清单04 锐角三角函数（考点清单，9个考点梳理+15个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期湘教版

清单04锐角三角函数（9个考点梳理+15个题型解读+提升训练） 【清单01】正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【清单02】锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【清单03】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 【清单04】锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【清单05】解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 【清单06】仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 【清单07】坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【清单08】方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 【清单09】解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【考点题型一】利用正切求解 【例1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【变式1-3】在中，连接AC，若，，则 ． 【考点题型二】与正弦有关的计算 【例2】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，平行四边形中，若，，，则平行四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 【考点题型三】与余弦有关的计算 【例3】在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】在中，，则 ． 【变式3-3】在中，，则的值是 ． 【考点题型四】特殊角三角函数值的混合运算 【例4】计算： (1)； (2)． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（1）计算： (1)； (2)． 【变式4-3】（1）； （2）． 【考点题型五】由特殊角的三级哦啊函数值判断三角形形状 【例5】在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【变式5-1】若，则以为内角的的形状是 ． 【考点题型六】根据特殊角的三角函数值求角的度数 【例6】已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【变式6-1】已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是 ． 【变式6-2】在中，，，，则 度． 【变式6-3】已知α是锐角，且，计算∶ 【考点题型七】已知角度比较三角函数值大小 锐角三角函数增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【例7】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【变式7-1】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【变式7-3】（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【考点题型八】根据锐角三级哦啊函数值的范围判断锐角的取值范围 【例8】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】若是锐角，，则应满足 ． 【考点题型九】利用同角的三角函数关系求解 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则同角三角函数的关系：① 平方关系：；② 商数关系：. 【例9】已知，则的值为 ． 【变式9-1】已知，中，，，求、、、． 【变式9-2】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【考点题型十】利用互余两角的三角函数关系求解 【例10】在中，，，则 ． 【变式10-1】同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【变式10-2】若，则锐角 °． 【变式10-3】已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【考点题型十一】解直角三角形的相关计算 【例11】如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【变式11-1】如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知折痕，且，那么矩形的周长为？ 【变式11-2】已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【变式11-3】如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点题型十二】解非直角三角形的相关计算 【例12】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式12-1】如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【变式12-2】已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【变式12-3】中，，，，求边的长度． 【考点题型十三】解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 【例13】如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【变式13-1】如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． (1)填空： 度， 度； (2)电子显示屏的底端C距地面多少？ (3)电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【变式13-2】如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【考点题型十四】解直角三角形的实际应用-方向角问题 【例14】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【变式14-1】如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【变式14-2】如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【考点题型十五】解直角三角形的实际应用-坡度坡比问题 【例15】小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【变式15-1】如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【变式15-2】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 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仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 【清单07】坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【清单08】方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 【清单09】解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【考点题型一】利用正切求解 【例1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 【变式1-1】已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式1-2】构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【答案】/ 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． 【变式1-3】在中，连接AC，若，，则 ． 【答案】0.5或2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．作于E，由平行四边形的面积求出，再由勾股定理求出，得出，即可得出结果． 【详解】解∶如图1，作于E， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2，作，交的延长线于E， 同理可求，， ∴， ∴． 综上可知，的值为2或0.5． 故答案为：2或0.5． 【考点题型二】与正弦有关的计算 【例2】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 【变式2-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 【变式2-2】如图，平行四边形中，若，，，则平行四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．过点D作于点E，在中根据正弦定义求出，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于点E，    ∴， ∴平行四边形的面积为． 故选：A． 【变式2-3】如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是斜边上的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 【考点题型三】与余弦有关的计算 【例3】在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B．    【变式3-1】在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-2】在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、求锐角三角函数等知识．用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 【考点题型四】特殊角三角函数值的混合运算 【例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数的混合运算． （1）先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算； （2）先根据特殊角的三角函数值得到原式原式，再进行分母有理化，再利用二次根式的性质化简，然后合并即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角三角函数值的混合运算． 根据特殊角三角函数值进行运算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ． （2）解：原式， ， ． 【变式4-2】（1）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数计算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，算术平方根，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，计算即可； （2）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值，算术平方根，计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【变式4-3】（1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【考点题型五】由特殊角的三级哦啊函数值判断三角形形状 【例5】在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 【变式5-1】若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 【考点题型六】根据特殊角的三角函数值求角的度数 【例6】已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式6-1】已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确得出和的度数是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出和的度数进而求出即可． 【详解】解：∵， ，， ，， 的度数是． 故答案为：． 【变式6-2】在中，，，，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查根据特殊角的锐角三角函数值确定角的度数．根据锐角三角形函数定义求得，从而确定的度数． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 故答案为：45 【变式6-3】已知α是锐角，且，计算∶ 【答案】 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算，根据题意得，然后代入计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键 【详解】解：∵α是锐角，且， ∴， ∴， ∴ 【考点题型七】已知角度比较三角函数值大小 锐角三角函数增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【例7】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 【变式7-1】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 【变式7-2】比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【答案】 【分析】正弦函数值小于1，而，故，即可比较二者大小． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，正弦函数值，正切函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 【变式7-3】（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 【考点题型八】根据锐角三级哦啊函数值的范围判断锐角的取值范围 【例8】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式8-1】若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解： ，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 【变式8-2】若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【考点题型九】利用同角的三角函数关系求解 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则同角三角函数的关系：① 平方关系：；② 商数关系：. 【例9】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式9-1】已知，中，，，求、、、． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 中，，， ， ① 又，，② 联立①②，解得；； 又， ；． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键． 【变式9-2】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 【考点题型十】利用互余两角的三角函数关系求解 【例10】在中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解答本题的关键． 根据题意画出三角形，通过已知条件，表示出，，的长，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 如图，，， 设，， 则， ． 故答案为：． 【变式10-1】同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 【变式10-2】若，则锐角 °． 【答案】40 【分析】根据可得，，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，解题的关键在于能够熟练掌握：． 【变式10-3】已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【考点题型十一】解直角三角形的相关计算 【例11】如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式11-1】如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知折痕，且，那么矩形的周长为？ 【答案】36 【分析】根据的值，可设，在中可得，，根据，利用三角函数的知识求出，然后在中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴矩形的周长为． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及翻折变换、三角函数的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答． 【变式11-2】已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，由相似三角形的判定和性质可得，，，结合锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 【变式11-3】如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是：（1）利用两个角对应相等的三角形相似，证出；（2）在中，通过解直角三角形求出的长． （1）利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出； （2）利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在中，通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ． ，垂足为， ． ，， ． ； （2）解：， ， ． 在中，，， ， 即的长为2． 【考点题型十二】解非直角三角形的相关计算 【例12】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式12-1】如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式12-2】已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 【变式12-3】中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 【考点题型十三】解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 【例13】如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 【变式13-1】如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． (1)填空： 度， 度； (2)电子显示屏的底端C距地面多少？ (3)电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】(1)45，40 (2)电子显示屏的底端C距地面 (3)电子显示屏高的值约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意得，，即可求解； （2）延长交地面与点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （3）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 则，； 故答案为：45，40； （2）延长交地面与点E，过点A作， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏的底端C距地面； （3）在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏高的值约为． 【变式13-2】如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 【考点题型十四】解直角三角形的实际应用-方向角问题 【例14】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 【变式14-1】如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)、两地的距离约为339.4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知，， ，， ，， 在中，米， （米）， （米）． 答：、两地的距离约为339.4米； （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ，，， ， ， 在中，，， （米）， 在中，， （米）， （米）． 【变式14-2】如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】平方海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 【考点题型十五】解直角三角形的实际应用-坡度坡比问题 【例15】小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度比的定义等知识点，理解坡度的定义成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵, ∴． ∴该斜坡坡比． 故答案为：． 【变式15-1】如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【答案】她经过的总路程为：． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．首先在直角三角形中求得和，然后就可以知道的长，然后在直角三角形中求得的长即可． 【详解】解：∵扶梯的坡比（与长度之比）为，， ∴， ∴， ∵平行于地面， 于点 于点 ． ∴四边形为矩形， ∴， ∵的坡比（与长度之比）为， ∴， ∴， ∴她经过的总路程为： ． 【变式15-2】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，， 则，，， 由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴建筑物的高度约为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$