2025年广东省九年级中考数学一轮考点复习课件：第29讲圆的基本性质

第六章　圆 第29讲　圆的基本性质 知识点1　 圆的相关概念 (1)圆的定义： ①在一个平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆； ②在一个平面内，一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆. (2)确定圆的条件： 的三点确定一个圆. 不共线　 一 知识梳理 (3)圆的相关概念： 图形 名称 定义 表示 圆心 定点O叫做圆心 圆心O 半径 连接圆心与圆上任一点的线段 ⁠ ⁠ 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 ⁠ 半径OA，OB， OC 弦AB，AC，BC 一 知识梳理 弧 ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；③大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 劣弧 ， 半圆AC，优弧 ⁠ 圆心 角 顶点在 ⁠的角叫做圆心角 如∠AOB， ∠BOC 圆 周 角 顶点在 ，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 ⁠ ⁠ ⁠ ，　 圆心　 圆上　 ∠ABC， ∠ACB， ∠BAC 一 知识梳理 1. (1)下列说法正确的是(　D　) A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径 C. 弦是直径 D. 直径是圆中最长的弦 (2)(教材母题改编)已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能 是(　D　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 D D 一 知识梳理 知识点2　 弧、弦、圆心角的关系　【高频考点·常考选择、填空题】 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等. (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 温馨提示：当遇到“等弦所对的弧”时，要注意是所对的优弧和劣弧分 别相等. 一 知识梳理 2. (1)(教材母题)如图，AB是☉O的直径，∠BOC＝35°， ＝ ＝ ，则∠AOE＝ ⁠. 75°　 一 知识梳理 (2)如图，点A，B，C都在☉O上，点C是 的中点. (1)若∠OBC＝50°，则∠COB＝ °； (2)若☉O的半径为2，∠AOB＝120°，则四边形 AOBC 的周长为 ⁠. 80　 8　 一 知识梳理 知识点3　 圆周角定理及其推论　【高频考点·常考简单选择、填空 题，也在解答题中考查】 类 别 圆周角定理 推论一 推论二 推论三 定 理 一条弧所对的圆 周角等于它所对 的圆心角的 ⁠ ⁠ 同弧或等弧 所对的圆周 角 ⁠ 半圆(或直径)所对的 圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ⁠ 圆内接四边形 的对角 ⁠ ⁠ 一半 相等　 直角 直径 互补 一 知识梳理 符 号 表 示 ∵＝， ∴∠BAC＝ ∠BOC ∵＝， ∴∠BAC＝ ∠BDC ∵AD是直径， ∴∠ABD＝∠ACD＝90° ∵点A，B， C，D在☉O上， ∴∠B＋∠D ＝180°，∠A＋∠C＝180° 图 示 一 知识梳理 3. (1)(2024·盐城)如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠C＝40°，连接 OA，OB，则∠OAB＝ ⁠°. 第(1)题图 50　 一 知识梳理 (2)如图，AB为☉O的直径，已知∠DCB＝20°，则∠DBA的度数 为(　D　) A. 50° B. 20° C. 60° D. 70° 第(2)题图 (3)若四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠C＝2∠A，则∠A的度数 为 ⁠. D 60°　 一 知识梳理 知识点4　 垂径定理　【课标新增·探索并证明垂径定理，垂直于弦的 直径平分弦以及弦所对的两条弧，改为必学】 名称 内容 符号表示 图示 垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 ⁠ ∵CD是直径， CD⊥AB， ∴AE＝BE，＝ 推论 1 平分弦(不是直径)的直径 ⁠ 弦，且 ⁠弦所对的两条弧 ∵CD是直径，AE＝BE， ∴CD⊥AB，＝ 两条弧　 垂直于　 平分　 一 知识梳理 名称 内容 符号表示 图示 推论 2 平分弦所对的一条弧的直径 ⁠ 弦，并且平分弦所对的另一条弧 ∵CD是直径，＝， ∴CD⊥AB，＝ 垂直于 一 知识梳理 4. (1)(教材母题)如图，在☉O中，OA⊥BC于点E，∠ADB＝30°， BC＝2 ，则∠AOC＝ °，CE＝ 　 　，☉O的半径为 ⁠. 第(1)题图 60　 　 2　 一 知识梳理 (2)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水 面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为(　C　) A. 8 cm B. 10 cm C. 16 cm D. 20 cm 第(2)题图 C 一 知识梳理 重点1　垂径定理　 例1：(2024·东莞模拟)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 P在☉O上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD； 解：(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C， ∴∠1＝∠P. ∴CB∥PD. 二 重点突破 例1：(2024·东莞模拟)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 P在☉O上，∠1＝∠C. (2)若BC＝3， sin P＝ ，求☉O 的直径； 解：(2)如图，连接AC. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB，∴ ＝ . ∴∠CAB＝∠P. ∵ sin P＝ ， ∴ sin ∠CAB＝ ，即 ＝ . ∵BC＝3，∴AB＝5.∴☉O的直径为5. 二 重点突破 例1：(2024·东莞模拟)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 P在☉O上，∠1＝∠C. (3)若OE∶BE＝1∶2，CD＝8，求☉O的半径. (3)如图，连接OC. ∵OE∶BE＝1∶2，∴OE＝ OB＝ OC. ∵CD⊥AB，∴CE＝ CD＝4. 在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2， 即OC2＝16＋ OC2，解得OC＝3 . ∴☉O的半径为3 . 解：(3)如图，连接OC. ∵OE∶BE＝1∶2，∴OE＝ OB＝ OC. ∵CD⊥AB，∴CE＝ CD＝4. 在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2， 即OC2＝16＋ OC2，解得OC＝3 . ∴☉O的半径为3 . 二 重点突破 重点2　圆周角定理及其推论　【课标新增·知道同弧(或等弧)所对的 圆周角相等】 例2：(2022·广东改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直 径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； 解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下： ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∵∠ADB＝∠CDB， ∴ ＝ . ∴AB＝CB. ∴△ABC是等腰直角三角形. 解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下： ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∵∠ADB＝∠CDB， ∴ ＝ . ∴AB＝CB. ∴△ABC是等腰直角三角形. 二 重点突破 例2：(2022·广东改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直 径，∠ADB＝∠CDB. (2)若AB＝ ，AD＝1，求CD的长； 解：(2)由(1)，得△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝ ， ∴AC＝ ＝2. 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝ ＝ . 解：(2)由(1)，得△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝ ， ∴AC＝ ＝2. 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝ ＝ . 二 重点突破 解：(3)如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F. ∵∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴△ADE和△CDF是等腰直角三角形. ∴AE＝ AD＝ ，CF＝ CD＝ . ∵S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， ∴ ×1× ＋ × × ＝ × BD＋ × BD. ∴BD＝ . 例2：(2022·广东改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直 径，∠ADB＝∠CDB. (3)在(2)的条件下，求BD的长. 解：(3)如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F. ∵∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴△ADE和△CDF是等腰直角三角形. ∴AE＝ AD＝ ，CF＝ CD＝ . ∵S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， ∴ ×1× ＋ × × ＝ × BD＋ × BD. ∴BD＝ . 二 重点突破 1. (2024·滨州)如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱 形，则∠D＝ ⁠°. 第1题图 60　 三 中考检测 2. (2023·广东)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数 为(　B　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 第2题图 B 三 中考检测 3. (2024·宜昌模拟)如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB交 于点D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为 ⁠. 第3题图 4　 三 中考检测 4. 【中考新考法·弧的三等分点】如图，AB为☉O的弦，点D，C为 的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE，连接BC，BD. (1)求证：∠A＝∠E； 解：(1)证明：∵AC∥BE， ∴∠E＝∠ACD. ∵点D，C为 的三等分点， ∴ ＝ ＝ . ∴∠A＝∠ACD. ∴∠A＝∠E. 解：(1)证明：∵AC∥BE， ∴∠E＝∠ACD. ∵点D，C为 的三等分点， ∴ ＝ ＝ . ∴∠A＝∠ACD. ∴∠A＝∠E. 三 中考检测 4. 【中考新考法·弧的三等分点】如图，AB为☉O的弦，点D，C为 的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE，连接BC，BD. (2)若BC＝3，BE＝5，求CE的长. 解：(2)由(1)，得 ＝ ＝ ， ∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E. ∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3.∴ ＝ ＝ . ∴△CBD∽△BED. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DE＝ . ∴CE＝DE－CD＝ －3＝ . 解：(2)由(1)，得 ＝ ＝ ， ∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E. ∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3.∴ ＝ ＝ . ∴△CBD∽△BED. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DE＝ . ∴CE＝DE－CD＝ －3＝ . 三 中考检测 5. (2024·包头)如图，AB是☉O的直径，BC，BD是☉O的两条弦，点C 与点D在AB的两侧，点E是OB上的一点(OE＞BE)，连接OC，CE， BC，且∠BOC＝2∠BCE. (1)如图1，若BE＝1，CE＝ ，求☉O的半径； 四 中考创新考法 解：(1)如图1，过点O作OH⊥BC于点H. ∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH. ∵∠BOC＝2∠BCE，∴∠BOH＝∠BCE. ∵∠BOH＋∠OBH＝90°，∴∠BCE＋∠OBH＝90°. ∴∠CEB＝90°.∴BC＝ ＝ ＝ . ∴CH＝BH＝ BC＝ . ∵ cos ∠OBH＝ ＝ ，∴ ＝ . ∴OB＝3.∴☉O的半径为3. 解：(1)如图1，过点O作OH⊥BC于点H. ∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH. ∵∠BOC＝2∠BCE，∴∠BOH＝∠BCE. ∵∠BOH＋∠OBH＝90°，∴∠BCE＋∠OBH＝90°. ∴∠CEB＝90°.∴BC＝ ＝ ＝ . ∴CH＝BH＝ BC＝ . ∵ cos ∠OBH＝ ＝ ，∴ ＝ . ∴OB＝3.∴☉O的半径为3. 四 中考创新考法 5. (2024·包头)如图，AB是☉O的直径，BC，BD是☉O的两条弦，点C 与点D在AB的两侧，点E是OB上的一点(OE＞BE)，连接OC，CE， BC，且∠BOC＝2∠BCE. (2)如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC. (请用两种证法解答) 四 中考创新考法 证明：(2)证法一：如图2，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE，∴OE＝BK. ∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB， ∴Rt△OEC≌Rt△BKO. ∴∠COE＝∠OBK. ∴BD∥OC. 证法二：如图2，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE，∴OE＝BK. ∵ cos ∠COE＝ ， cos ∠OBK＝ ，OC＝OB， ∴ cos ∠COE＝ cos ∠OBK. ∴∠COE＝∠OBK. ∴BD∥OC. 证明：(2)证法一：如图2，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE，∴OE＝BK. ∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB， ∴Rt△OEC≌Rt△BKO. ∴∠COE＝∠OBK. ∴BD∥OC. 证法二：如图2，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE，∴OE＝BK. ∵ cos ∠COE＝ ， cos ∠OBK＝ ，OC＝OB， ∴ cos ∠COE＝ cos ∠OBK. ∴∠COE＝∠OBK. ∴BD∥OC. 四 中考创新考法 $$