专题01 有理数-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

专题01 有理数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：有理数的分类 3 考点二：求数的绝对值、相反数、倒数 4 考点三：正负数的实际应用 5 考点四：绝对值得非负性 6 考点五：有理数的大小比较 7 考点六：用科学记数法表示较大的数 9 考点七：根据点在数轴上的位置判断式子的正负及化简 10 考点八：有理数的混合运算 12 考点九：有理数的混合运算中错解复原问题 15 考点十：有理数的混合运算中应用问题 17 考点十一：数轴上表示含绝对值乘方的有理数问题 20 考点十二：数轴上动点运动问题 22 考点十三：数轴上的折叠探究问题 24 考点十四：有理数的混合运算中的新定义型问题 26 考点十五：有理数的混合运算中规律探究问题 28 考点十六：数轴上的几何意义问题 33 【知识点01】正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【知识点02】有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【知识点03】数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 【知识点04】相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 【知识点05】绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 【知识点06】有理数的大小比较 1.利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 2.利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 3.比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【知识点07】有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点08】科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点剖析 考点一：有理数的分类 例题：（23-24七年级上·广西北海·期末）下列四个数中，负整数是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了负整数的定义，根据负整数是小于0的整数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，四个选项中只有是负整数， 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数的定义解答即可；掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键． 【详解】解：整数有，，，共3个． 故选：B． 2.（23-24八年级上·山西朔州·期末）下列各数：，，，0，，中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数分为：正整数，负整数和0，进行判断即可． 【详解】解：在，，，0，，中，整数有，0，，共3个． 故选B． 3.（23-24七年级上·四川德阳·期末）在，，0，，，这6个数中，负数有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键．根据负数的定义即可解答． 【详解】解：在，，0，，，这6个数中，负数有，，，共3个， 故选：C． 考点二：求数的绝对值、相反数、倒数 例题：（23-24七年级上·广西钦州·期末）2024的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身是解题的关键． 根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：2024的绝对值是， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖北·期末）2024的相反数是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据：“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果． 【详解】解：2024的相反数是； 故答案为：． 2.（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、倒数 【分析】本题考查了绝对值、倒数，先根据绝对值的性质并结合已知条件得出，再根据倒数的定义得出a的倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a的倒数是． 故答案为：． 3.（23-24七年级上·山东滨州·期末）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 3 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，根据相反数、倒数的定义求额吉即可． 【详解】解：的相反数是：，的倒数是：3． 故答案为：，3． 考点三：正负数的实际应用 例题：（24-25七年级上·全国·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 根据正负数表示相反的意义，“正”表示盈利则“负”所表示亏损，再根据题意作答． 【详解】解：如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作元， 故选A． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在．如果把收入8元记作元，那么支出6元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的应用．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法． 【详解】解：如果把收入8元记作元，那么支出6元记作元， 故选：A． 2.（23-24七年级上·河南周口·期末）我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 【答案】D 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出80元， 故选：D． 考点四：绝对值得非负性 例题：（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求得，的值即可． 【详解】解：， ，， 解得，， 故答案为． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】此题考查了平方和绝对值的非负性、非负数的性质、代数式的值等知识，根据与互为相反数得到，再根据两个非负数的和为0则每个数是0，得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为： 2.（23-24七年级上·吉林四平·期末）如果，那么 ． 【答案】4 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的非负性与代数式的求值计算，解题的关键是求得a与b的值． 根据绝对值的意义先确定a、b的值，然后再代值计算即可． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴， 则， 故答案为：4． 考点五：有理数的大小比较 例题：（23-24七年级上·新疆喀什·期末）比较大小： 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了负数的大小比较，两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，，且 ∴ 故答案为： 【变式训练】 1.（23-24六年级下·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】化简绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 将的绝对值化简，再将带分数化为小数，根据两个负数比较大小法则再进行比较即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 2.（24-25七年级上·全国·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号求出两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①   ②   ③ ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】此题考查了有理数比较大小，掌握相关规则是解题的关键． 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小和正数大于负数等规则，即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为，， 考点六：用科学记数法表示较大的数 例题：（23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】1131000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 2.（23-24七年级上·江苏徐州·期末）据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为 户． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】用科学记数法表示4.28亿户为． 故答案为：． 考点七：根据点在数轴上的位置判断式子的正负及化简 例题：（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)． 【知识点】化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负； （）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】（1）由数轴可得，，，， 故答案为：，，； （2） ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川德阳·期末）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0（用“”或“”或“”号填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的化简，整式的加减，掌握运算法则是解题的关键． （1）由数轴可知：，，所以可知：，，． （2）根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身可化简求值． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．    (1)用“”或“”填空：，，． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，化简绝对值，整式的加减运算，根据数轴求出是解本题的关键． （1）先判断，进而求解即可； （2）由，，，再根据化简绝对值的法则化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； （2）∵，， ∴ ． 考点八：有理数的混合运算 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行求解； （2）根据有理数的四则混合运算法则进行求解； （3）根据有理数的乘法运算法则进行求解； （4）根据有理数的混合运算法则进行求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广东·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先算、，再算乘除，最后计算出结果； （2）先乘方，再算括号里面的，最后计算出结果． 本题考查了有理数的混合运算，运算过程中注意运算顺序和运算法则．特别注意：与的区别． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2.（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的减法，最后计算乘方即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先利用乘法分配律去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点九：有理数的混合运算中错解复原问题 例题：（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【答案】(1)一；四； (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步 故答案为：一；四； （2）原式 ． 2.（23-24七年级上·吉林辽源·期末）小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 【答案】(1)分配 (2)③ (3) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （1）（2）根据小林的计算步骤分析即可； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）小林在进行第②步运算时，运用了乘法的分配律． 故答案为：分配； （2）∵第③步计算乘法时符号确定错误， ∴小林的运算出现了错误，错在第③步． 故答案为：③； （3）原式 ． 考点十：有理数的混合运算中应用问题 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)站是河南这一站 (2)小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解： （站）， 即站是河南这一站； （2）解： （站， （千米）， 即小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·福建福州·期末）在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 (单位∶万人) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 【答案】(1)3万人 (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，掌握有理数混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）用最多那天的人数减去最少那天的人数即可； （2）先计算出这7天超出6万人的人数变化和，再总人数乘以200即可． 【详解】（1）解：（万人）； （2）解：（万人）， （元）． 2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1)41千克 (2)760千克 (3)3618元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格提供的数据可知：销售数量最多的一天是第二天，销售数量最少的一天是第一天，故用表格中第二天的销售数量减去第一天的销售数量即可算出答案； （2）先计算出6天的销售数再加上因质量不佳无法继续售卖的即可得出答案． （3）先计算出前四天的销售额，再计算后两天打折后的销售额，把六天的销售额加起来再减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）， 元 元 元 元 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 考点十一：数轴上表示含绝对值乘方的有理数问题 例题：（23-24七年级上·北京通州·期末）把下列各数：，，0，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先将每个数化简，然后表示在数轴上，再根据从左到右的顺序用“<”连接起来即可，准确在数轴上表示出来有理数是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 根据正数在原点右侧，负数在原点左侧，在数轴上的位置如图： 由数轴可得：． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·河南开封·期末）画出数轴，表示下列有理数，并按从小到大的顺序用“”号连接起来： ，，，，． 【答案】数轴见解析， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴和有理数大小的比较，先在数轴上表示出各数，再根据左边的点表示的数小于右边的点表示的数解答即可． 【详解】解：在数轴表示各数如下： 按从小到大的顺序用“”号连接起来： 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知下列有理数：0，． (1)计算：____________，____________； (2)这些数中，所有负数的和的绝对值是____________； (3)在数轴上描出表示0，这些数的点，并将它们用“<”连接起来． 【答案】(1)；； (2)； (3)图见解析， 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据乘方的意义和相反数的定义计算； （2）先确定负数，再求它们的和，然后和的绝对值即可； （3）利用数轴，标出表示各数对应的点，从而即可比较各有理数的大小． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：这些数中，负数有 ∴ = =， 故答案为： （3）解：在数轴上描出表示0，为： ． 【点睛】本题考查了有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了相反数和绝对值的意义以及在数轴上表示有理数及比较有理数的大小，熟练掌握乘方及绝对值的定义是解题的关键． 考点十二：数轴上动点运动问题 例题：（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ．    【答案】26或 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为．有一个玩具火车放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，点A所表示的数为 ． 【答案】 4 4或10 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，注意进行分类讨论．根据题意可知，的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度；设点A所表示的数为a，则点B表示的数为，分别将和的长度用含a的代数式的绝对值表示出来，根据和的数量关系列绝对值方程并求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴． 设点A所表示的数为a，则点B表示的数为， ∴，， ∴，即， 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，点A所表示的数为4或10． 故答案为：4；4或10． 考点十三：数轴上的折叠探究问题 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到， 解得， 故答案为：0． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得，由条件分类讨论即可. 【详解】解：由题意得： 设得到的三条线段的长度分别为：， 则：， 解得： 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 故答案为：或或 2．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②点表示，点表示5 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论； （2）①先确定折痕：，即可得结论；②设折痕为点，则，根据左边减，右边加可得结论． 【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折痕为原点， 表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）①若表示的点与3表示的点重合，则折痕为， ∴， ∴6表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； ②设折痕为点，则， 点表示的数为，点表示的数为． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键． 考点十四：有理数的混合运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【答案】(1)①5；②； (2)的值为1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则列式计算即可；②根据新定义运算法则列式计算即可； （2）根据新定义运算法则列方程计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ②， ； （2）解：分两种情况讨论： ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； 不满足， 应舍去， 综上所述：的值为1． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次议程．读懂题意并理解新运算的定义式是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入数据即可算出结论； （2）先把（1）得到的的值代入，再根据新运算的定义式，代入数据即可算出结论． （3）根据新运算的定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ 又由（1）得， ∴ ． （3）解：∵ ∴ 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握． （1）根据，求出的值是多少即可． （2）根据题中新定义得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴， 化简得：， 解得：． 考点十五：有理数的混合运算中规律探究问题 例题：（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、数字类规律探索 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 考点十六：数轴上的几何意义问题 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）【阅读理解】 （1）如图所示，或可以表示在同一条数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上信息，在同一条数轴上有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为________（只写一种）． 【探索发现】 （2）若有理数，，在同一条数轴上所对应的点分别为，，，求的值，当的值最小时，点在什么位置？ 【联系拓广】 （3）直接写出的最小值________． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）当点在线段上的时候，的值最小（3）12 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； 根据原式的最小值为，得到表示的点的左边和右边，且到距离为的点即可． 【详解】解：（）有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为； 故答案为：； （）①，表示到与到的距离之和， 当点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴当取最小值时，点在线段上； （）， ∴的最小值表示与，，，之间的距离最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、化简绝对值 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 真题感知 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）2024的倒数是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数，乘积等于1的两个数互为倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：2024的倒数是， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．和 D．与 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、判断是否互为相反数 【分析】本题主要考查了有理数的运算，相反数的定义等知识点，根据乘方的定义，绝对值的性质，添括号法则逐一计算，即可判断，熟练掌握有理数的基本运算是解决此题的关键． 【详解】A、，此选项不符合题意； B、，，互为相反数，此选项符合题意； C、，，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）国铁集团预计2021年底中国高铁运营总长度将达到37900公里，37900用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：. 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·期末）在有理数，，，，，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的分类、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查了多重符号化简、有理数乘方、绝对值的意义以及负数的定义，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键．根据多重符号化简、有理数乘方、绝对值的意义将原数化简，然后根据负数的定义：小于0的数即为负数即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴这些有理数中是负数的有，，，共个． 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，有理数的运算，根据数轴可知，且，进而判断各选项即可． 【详解】解：根据数轴可知， ， 所以，，，． 可知A符合题意，B、C、D不符合题意 故选：A． 二、填空题 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】此题考查了绝对值的非负性、非负数的性质、代数式的值等知识，利用非负数的性质求出是解题的关键．根据与互为相反数得到，根据绝对值的非负性和非负数的性质得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7．（23-24七年级上·吉林·期末）若为负数，且，写出一个符合条件的的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】绝对值的意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， 根据绝对值的意义以及为负数得出，可以写一个小于的负数即可． 【详解】解：∵，且为负数 ∴， 写出一个符合条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一） 8．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知有理数a、b在数轴上的位置如图，且，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】绝对值的意义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题考查了一元一次方程的解，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据数轴上点的位置得到小于大于0，已知等式化简得到，代入方程计算即可求出解． 【详解】解：由数轴可知， ， ， ， ∵关于的方程为， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对于任意有理数，定义一种新运算“”，规则如下：．例如：．则当时， ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加法和乘法运算，理解新定义规则是解题的关键． 根据新定义列出算式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时， ． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、化简绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的有关计算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法乘法法则． 先根据已知条件，把，和用，，表示出来，再根据，判断，，中三个数中只有一个负数，然后选择一种情况：，，，利用绝对值的性质进行判断即可． 【详解】解：， ，，中三个数中既有正数又有负数，且，，， ， ，，中三个数中只有一个负数， 不妨设，，， ，，， ， ． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可得解； （2）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）根据加减同级运算，按从左到右的顺序计算即可； （2）按运算顺序，先乘方再乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 14．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）某班级对15名同学的数学竞赛成绩进行了统计，以80分为基准分，高于基准分的部分记为正数，低于基准分的部分记为负数，得到的记录如下：，，，，，，，，，，0，，，，． (1)这名同学中，数学竞赛的最高分是多少？最低分是多少？ (2)求这名同学的数学竞赛平均成绩． 【答案】(1)最高分是分；最低分是分 (2)分 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，求平均数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义． （1）根据题目中给出的数据可以计算出最高分与最低分分别是多少； （2）将题目中的个数据相加的和除以，再与相加，即可解答本题． 【详解】（1）解：这名同学期中数学竞赛成绩的最高分是：（分）； 最低分是：（分）． （2）解：（分）， 所以这名同学期中数学竞赛成绩的平均成绩是：（分）． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知： b（用“、或”填空）； (2)结合数轴化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的减法运算、化简绝对值、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的意义，数轴的概念，关键是掌握有理数的大小比较方法，绝对值的意义，数轴的三要素． （1）由数轴可知，，，再比较大小即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，，再取绝对值符号合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ， 故答案为： （2）解：由数轴可知，，， ，，， ． 16．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： (1)表示数－2的点与表示数__________的点重合；表示数7的点与表示数__________的点重合. (2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是_______；点B表示的数是________； (3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？ 【答案】(1)6，－3 (2)－4、8 (3)M点表示的数为－1008或1012 【知识点】数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案； （2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论； （3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称， ∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称， 表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称， 故答案为：6，－3； （2）∵折叠后点A与点B重合， ∴点A与点B关于表示数2的点对称， ∵A，B两点之间距离为12， ∴点A和点B到表示数2的点的距离都为6， ∴点A表示的数为2－6=－4，点B表示的数为2＋6=8， 故答案为：－4，8； （3）设M表示的数为x， 当M点在A点左侧时，解得； 当M点在B点右侧时：，解得， 所以M点表示的数为－1008或1012． 【点睛】本题考查折叠问题，一元一次方程的解法，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 17．（23-24七年级上·河南南阳·期末）小刘在学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元，月末结算时，每周以500碗为标准，多卖记为正，少卖记为负，这四周的销售情况如下表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少元？ (2)这四周总销售额是多少？ (3)在（1）的条件下，为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来本店吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货需支付配送费2元． 若某人一次性购买4碗麻辣烫，则小刘更希望以哪种方案卖出？ 【答案】(1)第二周最多，是1444元 (2)总销售额13820元 (3)小刘更希望以方案二卖出 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，正确列出算式是解题关键． （1）分别求出每周收益，再比较即可； （2）分别求出每周销售额，再相加即可； （3）分别求出方案一和方案二的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：第一周：元，    第二周：元，    第三周：元，   第四周：元， 所以第二周最多，是1444元； （2）解：第一周：元，    第二周：元，    第三周：元，   第四周：元， 总销售额：元； （3）解：方案一利润：元， 方案二利润：元， 因为， 所以小刘更希望以方案二卖出． 18．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①：已知线段厘米，线段上的动点从端点开始在两个端点、之间一直作往返移动．点移动规则如下：第一次，点从点出发移动厘米到达点；第二次，点从点出发移动厘米到达点；第三次，点从点出发移动厘米到达点（点在移动过程中到达线段端点处立即折返移动） 例如：①当厘米时，、、、位置如图②所示，其中与点恰好重合，厘米，厘米，厘米，厘米； ②当厘米时，、、、位置如图③所示，其中点是点从移动到点后折返到途中的位置（即厘米），而恰好与重合； 仔细阅读上述材料后，解答下列问题： (1)若厘米，请利用图④操作实践，则 厘米； (2)若的取值在20厘米与29厘米之间，且点恰好平分线段，在图⑤中分析、、、的大概位置，并求出的值； (3)若的取值小于34厘米，且厘米，则对应的值是 ． 【答案】(1)75 (2) (3)或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】本题考查动点与线段之间的关系；能够理解题意，根据点的运动情况确定点的位置是解题的关键 （1）厘米； （2）线段厘米，厘米，； （3）三种情况讨论：①不掉头，厘米，②掉头一次，在右侧，厘米，③掉头一次，在左侧，厘米． 【详解】（1）解：厘米； 故答案为：75； （2）解：厘米，厘米，厘米，厘米； 恰好平分线段． 线段厘米， 厘米， ， ； （3）解：①不掉头， 厘米， ； ②掉头一次，在右侧， 厘米， ， ； ③掉头一次，在左侧， ， ， 厘米， ； 综上所述：或或； 故答案为：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：有理数的分类 3 考点二：求数的绝对值、相反数、倒数 4 考点三：正负数的实际应用 5 考点四：绝对值得非负性 6 考点五：有理数的大小比较 7 考点六：用科学记数法表示较大的数 9 考点七：根据点在数轴上的位置判断式子的正负及化简 10 考点八：有理数的混合运算 12 考点九：有理数的混合运算中错解复原问题 15 考点十：有理数的混合运算中应用问题 17 考点十一：数轴上表示含绝对值乘方的有理数问题 20 考点十二：数轴上动点运动问题 22 考点十三：数轴上的折叠探究问题 24 考点十四：有理数的混合运算中的新定义型问题 26 考点十五：有理数的混合运算中规律探究问题 28 考点十六：数轴上的几何意义问题 33 【知识点01】正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【知识点02】有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【知识点03】数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 【知识点04】相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 【知识点05】绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 【知识点06】有理数的大小比较 1.利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 2.利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 3.比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【知识点07】有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点08】科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点剖析 考点一：有理数的分类 例题：（23-24七年级上·广西北海·期末）下列四个数中，负整数是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.（23-24八年级上·山西朔州·期末）下列各数：，，，0，，中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（23-24七年级上·四川德阳·期末）在，，0，，，这6个数中，负数有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：求数的绝对值、相反数、倒数 例题：（23-24七年级上·广西钦州·期末）2024的绝对值是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖北·期末）2024的相反数是 ． 2.（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是 ． 3.（23-24七年级上·山东滨州·期末）的相反数是 ，的倒数是 ． 考点三：正负数的实际应用 例题：（24-25七年级上·全国·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练】 1.（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在．如果把收入8元记作元，那么支出6元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2.（23-24七年级上·河南周口·期末）我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 考点四：绝对值得非负性 例题：（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）已知与互为相反数，则 ． 2.（23-24七年级上·吉林四平·期末）如果，那么 ． 考点五：有理数的大小比较 例题：（23-24七年级上·新疆喀什·期末）比较大小： 【变式训练】 1.（23-24六年级下·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 2.（24-25七年级上·全国·期末）比较大小： ． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①   ②   ③ ． 考点六：用科学记数法表示较大的数 例题：（23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 2.（23-24七年级上·江苏徐州·期末）据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为 户． 考点七：根据点在数轴上的位置判断式子的正负及化简 例题：（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川德阳·期末）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0（用“”或“”或“”号填空）； (2)化简：． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．    (1)用“”或“”填空：，，． (2)化简：． 考点八：有理数的混合运算 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广东·期末）计算 (1) (2) 2.（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 考点九：有理数的混合运算中错解复原问题 例题：（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 2.（23-24七年级上·吉林辽源·期末）小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 考点十：有理数的混合运算中应用问题 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【变式训练】 1.（23-24七年级上·福建福州·期末）在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 (单位∶万人) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 考点十一：数轴上表示含绝对值乘方的有理数问题 例题：（23-24七年级上·北京通州·期末）把下列各数：，，0，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·河南开封·期末）画出数轴，表示下列有理数，并按从小到大的顺序用“”号连接起来： ，，，，． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知下列有理数：0，． (1)计算：____________，____________； (2)这些数中，所有负数的和的绝对值是____________； (3)在数轴上描出表示0，这些数的点，并将它们用“<”连接起来． 考点十二：数轴上动点运动问题 例题：（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ．    2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为．有一个玩具火车放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，点A所表示的数为 ． 考点十三：数轴上的折叠探究问题 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 2．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 考点十四：有理数的混合运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 考点十五：有理数的混合运算中规律探究问题 例题：（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 考点十六：数轴上的几何意义问题 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）【阅读理解】 （1）如图所示，或可以表示在同一条数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上信息，在同一条数轴上有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为________（只写一种）． 【探索发现】 （2）若有理数，，在同一条数轴上所对应的点分别为，，，求的值，当的值最小时，点在什么位置？ 【联系拓广】 （3）直接写出的最小值________． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 真题感知 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）2024的倒数是（　　） A．2024 B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．和 D．与 3．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）国铁集团预计2021年底中国高铁运营总长度将达到37900公里，37900用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·期末）在有理数，，，，，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级上·全国·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若与互为相反数，则 ． 7．（23-24七年级上·吉林·期末）若为负数，且，写出一个符合条件的的值为 ． 8．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知有理数a、b在数轴上的位置如图，且，则关于x的方程的解为 ． 9．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对于任意有理数，定义一种新运算“”，规则如下：．例如：．则当时， ． 10．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）计算 (1)． (2)． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 13．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 14．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）某班级对15名同学的数学竞赛成绩进行了统计，以80分为基准分，高于基准分的部分记为正数，低于基准分的部分记为负数，得到的记录如下：，，，，，，，，，，0，，，，． (1)这名同学中，数学竞赛的最高分是多少？最低分是多少？ (2)求这名同学的数学竞赛平均成绩． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知： b（用“、或”填空）； (2)结合数轴化简． 16．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： (1)表示数－2的点与表示数__________的点重合；表示数7的点与表示数__________的点重合. (2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是_______；点B表示的数是________； (3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？ 17．（23-24七年级上·河南南阳·期末）小刘在学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元，月末结算时，每周以500碗为标准，多卖记为正，少卖记为负，这四周的销售情况如下表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少元？ (2)这四周总销售额是多少？ (3)在（1）的条件下，为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来本店吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货需支付配送费2元． 若某人一次性购买4碗麻辣烫，则小刘更希望以哪种方案卖出？ 18．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①：已知线段厘米，线段上的动点从端点开始在两个端点、之间一直作往返移动．点移动规则如下：第一次，点从点出发移动厘米到达点；第二次，点从点出发移动厘米到达点；第三次，点从点出发移动厘米到达点（点在移动过程中到达线段端点处立即折返移动） 例如：①当厘米时，、、、位置如图②所示，其中与点恰好重合，厘米，厘米，厘米，厘米； ②当厘米时，、、、位置如图③所示，其中点是点从移动到点后折返到途中的位置（即厘米），而恰好与重合； 仔细阅读上述材料后，解答下列问题： (1)若厘米，请利用图④操作实践，则 厘米； (2)若的取值在20厘米与29厘米之间，且点恰好平分线段，在图⑤中分析、、、的大概位置，并求出的值； (3)若的取值小于34厘米，且厘米，则对应的值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$