，，代入表达式，即可求解． （2）利用函数关系式，当时，求出，在根据反比例函数的性质，随的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设与之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为． （2）当时，将代入中， 解得， 根据反比例函数的性质，随的增大而减小， ∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 反比例函数（5个考点梳理+6个题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的概念 定义：形如 (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 、、(k≠0) 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 【清单02】反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 【清单04】求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 【清单05】反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 【考点题型一】反比例函数概念 【例1】反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为 ． 【变式1-2】根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为 ． x 1 y 3 p 【变式1-3】已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为 ． 【变式1-4】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【考点题型二】求反比例函数解析式 【例2】一个反比例函数图象经过点，那 么k 的值等于 ． 【变式2-1】已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 【变式2-2】已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【变式2-3】已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【考点题型三】反比例函数的图象和性质 【例3】关于反比例函的图象，下列说法正确的是（　　） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 【变式3-1】已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【变式3-2】如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 【变式3-3】在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 【变式3-4】关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 【变式3-5】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-7】在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-8】小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【变式3-9】已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接） 【变式3-10】已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【考点题型四】比例系数k的几何意义 【例4】如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【变式4-1】如图， P（a，a）是反比例函数在第一象限内图象上的一个点，以P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA面积是（  ）    A．3 B．4 C． D． 【变式4-2】如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式4-3】在反比例函数的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M，则四边形的面积是 ． 【变式4-4】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【变式4-5】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【变式4-6】在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【考点题型五】反比例函数与一次函数的综合运用 【例5】已知反比例函数 图像与一次函数的图像交于点，． (1)　　，　　，　　； (2)点是反比例函数图象上一点，且点横坐标大于2，连接、．若的面积是5，求出点的纵坐标． 【变式5-1】如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【变式5-3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像，直接写出时x的取值范围是________． 【变式5-4】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【变式5-5】如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【考点题型六】反比例函数的应用 【例6】如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，      (1)用含 的代数式表示 ； (2)当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ； (3)若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ． 【变式6-1】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度）与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【变式6-2】如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .    【变式6-3】喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【变式6-4】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$