2025年广东省九年级中考数学一轮考点复习课件：第22讲直角三角形

第四章　三角形 第22讲　直角三角形 知识点1　 直角三角形的概念与性质 概念 有一个角是 的三角形是直角三角形. 角的关系 直角三角形的两个锐角 ⁠. 边的关系 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么 ⁠. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ⁠. 边角关系 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 ⁠. 90°　 互余　 a2＋b2＝c2　 一半　 一半　 一 知识梳理 1. (1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AB 的 中点，则 AB＝ ，CD＝ ⁠. 第(1)题图　　　 (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，AB＝8，则BC＝ ⁠. 10　 5　 4　 一 知识梳理 (3)(2024·扬州模拟)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾 股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和 一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c， 若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ⁠. 第(3)题图 96　 一 知识梳理 知识点2　 直角三角形的判定 角 有两个角 的三角形是直角三角形. 边 如果三角形的三边a，b，c满足 ，那么这个三角形 是直角三角形. 互余　 a2＋b2＝c2　 2. (1)下列四组线段中，不能构成直角三角形的是(　D　) A. 3，4，5 B. 5，13，12 C. 6，8，10 D. 7，8，9 D 一 知识梳理 解：①由图，得AB2＝12＋12＝2，AC2＝32＋32＝18，BC2＝22＋42＝20， 即AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形. ②由①，得AB＝ ，AC＝3 ，BC＝2 . 设△ABC中边BC上的高为h.∴S△ABC＝ AB×AC＝ BC×h， 即 × ×3 ＝ ×2 ×h，解得h＝ . 解：①由图，得AB2＝12＋12＝2，AC2＝32＋32＝18，BC2＝22＋42＝20， 即AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形. ②由①，得AB＝ ，AC＝3 ，BC＝2 . 设△ABC中边BC上的高为h.∴S△ABC＝ AB×AC＝ BC×h， 即 × ×3 ＝ ×2 ×h，解得h＝ . (2)如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，格点△ABC 的位置如图 所示. ①判断△ABC 的形状，并说明理由； ②求△ABC中边BC上的高. 一 知识梳理 知识点3　 等腰直角三角形 (1)定义：两锐角相等或两锐角都等于 45°的直角三角形. (2)性质：①两直角边相等；②两锐角相等，且都等于 45°；③“三线合 一”；④等腰直角三角形是轴对称图形，有一条对称轴. 一 知识梳理 3. (2025·原创)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， AD⊥BC，则下列说法不正确的是(　D　) A. 图中有3个等腰直角三角形 B. AD＝BD＝CD C. 图中有4个45°的角 D. 若AD＝2，则△ABC 的面积为 2 D 一 知识梳理 重点1　直角三角形的性质与判定 例1：如图，在△ABC中，CD⊥AB 于点D，AC＝4，BC＝3，DB＝ . (1)求 CD，AD 的长； 解：(1)∵CD⊥AB， ∴△CDB，△CAD为直角三角形. ∴在Rt△CDB中，CD＝ ＝ ＝ . 在Rt△CAD中，AD＝ ＝ ＝ . 二 重点突破 例1：如图，在△ABC中，CD⊥AB 于点D，AC＝4，BC＝3，DB＝ . (2)判断△ABC 的形状，并说明理由. 解：(2)△ABC为直角三角形.理由如下： ∵AD＝ ，BD＝ ， ∴AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5. ∴AC2＋BC2＝42＋32＝25＝52＝AB2. ∴△ABC为直角三角形. 解：(2)△ABC为直角三角形.理由如下： ∵AD＝ ，BD＝ ， ∴AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5. ∴AC2＋BC2＝42＋32＝25＝52＝AB2. ∴△ABC为直角三角形. 二 重点突破 重点2　等腰直角三角形的性质与判定 例2：如图，△AOB 和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝ 90°，点D在AB 上. (1)求证：△AOC≌△BOD； 解：(1)证明：∵∠BOD＝90°－∠AOD，∠AOC＝90°－∠AOD， ∴∠BOD＝∠AOC. 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD(SAS). 解：(1)证明：∵∠BOD＝90°－∠AOD，∠AOC＝90°－∠AOD， ∴∠BOD＝∠AOC. 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD(SAS). 二 重点突破 例2：如图，△AOB 和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝ 90°，点D在AB 上. (2)若AD＝1，BD＝2，求 CD 的长. 解：(2)由(1)，得△AOC≌△BOD， ∴AC＝BD＝2，∠CAO＝∠DBO＝45°. ∴∠CAB＝∠CAO＋∠BAO＝90°. ∴CD＝ ＝ ＝ . 解：(2)由(1)，得△AOC≌△BOD， ∴AC＝BD＝2，∠CAO＝∠DBO＝45°. ∴∠CAB＝∠CAO＋∠BAO＝90°. ∴CD＝ ＝ ＝ . 二 重点突破 1. 直角三角形两直角边分别为3，4，则它斜边的中线长为 ，斜边 上的高为 ⁠. 　 　 三 中考检测 2. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都 在格点上. (1)求线段AB，AC的长度； 解：(1)由图，得AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 . 解：(1)由图，得AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 . (2)连接BC，请判断△ABC 的形状，并说明理由. 解：(2)△ABC是等腰直角三角形.理由如下： 由(1)，得AB2＝10，AC2＝20.∵BC2＝32＋12＝10， ∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形. ∵AB＝BC＝ ，∴△ABC是等腰直角三角形. (2)△ABC是等腰直角三角形.理由如下： 由(1)，得AB2＝10，AC2＝20.∵BC2＝32＋12＝10， ∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形. ∵AB＝BC＝ ，∴△ABC是等腰直角三角形. 三 中考检测 3. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一 个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另三个 锐角顶点B，C，D在同一条直线上.若 AB＝ ，求 CD 的长. 三 中考检测 解：如图，过点A作AF⊥BC于点F. 在Rt△ABC中，∠B＝45°， ∴BC＝ AB＝2， BF＝AF＝ AB＝1. ∵△ABC，△EAD是两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD＝BC＝2. 解：如图，过点A作AF⊥BC于点F. 在Rt△ABC中，∠B＝45°， ∴BC＝ AB＝2， BF＝AF＝ AB＝1. ∵△ABC，△EAD是两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD＝BC＝2. 在Rt△ADF中，DF＝ ＝ ， ∴CD＝BF＋DF－BC＝1＋ －2＝ －1. 在Rt△ADF中，DF＝ ＝ ， ∴CD＝BF＋DF－BC＝1＋ －2＝ －1. 三 中考检测 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝6 cm.点D从点A出发以3 cm/s 的速度向点B运动，点E从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，若点 D，点E同时出发，运动时间为t s，问： (1)t为何值时，△BDE为等边三角形； 解：(1)假设在点D与点E的运动过程中，△BDE能成为等边三角形. ∵∠B＝60°， ∴BD＝BE，即6－3t＝2t， 解得t＝ .∴当t＝ 时，△BDE为等边三角形. 解：(1)假设在点D与点E的运动过程中，△BDE能成为等边三角形. ∵∠B＝60°， ∴BD＝BE，即6－3t＝2t， 解得t＝ .∴当t＝ 时，△BDE为等边三角形. 四 中考创新考法 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝6 cm.点D从点A出发以3 cm/s 的速度向点B运动，点E从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，若点 D，点E同时出发，运动时间为t s，问： (2)t为何值时，△BDE 为直角三角形. 四 中考创新考法 解：(2)根据题意，得AD＝3t cm，BE＝2t cm. 在△ABC中，AB＝BC＝6 cm，∠B＝60°，∴BD＝(6－3t)cm. 若△BDE为直角三角形，则∠BDE＝90°或∠BED＝90°. ①当∠BDE＝90°时，∠B＝60°，可得BE＝2BD， ∴2×(6－3t)＝2t，解得t＝ ； ②当∠BED＝90°时，∠B＝60°，可得BD＝2BE， ∴6－3t＝2×2t，解得t＝ . 综上所述，t为 s或 s时，△BDE为直角三角形. 解：(2)根据题意，得AD＝3t cm，BE＝2t cm. 在△ABC中，AB＝BC＝6 cm，∠B＝60°，∴BD＝(6－3t)cm. 若△BDE为直角三角形，则∠BDE＝90°或∠BED＝90°. ①当∠BDE＝90°时，∠B＝60°，可得BE＝2BD， ∴2×(6－3t)＝2t，解得t＝ ； ②当∠BED＝90°时，∠B＝60°，可得BD＝2BE， ∴6－3t＝2×2t，解得t＝ . 综上所述，t为 s或 s时，△BDE为直角三角形. 四 中考创新考法 $$