清单02 代数式（考点清单，9个考点梳理+19个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材湘教版

清单02 代数式（9个考点梳理+19个题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】列代数式 1.列代数式概念:用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式2 正确列出代数式，要掌握以下几点: (1)列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系 (2)要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等:(3)要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 【清单03】代数式的值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值 【清单04】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2.单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3.单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、 在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单05】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单06】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单07】合并同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2. 合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。 b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【清单08】去括号 法则:1.括号前是“十”号,运用加法结合律把括号去掉,原括号里各项的符号都不变； 2.括号前是“一”号,把括号和它前面的“—”号去掉,原括号里各项的符号都要改变. 注意:1.去掉括号和它前面的“一”号时,不要忘记改变括号内各项的符号; 2.当括号前是一个非“”的因数时,应根据乘法对加法的分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号. 【清单09】整式的加法和减法 实质:合并同类项. 步骤:1.去括号; 2.合并同类项.注意:为了避免出现错误,几个整式相加减时,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.特别是两个多项式相减时,减数一定要添加括号. 【考点题型一】 代数式的概念及意义 【例1】下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示a与b的5倍的和 C．表示x与y和的平方 D．表示x，y两数的和与差的积 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．逐项分析代数式的表达意义即可判断． 【详解】解：A、表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍，故正确，不符合题意； B、表示a与b的5倍的和，故正确，不符合题意； C、表示x的平方与y的平方的和，故错误，符合题意； D、表示x，y两数的和与差的乘积，故正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列各式中，符合单项式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，理解并掌握代数式的书写规范是解题的关键． 代数式的书写规范：数字通常写在字母的前面，并且乘号可以省略不写；如果系数是带分数，应当将其转换为假分数；当单项式的系数是1或时，通常省略不写；代数式中出现除法时，一般不用“÷”符号，而是采用分数线来表示分数形式；在涉及单位的代数式中，如果是加减关系需将整个代数式加上括号；如果是乘除关系则无需加括号；由此即可求解． 【详解】解：A、，数字通常写在字母的前面，并且乘号可以省略不写，故该项不符合要求，不符合题意； B、，当单项式的系数是1或时，1通常省略不写，故该项不符合要求，不符合题意； C、，该项书写符合要求，符合题意； D、，如果系数是带分数，应当将其转换为假分数，故该项不符合要求，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-2】某种型号的电脑标价为元，为提高销售量，商场推出促销活动．若王先生购买这款电脑的付款金额为元，则下列说法中，能正确表示促销活动的是（   ） A．先在标价基础上打九折，再减200元 B．先在标价基础上减200元，再整体打九折 C．先在标价基础上打一折，再减200元 D．先在标价基础上减200元，再整体打一折 【答案】A 【分析】该题主要考查了代数式的意义，解题的关键是理解题意． 根据题意即可解答． 【详解】解：根据王先生购买这款电脑的付款金额为元，电脑标价为元， 得出促销活动是：“先在标价基础上打九折，再减200元”， 故选：A． 【变式1-3】商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 【变式1-4】下列说法正确的个数有（    ） ①正有理数和负有理数统称为有理数；②把3.14164精确到百分位，取得的近似数是3.14；③三角形的面积一定，它的底边与底边上的高成反比例；④代数式的意义是与的倒数的和． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，近似数，反比例关系，代数式，根据有理数的分类，近似数，反比例关系，写代数式，逐一判断各说法，即可得到结果． 【详解】解：①正有理数，0和负有理数统称为有理数，原说法错误，故该选项不符合题意； ②把3.14164精确到百分位，取得的近似数是3.14，该说法正确，故该选项符合题意； ③三角形的面积一定，它的底边与底边上的高成反比例，该说法正确，故该选项符合题意； ④代数式的意义是a与b的和的倒数，原说法错误，故该选项不符合题意． ∴正确的有②③，共2个， 故选：B． 【考点题型二】用代数式表示式 【例2】用代数式表示“m的5倍与n的差的平方”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式．先表示出的5倍为，再表示出与的差为，最后表示出差的平方即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 【变式2-1】用代数式表示“的5倍与的差的平方”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出数量关系．根据倍、和、平方运算的定义列出代数式即可得． 【详解】解：∵的5倍是， ∴的5倍与的差的平方是． 故选C． 【变式2-2】列代数式表示比a的大6的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据题意，可以用含的代数式表示出比a的大6的数 【详解】解：依题意，比a的大6的数是； 故答案为：． 【变式2-3】设某数为，则“比该数小的数的一半”用代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，直接列代数式，即可． 【详解】解：比小的数的一半用代数式表示为， 故答案为：． 【考点题型三】求代数式的值 【例3】为提高工作效率，某公司决定采购一批笔记本电脑奖励给优秀员工，商家报价每台收费元，当采购数量超过台时，商家给出两种优惠方案： 方案一：先交元后，每台电脑收费元． 方案二：免费送1台电脑，其余每台电脑收费打九八折． (1)当电脑采购数量是时，请用含的式子表示： ①用方案一共收费 元； ②用方案二共收费 元． (2)当电脑采购数量是台时，采用哪种方案省钱？请判断并说明理由． 【答案】(1)①；②． (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式，代数式求值， （1）根据两个方案的收费方法求解即可； （2）把代入两个代数式，进而比较即可． 【详解】（1）①用方案一共收费元； ②用方案二共收费元． 故答案为：①；②． （2）解：当时， 当时， ∵ ∴方案二省钱． 【变式3-1】如图所示： (1)用代数式表示阴影部分的面积s； (2)当时，求s的值（取）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）由半圆的面积减去三角形的面积即可得到阴影部分的面积； （2）把，代入（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：当，时， ． 【变式3-2】若，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质求出a和b的值，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：9． 【变式3-3】当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值．将，代入计算即可． 【详解】解：当，时， ． 【考点题型四】单项式的判断 【例4】有下列代数式：，其中单项式的个数为（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式是数字与字母的乘积的代数式逐个判断即可求解． 【详解】解：在所给代数式中，，，，是单项式，共4个， 故选：C． 【变式4-1】下列各式中，是单项式的有（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的定义是解本题的关键． 根据单项式的定义，由数字和字母组成的积的代数式为单项式，进行一一判断即可求解； 【详解】解：由单项式的定义可知， ①，是单项式； ②，是单项式； ③，不是单项式； ④，是单项式； ⑤，不是单项式； ⑥，不是单项式； 所以单项式共个； 故选：A 【变式4-2】有下列代数式：，其中单项式的个数是（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫作单项式（特别地，单独一个数或一个字母也是单项式），据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是单项式， 故单项式的个数是2个． 故选：C． 【变式4-3】单项式的系数和次数分别是（    ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是4 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是5 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的相关定义，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】解：单项式的系数为，次数为 故答案为：B ． 【考点题型五】 单项式的项和次数 【例5】下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0 C．单项式的系数是1，次数是1 D．单项式的系数是，次数是2 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数与次数，根据单项式的系数：数字因式，次数：所有字母的指数和，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，原说法错误，不符合题意； B、单项式a的系数是1，次数也是1，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，次数是1，原说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，次数是2，原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式5-1】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查单项式的系数、次数的定义．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式系数、次数的定义可知，单项式的系数是，次数是5． 故答案为：；5． 【变式5-2】下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是4 C．是多项式 D．的常数项是1 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是2，原说法错误，不符合题意； C、是多项式，原说法正确，符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【考点题型六】多项式的判断 【例6】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 【变式6-1】可以看作几个单项式的 的代数式叫作多项式． 【答案】和 【分析】本题考查多项式的概念，熟知多项式概念即可解题． 【详解】解：根据多项式的概念可知：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 故答案为：和． 【变式6-2】在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了多项式．熟练掌握多项式定义是解题关键． 根据几个单项式的和叫做多项式进行分析判断即可． 【详解】解：、、2、、、中， 多项式有、、，共3个． 故答案为：3． 【考点题型七】多项式的项、项数或次数 【例7】对于多项式，下列说法正确的是（　　） A．一次项系数是 B．最高次项是 C．常数项是 D．是四次三项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项、项数或次数．解题的关键是掌握：由几个单项式的和组成的代数式叫多项式，多项式中每一个单项式称为该多项式的项，次数最高的项的次数即为该多项式的次数，不含字母的项称为常数项，多项式通常说成几次几项式．据此解答即可． 【详解】解：多项式， A．一次项系数是，故此选项不符合题意； B．最高次项是，此选项符合题意； C．常数项是，故此选项不符合题意； D．是三次三项式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】多项式是 次 项式． 【答案】 四/4 三/3 【分析】此题主要考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的概念是解答此题的关键．根据多项式的概念求解即可． 【详解】解：因为多项式是单项式，，的和， 而其中的次数最高为4， 所以多项式 是四次三项式． 故答案为：四；三． 【变式7-2】 回答下面的问题： （1）一个二元三次多项式最多能有多少项？ （2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如就是一个齐次多项式，也是一个齐次多项式，但是不是一个齐次多项式，那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？ 【答案】（1）10项 （2）10项 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，正确理解多项式的项数与次数是解题的关键． （1）二元三次多项式中含有两个字母，且各项中最高次数为3次，逐一罗列各项，即得答案； （2）三元三次齐次多项式含有三个字母，且各项的次数均为3次，逐一罗列各项，即得答案． 【详解】（1）设多项式中的两种字母分别为x，y，且多项式中项的系数都为1， 由题意可知：在此情况下，项数最多的二元三次多项式为：，共10项； （2）设多项式中的三种字母分别为x，y，z，且多项式中项的系数都为1， 由题意可知：在此情况下，项数最多的三元三次齐次多项式为： ，共10项． 【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值 【例8】式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【答案】B 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案 【详解】解：∵多项式是关于x的一次式， ∴， ∴， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 【变式8-1】若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值； 根据多项式的概念求出，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵多项式是二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式8-3】多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型九】整式的判断 【例9】在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 【变式9-1】请写出一个整式，使其同时满足以下条件：①该整式中只含有字母；②该整式的次数为5，项数为3；③该整式不含二次项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式．根据整式的定义和题目的要求写出即可． 【详解】解：这个整式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-2】在式子中，整式共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查整式的概念，根据单项式和多项式统称整式逐个判断即可． 【详解】解：在式子中，，，，是整式，共4个， 故答案为：4． 【变式9-3】．在，，，，0，中，整式的个数是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了整式的知识，正确把握整式的定义是解题关键．单项式是字母和数的乘积，单个的数或单个的字母也是单项式；多项式是若干个单项式的和．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．据此即可获得答案． 【详解】解：在，，，，0，中，整式有，，0，，共计4个． 故答案为：4． 【考点题型十】同类项的判断 【例10】下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项．根据同类项的定义进行求解即可：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项． 【详解】解：A、与是同类项，本选项不符合题意； B、与是同类项，本选项不符合题意； C、与所含的字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项，本选项符合题意； D、与是同类项，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、 与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 故选：． 【变式10-2】下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此进行判断即可． 【详解】解：A、与，字母不同，不是同类项，不符合题意； B、与，是同类项，符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； D、与，字母不同，不是同类项，不符合题意； 故选B． 【考点题型十一】合并同类项 【例11】合并同类项： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-1】下列运算中，正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算和整式的加减，绝对值的意义，解题的关键是明确它们各自的计算方法．根据题意计算出各选项中式子，即可判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 故选：D． 【变式11-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，合并同类项，系数直接相加减，字母以及字母的指数不变，据此即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 【变式11-3】合并同类项：． 【答案】 【分析】此题考查了合并同类项，利用加法交换律把同类项放在一起，再利用合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ． 【考点题型十二】去括号和添括号 【例12】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减运算，注意去括号时，括号前是负号，去括号时，括号里各项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变．先去括号，再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式12-1】代数式去括号，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号，解题的关键是掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反．据此解答即可． 【详解】解： ， ． 故选：A． 【变式12-2】下列添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 【详解】解：A．，选项A错误； B． ，选项B错误； C．，选项C正确； D．，选项D错误． 故选：C． 【变式12-3】先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型 （1）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案． （2）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式12-4】化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号然后再合并同类项即可； （2）先去括号然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点题型十三】整式的加减 【例13】下列多项式中，减去等于的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据题意列出算式，去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 故选：D． 【变式13-1】已知多项式，．化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减法则是解题的关键． 把代入，去括号并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：，， ． 【变式13-2】化简或求值 (1)化简：． (2)化简：． (3)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤： 先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，合并同类项是解题关键． （1）合并同类项化为最简的多项式； （2）合并同类项化为最简的多项式； （3）合并同类项化为最简的多项式，把，，代入最简的多项式计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ， 当，时，原式． 【考点题型十四】整式加减的应用 【例14】一列火车原有人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有人，则上车的人数是 ． 【答案】人 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减化简计算解答即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：人． 【变式14-1】一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果个位数字是，那么这个两位数可以表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查代数式的列法，整式的加减，以及两位数的表示,解题的关键是清楚两位数的表示方法“十位数字个位数字”． 利用十位数字个位数字即可得到这个两位数． 【详解】解：个位数字是，个位数字比十位数字大5， 十位数字是， 两位数为，即． 故答案为：． 【变式14-2】魔术师说：“请你任想一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，只要告诉我计算结果，我就能知道你心里想的两位数．”请你解释这个魔术背后的数学道理． 【答案】见解析 【分析】此题考查整式的加减混合运算，掌握运算方法，理解题意列式计算是解决问题的关键． 设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为，根据题意列出算式进一步计算得出答案即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为， 则计算结果为， 只要将结果减15，就得到，即为原来的两位数． 【变式14-3】如图，一块长方形铁皮的长为米，宽为米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子． （1）求这个盒子底部的长和宽（用含、的式子表示，要求化简）； （2）求这块长方形铁皮的周长（用含、的式子表示，要求化简）； 【答案】（1）这个盒子的长是米，宽是6米；（2）长方形铁皮的周长是米 【分析】（1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长-2倍的正方形的边长，这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽-2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案； （2）根据长方形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：这个盒子的长米， 这个盒子的宽米； （2）由题意得：长方形铁皮的周长 米． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． 【考点题型十五】 整式的加减中的化简求值 【例15】先化简，再求值： (1)，其中， (2)，其中， 【答案】(1)， (2)，3 【分析】此题考查了整式的化简求值. （1）去括号合并同类项后得到化简结果，把字母的值代入计算即可； （2）去括号合并同类项后得到化简结果，把字母的值代入计算即可. 【详解】（1） 当，时， 原式 （2） 当，时， 原式 【变式15-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算化简求值； 先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项，最后将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式， ， ． 【变式15-2】先化简，再求值∶ 其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当，时， 原式 【变式15-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点题型十六】整式加减中的无关型问题 【例16】多项式与的差中不含项，则m的值为（   ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式进行合并后，令含有项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式与的差中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 【变式16-1】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴ ． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 【变式16-2】已知多项式化简后不含项．求： (1)的值； (2)多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）先根据整式的加减运算法则化简原式，再根据不含项，即项的系数为，得到关于的方程，解方程求出的值即可； （2）把的值代入多项式求值即可． 【详解】（1） ， ∵不含项， ∴， 解得：． （2）当时， ． 【变式16-3】已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据整式的减法运算法则求解即可． （2）令x项和项的系数为零列出方程求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 ∵的结果不含x项和项， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，数量掌握运算法则是解题关键． 【考点题型十七】日历中的规律 【例17】如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 【答案】(1)方框中个数之和为方框正中心的倍； (2)见解析； (3)十字框中的五个数的和是中间的数的倍； (4)； (5)不能，理由见解析． 【分析】（）方框中个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外八个数分别为、、，，、，，，将九个数相加即可得出结论； （）将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外四个数分别为、、、，将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，根据（）的规律可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，然后判定的五个数的和不能能等于； 本题考查了规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的倍是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （2）由题意得设中间这个数为，另外八个数分别为、、，，、，，， ∴； （3）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （4）由题意得另外四个数分别为、、、， ∴； （5）不能，理由如下： 设中间的数为，根据题意得：，解得：， ∵排在最后一列， ∴框住的五个数的和不能等于． 【变式17-1】在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，列代数式．根据日历上的数据排列可以得到，而，利用这些关系即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ∴， ∴． 故选：C． 【变式17-2】如图，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（    ）    A．40 B．42 C．60 D．45 【答案】B 【分析】根据日历中数字的规律：一行中，每相邻的两个数字相差是1；一列中，每相邻的两个数字相差是7，设出其中的一个，然后表示出其余的数，然后相加即可． 【详解】解：设这五个数最小的数为a，则这五个数的和为， 和一定是5的倍数，A、C、D都是5的倍数； 故选：B． 【点睛】此题考查了列代数式的知识，了解日历中数之间的关系，能够从中发现数学方面的知识．关键是知道日历中数字的规律：一行中，每相邻的两个数字相差是1；一列中，每相邻的两个数字相差是7． 【变式17-3】下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数，请你用一个等式表示之间的关系 ． 【答案】d-c=b-a 【分析】此题可以有多种表示方法：①横向来看，左右两个数的差都是1；②纵向看，上下两个数字的差相等；③对角线的角度看，两个数字的和相等． 【详解】解：d-c=b-a（答案不唯一）． 故答案为：d-c=b-a． 【点睛】本题考查了数字变化规律，熟悉生活中的一些常识，能够把数学和生活密切联系起来．从所给材料中分析数据得出规律是应该具备的基本数学能力． 【考点题型十八】数字中的规律 【例18】如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子中的数为（　　） a b c … A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据任意三个相邻格子的整数之和都相等，列式求出a、b、c的值，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2024除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【详解】解：任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ， ． ， ． ， ， 从左到右的格子中的数以，3，为循环组依次循环． ， 第2024个格子中的数为3． 故选：A． 【变式18-1】观察下图“d”形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（    ） A．113 B．241 C．243 D．271 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得第个图形各数之间的关系为：左下角的数 ，最上面的数为，左下角的数右下角的数最上面的数，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 第一个图形各数之间的关系为：，最上面的数， 第二个图形各数之间的关系为：，最上面的数， 第三个图形各数之间的关系为：，最上面的数， …， 第个图形各数之间的关系为：左下角的数 ，最上面的数为，左下角的数右下角的数最上面的数， 则，，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式18-2】已知，，，，，…则的个位数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了尾数特征，数字的变化规律，根据已知式子得出末尾数字以，，，循环，结合即可得解． 【详解】解：∵，，，，… ∴式子末尾数字以，，，循环， ∵， ∴的个位数是， 故答案为：． 【变式18-3】下面是小颖同学数字小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 高明的“字母表示数” 张景中院士说：“代数比算术高明，高明在这个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们大开眼界……‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．” 例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示！ 半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数． 例如：三位正整数234中，，所以234是“半和数”． 又如：369中，，所以369也是“半和数”． 任务： (1)三位数159　　　　“半和数”（填“是”或“不是”）， 三位数268　　　　“半和数”（填“是”或“不是”）； (2)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7个位数字是1，则这个数是　　　　，若它的百位数字为，个位数字为0，则十位数字为　　　　，这个数为　　　　，（用含的代数式表示）； (3)请从A，B两题中任选一题作答．我选择　　　　题． A．小颖发现：任意一个“半和数”都能被3整除！请你按下面的思路说明这一结论成立：解：设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为均为正整数，且不为0），则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为 B．小颖发现：任意一个“半和数”的个位数字和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)是，不是 (2)741，， (3)见解析 【分析】本题主要考查了定义新运算，用代数式表示式， （1）根据“半和数”的定义判断即可； （2）根据“半和数”的定义写出十位数，再根据三位数的表示方法得出答案； （3）先根据“半和数”的定义用代数式表示这个三位数，再整理判断解答． 【详解】（1）三位数159中，，所以159是半和数； 三位数268中，，所以268不是半和数； 故答案为：是，不是； （2）根据半和数的定义可知三位数的十位数字是，所以这个三位数是741； 根据半和数的定义可知三位数的十位数字是，所以这个三位数是； 故答案为：； （3）我选择A题， 设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为（，均为正整数，且不为0），则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为 因为a，b均为正整数，所以是整数，所以能被3整除，所以任意一个“半和数”都能被3整除． 我选择B题， 设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为均为正整数，且不为0）， 则这个“半和数”用含，的代数式表示为， 将这个“半和数”的个位数字和百位数字调换得到一个新“半和数”． 所以新的“半和数”为，将新“半和数”与原“半和数”相加，得， 因为a，b均为正整数，所以是整数，所以是111的倍数， 所以将题中的新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数． 【考点题型十九】图形中的规律 【例19】依照以下图形变化的规律，则第121个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．185个 B．184个 C．183个 D．182个 【答案】D 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 根据图形的变化得出当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为：个，当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为：个，然后代入计算即可． 【详解】解：第1个图形中黑色正方形的数量是2， 第2个图形中黑色正方形的数量是3， 第3个图形中黑色正方形的数量是5， 发现规律： 当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为：个， 当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为：个． 第121个图形中黑色正方形的数量为：（个． 故选：D． 【变式19-1】下列图形都是用同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有5个黑点，第2个图形中一共有10个黑点，第3个图形中一共有16个黑点，…，则第9个图形中黑点的个数是（    ） A．61 B．72 C．73 D．86 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知，第n个图形的黑点数为从1开始到的连续正整数的和再加上n的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中一共有个黑点， 第2个图形中一共有个黑点， 第3个图形中一共有个黑点， ……， 以此类推，可知第n和图形中一共有个黑点， ∴第9个图形中黑点的个数是， 故选：C． 【变式19-2】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据是边长为的正方形纸片面积的一半，得到的面积为，依此论推的面积为，的面积为，，于是得到结论，正确地找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵是边长为的正方形纸片面积的一半， ∴的面积为， 依此论推的面积为， 的面积为， ， 因此，求的值， 即为求将图形分割下去空白部分的面积， 此时剩余阴影部分面积为， ∴， 故答案为：． 【变式19-3】如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可 以看成是由第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖 块． 【答案】 【分析】此题考查了图形的变化规律，根据所给的图案，发现：第一个图案中，有块白色地砖，后边依次多块，由此规律解决问题，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：第个图案中有白色六边形地面砖有块； 第个图案中有白色六边形地面砖有（块）； 第个图案中有白色六边形地面砖有（块）； 第个图案中有白色六边形地面砖有（块）； ； 第个图案中有白色地面砖（块）， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 代数式（9个考点梳理+19个题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】列代数式 1.列代数式概念:用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式2 正确列出代数式，要掌握以下几点: (1)列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系 (2)要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等:(3)要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 【清单03】代数式的值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值 【清单04】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2.单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3.单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、 在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单05】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单06】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单07】合并同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2. 合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。 b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【清单08】去括号 法则:1.括号前是“十”号,运用加法结合律把括号去掉,原括号里各项的符号都不变； 2.括号前是“一”号,把括号和它前面的“—”号去掉,原括号里各项的符号都要改变. 注意:1.去掉括号和它前面的“一”号时,不要忘记改变括号内各项的符号; 2.当括号前是一个非“”的因数时,应根据乘法对加法的分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号. 【清单09】整式的加法和减法 实质:合并同类项. 步骤:1.去括号; 2.合并同类项.注意:为了避免出现错误,几个整式相加减时,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.特别是两个多项式相减时,减数一定要添加括号. 【考点题型一】 代数式的概念及意义 【例1】下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示a与b的5倍的和 C．表示x与y和的平方 D．表示x，y两数的和与差的积 【变式1-1】下列各式中，符合单项式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】某种型号的电脑标价为元，为提高销售量，商场推出促销活动．若王先生购买这款电脑的付款金额为元，则下列说法中，能正确表示促销活动的是（   ） A．先在标价基础上打九折，再减200元 B．先在标价基础上减200元，再整体打九折 C．先在标价基础上打一折，再减200元 D．先在标价基础上减200元，再整体打一折 【变式1-3】商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【变式1-4】下列说法正确的个数有（    ） ①正有理数和负有理数统称为有理数；②把3.14164精确到百分位，取得的近似数是3.14；③三角形的面积一定，它的底边与底边上的高成反比例；④代数式的意义是与的倒数的和． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型二】用代数式表示式 【例2】用代数式表示“m的5倍与n的差的平方”正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】用代数式表示“的5倍与的差的平方”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】列代数式表示比a的大6的数是 ． 【变式2-3】设某数为，则“比该数小的数的一半”用代数式表示为 ． 【考点题型三】求代数式的值 【例3】为提高工作效率，某公司决定采购一批笔记本电脑奖励给优秀员工，商家报价每台收费元，当采购数量超过台时，商家给出两种优惠方案： 方案一：先交元后，每台电脑收费元． 方案二：免费送1台电脑，其余每台电脑收费打九八折． (1)当电脑采购数量是时，请用含的式子表示： ①用方案一共收费 元； ②用方案二共收费 元． (2)当电脑采购数量是台时，采用哪种方案省钱？请判断并说明理由． 【变式3-1】如图所示： (1)用代数式表示阴影部分的面积s； (2)当时，求s的值（取）． 【变式3-2】若，则的值为 ． 【变式3-3】当，时，求代数式的值． 【考点题型四】单项式的判断 【例4】有下列代数式：，其中单项式的个数为（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-1】下列各式中，是单项式的有（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-2】有下列代数式：，其中单项式的个数是（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-3】单项式的系数和次数分别是（    ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是4 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是5 【考点题型五】 单项式的项和次数 【例5】下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0 C．单项式的系数是1，次数是1 D．单项式的系数是，次数是2 【变式5-1】单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式5-2】下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是4 C．是多项式 D．的常数项是1 【考点题型六】多项式的判断 【例6】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】可以看作几个单项式的 的代数式叫作多项式． 【变式6-2】在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【考点题型七】多项式的项、项数或次数 【例7】对于多项式，下列说法正确的是（　　） A．一次项系数是 B．最高次项是 C．常数项是 D．是四次三项式 【变式7-1】多项式是 次 项式． 【变式7-2】 回答下面的问题： （1）一个二元三次多项式最多能有多少项？ （2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如就是一个齐次多项式，也是一个齐次多项式，但是不是一个齐次多项式，那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？ 【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值 【例8】式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【变式8-1】若多项式是四次三项式，则 ． 【变式8-2】已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【变式8-3】多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【考点题型九】整式的判断 【例9】在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-1】请写出一个整式，使其同时满足以下条件：①该整式中只含有字母；②该整式的次数为5，项数为3；③该整式不含二次项： ． 【变式9-2】在式子中，整式共有 个． 【变式9-3】．在，，，，0，中，整式的个数是 ． 【考点题型十】同类项的判断 【例10】下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-1】下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【变式10-2】下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型十一】合并同类项 【例11】合并同类项： (1)． (2)． 【变式11-1】下列运算中，正确的是（　 　） A． B． C． D． 【变式11-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】合并同类项：． 【考点题型十二】去括号和添括号 【例12】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】代数式去括号，得（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】下列添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【变式12-4】化简： (1)； (2) 【考点题型十三】整式的加减 【例13】下列多项式中，减去等于的是（  ）． A． B． C． D． 【变式13-1】已知多项式，．化简：． 【变式13-2】化简或求值 (1)化简：． (2)化简：． (3)先化简再求值：，其中，． 【考点题型十四】整式加减的应用 【例14】一列火车原有人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有人，则上车的人数是 ． 【变式14-1】一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果个位数字是，那么这个两位数可以表示为 ． 【变式14-2】魔术师说：“请你任想一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，只要告诉我计算结果，我就能知道你心里想的两位数．”请你解释这个魔术背后的数学道理． 【变式14-3】如图，一块长方形铁皮的长为米，宽为米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子． （1）求这个盒子底部的长和宽（用含、的式子表示，要求化简）； （2）求这块长方形铁皮的周长（用含、的式子表示，要求化简）； 【考点题型十五】 整式的加减中的化简求值 【例15】先化简，再求值： (1)，其中， (2)，其中， 【变式15-1】先化简，再求值：，其中． 【变式15-2】先化简，再求值∶ 其中，． 【变式15-3】先化简，再求值：，其中． 【考点题型十六】整式加减中的无关型问题 【例16】多项式与的差中不含项，则m的值为（   ） A．9 B．3 C．1 D． 【变式16-1】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【变式16-2】已知多项式化简后不含项．求： (1)的值； (2)多项式的值． 【变式16-3】已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【考点题型十七】日历中的规律 【例17】如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 【变式17-1】在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【变式17-2】如图，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（    ）    A．40 B．42 C．60 D．45 【变式17-3】下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数，请你用一个等式表示之间的关系 ． 【考点题型十八】数字中的规律 【例18】如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子中的数为（　　） a b c … A．3 B． C．2 D． 【变式18-1】观察下图“d”形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（    ） A．113 B．241 C．243 D．271 【变式18-2】已知，，，，，…则的个位数是 ． 【变式18-3】下面是小颖同学数字小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 高明的“字母表示数” 张景中院士说：“代数比算术高明，高明在这个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们大开眼界……‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．” 例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示！ 半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数． 例如：三位正整数234中，，所以234是“半和数”． 又如：369中，，所以369也是“半和数”． 任务： (1)三位数159　　　　“半和数”（填“是”或“不是”）， 三位数268　　　　“半和数”（填“是”或“不是”）； (2)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7个位数字是1，则这个数是　　　　，若它的百位数字为，个位数字为0，则十位数字为　　　　，这个数为　　　　，（用含的代数式表示）； (3)请从A，B两题中任选一题作答．我选择　　　　题． A．小颖发现：任意一个“半和数”都能被3整除！请你按下面的思路说明这一结论成立：解：设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为均为正整数，且不为0），则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为 B．小颖发现：任意一个“半和数”的个位数字和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【考点题型十九】图形中的规律 【例19】依照以下图形变化的规律，则第121个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．185个 B．184个 C．183个 D．182个 【变式19-1】下列图形都是用同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有5个黑点，第2个图形中一共有10个黑点，第3个图形中一共有16个黑点，…，则第9个图形中黑点的个数是（    ） A．61 B．72 C．73 D．86 【变式19-2】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，的值为 ． 【变式19-3】如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可 以看成是由第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖 块． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$