专题02 数轴、绝对值-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（苏科版2024）

专题02 数轴、绝对值 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 目录 题型一 用数轴上的点表示有理数 1 题型二 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 4 题型三 数轴上两点之间的距离问题 5 题型四 数轴上动点移动的多解问题 7 题型五 数轴上的折叠探究问题 9 题型六 数轴上的几何意义问题 12 题型七 绝对值非负性的应用 15 题型八 已知范围，化简绝对值 16 题型九 借着数轴化简绝对值 18 题型十 分类讨论化简绝对值求代数式的值 20 题型十一 分类讨论化简绝对值的除法 22 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 用数轴上的点表示有理数 ⭐技巧积累与运用 在数轴上表示各数，然后根据数轴右边的数大于左边的数，用“”将它们连接起来即可求解．本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键 【例1】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）把下列数在数轴上表示出来，并用“<”连接起来． ， 3 ，0， ，，+1 【变式1-1】（23-24七年级上·北京通州·期末）把下列各数：，，0，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南昭通·期末）把下列各数在数轴上用点表示出来，并用“”把它们连接起来．，，，，． 【变式1-3】（22-23七年级上·云南红河·期末）画一条数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来：，，， 【变式1-4】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．    (1)填空：数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． (3)将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 题型二 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 ⭐技巧积累与运用 利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负。 【例2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·重庆南川·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 题型三 数轴上两点之间的距离问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离：d=右边的数-左边的数 【例3】（23-24七年级上·广东佛山·期末）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上到的距离等于3的点表示的数是 ． 【变式3-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 ． 【变式3-3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）点M在数轴上表示的数是4，那么在同一数轴上与点M距离为5个单位的点表示的数是 ． 题型四 数轴上动点移动的多解问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数. 【例4】（23-24七年级上·广东佛山·期末）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【变式4-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）数轴上与点2位置3个的单位长度的点为 ． 【变式4-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 【变式4-3】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ．    【变式4-4】（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 题型五 数轴上的折叠探究问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数。 【例5】（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【变式5-1】（23-24七年级上·河北沧州·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： ①2表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数为： ． 【变式5-2】（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【变式5-3】（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 题型六 数轴上的几何意义问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、化简绝对值 【例6】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）【阅读理解】 （1）如图所示，或可以表示在同一条数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上信息，在同一条数轴上有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为________（只写一种）． 【探索发现】 （2）若有理数，，在同一条数轴上所对应的点分别为，，，求的值，当的值最小时，点在什么位置？ 【联系拓广】 （3）直接写出的最小值________． 【变式6-1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 题型七 绝对值非负性的应用 ⭐技巧积累与运用 绝对值非负性、有理数的乘方运算 【例7】（23-24七年级上·北京·期末）已知，则的值是 ． 【变式7-1】（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知，则 ． 【变式7-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）若，则的值是 ． 【变式7-3】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）若， 则 ． 题型八 已知范围，化简绝对值 ⭐技巧积累与运用 化简绝对值、整式的加减运算 【例8】（23-24七年级上·江苏南京·期末）若，化简的结果是 ． 【变式8-1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）当时，化简： ． 【变式8-2】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）若，那么化简结果是 ． 【变式8-3】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ． 题型九 借着数轴化简绝对值 ⭐技巧积累与运用 整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：_____0，______0，______0； (2)化简：． 【变式9-1】（23-24七年级上·广东广州·期末）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)的值为________． (2)化简 【变式9-2】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【变式9-3】（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，数轴上的三点分别表示有理数． (1)填空：______，______，_____0；（用“”“”或“”填空） (2)化简：． 题型十 分类讨论化简绝对值求代数式的值 ⭐技巧积累与运用 有理数的减法运算、化简绝对值 【例10】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知，，且，则的值为 ． 【变式10-1】（23-24七年级上·福建漳州·期末）若，，，则的值为 ． 【变式10-2】（23-24七年级上·四川眉山·期末）已知，，且，则 ． 【变式10-3】（23-24七年级上·广东东莞·期末）若，. (1)分别直接写出和的值； (2)如果，求的值. 题型十一 分类讨论化简绝对值的除法 ⭐技巧积累与运用 化简绝对值、有理数的除法运算 【例11】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）若，那么的取值可能是 【变式11-1】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）若都是有理数，且，则的值是 ． 【变式11-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【变式11-3】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）数轴上位于原点右边3个单位长度的点记为，则位于原点左边2个单位长度的点记为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）数轴上表示整数的点叫做整点，某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画出一条长度为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．2023个 B．2024个 C．2022个或2023个 D．2023个或2024个 5．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在数轴上点，，对应的有理数分别是，，．下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 二、填空题 6．（23-24七年级上·陕西安康·期末）若，且，则 ． 7．（23-24七年级上·河南漯河·期末）已知，则 ． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）已知有理数a，b满足，，，则的值为 ． 9．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 10．（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，． 12．（23-24七年级上·云南临沧·期末）一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． (1)画数轴表示点所在的位置，并写出三点表示的数； (2)根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 13．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）、、在数轴上的位置如图所示，则：        (1)用“”填空：a_______0， b_______0， c_______0，   0； (2)化简：． 14．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 15．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 一、解答题 1．（23-24七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧．点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____，两点之间的距离为_____： (2)若点为数轴上一点，且点到点的距离是2，则点和点之间的距离为_____； (3)若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a，b满足． (1)求A、B两点之间的距离； (2)点C在A点的左侧，D在B点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点C与点D之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点P以3个单位/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 3．（23-24七年级上·北京·期末）对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作（点，线段；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作（点，线段）．特别的，若点与点重合，则，两点间距离为0．已知点表示的数为，点表示的数为3．例如，若点表示的数为5，则（点，线段），（点，线段）． (1)若点表示的数为，则（点，线段）______，点D，线段______； (2)若点表示数为，点表示数为．（点，线段）是（点，线段）的4倍，求的值． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板(挡板厚度器略不计)，点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为t(秒)()． (1)点A表示的数为______，点B表示的数______． (2)当点P碰到挡板时，t的值为______． (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． (5)当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值． 5．（24-25七年级上·辽宁·期末）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，点是的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段是线段的倍数； (2)动点、、在线段上，点从原点出发，以每秒4个单位的速度沿运动，到达点停止；点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、、同时出发，设运动的时间为秒． ①是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②在点的整个运动过程中，求点可能落在线段上的总时长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴、绝对值 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 目录 题型一 用数轴上的点表示有理数 1 题型二 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 4 题型三 数轴上两点之间的距离问题 5 题型四 数轴上动点移动的多解问题 7 题型五 数轴上的折叠探究问题 9 题型六 数轴上的几何意义问题 12 题型七 绝对值非负性的应用 15 题型八 已知范围，化简绝对值 16 题型九 借着数轴化简绝对值 18 题型十 分类讨论化简绝对值求代数式的值 20 题型十一 分类讨论化简绝对值的除法 22 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 用数轴上的点表示有理数 ⭐技巧积累与运用 在数轴上表示各数，然后根据数轴右边的数大于左边的数，用“”将它们连接起来即可求解．本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键 【例1】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）把下列数在数轴上表示出来，并用“<”连接起来． ， 3 ，0， ，，+1 【答案】数轴见详解， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据题意，将各数表示在数轴上，然后根据数轴右边的数大于左边的数，用“”将它们连接起来即可求解．本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ． 【变式1-1】（23-24七年级上·北京通州·期末）把下列各数：，，0，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先将每个数化简，然后表示在数轴上，再根据从左到右的顺序用“<”连接起来即可，准确在数轴上表示出来有理数是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 根据正数在原点右侧，负数在原点左侧，在数轴上的位置如图： 由数轴可得：． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南昭通·期末）把下列各数在数轴上用点表示出来，并用“”把它们连接起来．，，，，． 【答案】数轴见解析； 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较；先在数轴上表示出各个数，再比较即可． 【详解】解：如图所示， ∴． 【变式1-3】（22-23七年级上·云南红河·期末）画一条数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来：，，， 【答案】数轴见解析， 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较大小、化简多重符号、求绝对值、乘方，先将各个数进行化简，再表示在数轴上，利用数轴进行比较即可得出答案． 【详解】解：，，，， 将各数表示在数轴上如图所示： ∴． 【变式1-4】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．    (1)填空：数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． (3)将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图，     ； （3）解：由数轴知：． 题型二 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 ⭐技巧积累与运用 利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负。 【例2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴．根据所给数轴判断出的取值，再逐个判断即可． 【详解】解：由图得，，且， ，，，均不符合题意， 符合题意， 故选：B． 【变式2-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题主要考查了有理数加、减、乘法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握． 根据图示，可得： ，且，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得 ，且， ∴，故A符合题意； ∴，故B不符合题意； ，，∴C不符合题意； ，∴D不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级上·重庆南川·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查有理数的运算法则，由数轴可知，且，再利用有理数的运算法则逐项判断即可. 【详解】解：在A选项中，，，正确，故A选项不符合题意； 在B选项中，，，正确，故B选项不符合题意； 在C选项中，，，正确，故C选项不符合题意； 在D选项中，，由数轴可知，不正确，故D选项符合题意； 故选D. 【变式2-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上的位置如图所示： ， 故①正确；，②错误；由①②可得，③正确； ， ，④错误； 综上所述，正确的有①③， 故选：C． 题型三 数轴上两点之间的距离问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离：d=右边的数-左边的数 【例3】（23-24七年级上·广东佛山·期末）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上到的距离等于3的点表示的数是 ． 【答案】或2 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案，解题的关键是分类讨论． 【详解】解：当这个点在的左边时，这个数是： 当这个点在的右边，这个数是： 故答案为：或2． 【变式3-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 ． 【答案】8或/或8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离且结合题意进行分类讨论是解题的关键．分两种情况分别求解即可． 【详解】解：当另一个点在3的右边时， 此时另一点表示的数为； 当另一个点在3的左边时， 此时另一点表示的数为． 故答案为：8或． 【变式3-3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）点M在数轴上表示的数是4，那么在同一数轴上与点M距离为5个单位的点表示的数是 ． 【答案】或9 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了分类讨论思想，以及数轴上两点之间的距离．记距离点M为5个单位的点为，从数轴具有方向性入手，分类以下两种情况讨论①当点在点M的左侧时，②当点在点M的右侧时，根据数轴上两点之间的距离，即可求出表示的数． 【详解】解：记距离点M为5个单位的点为， ①当点在点M的左侧时，在同一数轴上与点M距离为5个单位的点表示的数是：， ②当点在点M的右侧时，在同一数轴上与点M距离为5个单位的点表示的数是：． 故答案为：或9． 题型四 数轴上动点移动的多解问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数. 【例4】（23-24七年级上·广东佛山·期末）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：或． 【变式4-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）数轴上与点2位置3个的单位长度的点为 ． 【答案】或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题主要考查了数轴、两点之间的距离的有关内容，要熟练掌握，注意分两种情况． 根据题意，与点2相距3个单位长度的点有可能在点2的左边，也有可能在点A的右边，据此求解即可． 【详解】解：（1）与点2相距3个单位长度的点在点2的左边时， ． （2）与点2相距3个单位长度的点在点2的右边时， ． 所以与点2相距3个单位长度的点表示的数是或5． 故答案为：或5． 【变式4-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 【答案】 【知识点】 圆柱的侧面积、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，数轴的运用，由题意可得，底面圆的周长为，而圆柱体的高为，根据侧面积底面周长高即可求解，解题的关键是通过数轴求出圆柱体的底面周长． 【详解】解：由题意可得，底面圆的周长为， ∴这个圆柱体的侧面积为， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ．    【答案】26或 【知识点】数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 【变式4-4】（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 题型五 数轴上的折叠探究问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数。 【例5】（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到， 解得， 故答案为：0． 【变式5-1】（23-24七年级上·河北沧州·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： ①2表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数为： ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，熟练掌握两点间的距离是解答本题的关键． ①先求出折痕表示的数，进而可求出与2重合的数； ②由、两点经折叠后重合可知表示的点是线段的中点，据此其求解即可． 【详解】①折痕表示的数为， 与2重合的数是． 故答案为：； ②∵、两点经折叠后重合， ∴表示的点是线段的中点， ∵数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），， ∴点表示的数为：． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得，由条件分类讨论即可. 【详解】解：由题意得： 设得到的三条线段的长度分别为：， 则：， 解得： 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 故答案为：或或 【变式5-3】（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②点表示，点表示5 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论； （2）①先确定折痕：，即可得结论；②设折痕为点，则，根据左边减，右边加可得结论． 【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折痕为原点， 表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）①若表示的点与3表示的点重合，则折痕为， ∴， ∴6表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； ②设折痕为点，则， 点表示的数为，点表示的数为． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键． 题型六 数轴上的几何意义问题 ⭐技巧积累与运用 数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、化简绝对值 【例6】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）【阅读理解】 （1）如图所示，或可以表示在同一条数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上信息，在同一条数轴上有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为________（只写一种）． 【探索发现】 （2）若有理数，，在同一条数轴上所对应的点分别为，，，求的值，当的值最小时，点在什么位置？ 【联系拓广】 （3）直接写出的最小值________． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）当点在线段上的时候，的值最小（3）12 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； 根据原式的最小值为，得到表示的点的左边和右边，且到距离为的点即可． 【详解】解：（）有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为； 故答案为：； （）①，表示到与到的距离之和， 当点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴当取最小值时，点在线段上； （）， ∴的最小值表示与，，，之间的距离最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式6-1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、化简绝对值 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 题型七 绝对值非负性的应用 ⭐技巧积累与运用 绝对值非负性、有理数的乘方运算 【例7】（23-24七年级上·北京·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】此题主要考查了非负数的性质，绝对值有非负性，偶次方的非负性，有理数的乘方，正确得出，的值是解题关键． 直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则的值是：． 故答案为：． 【变式7-1】（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求得，的值即可． 【详解】解：， ，， 解得，， 故答案为． 【变式7-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，乘方，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解决本题的关键． 根据绝对值和平方的非负性列式求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：16 【变式7-3】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）若， 则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的减法运算 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的加减混合运算，由平方和绝对值的非负性得，即可求解；理解非负性是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得， ． 故答案：． 题型八 已知范围，化简绝对值 ⭐技巧积累与运用 化简绝对值、整式的加减运算 【例8】（23-24七年级上·江苏南京·期末）若，化简的结果是 ． 【答案】2 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，先根据去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 【变式8-1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）当时，化简： ． 【答案】4 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值与整式加法的综合计算，先判断绝对值里的数为正数还是负数，再去绝对值符号进行化简．熟练掌握绝对值的意义、正确去掉绝对值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式=， 故答案为：4． 【变式8-2】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）若，那么化简结果是 ． 【答案】1 【知识点】化简绝对值、绝对值的意义 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ 故答案为：1 【变式8-3】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ． 【答案】1 【知识点】化简绝对值 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和解答即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知， 表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和， ∵， ∴数轴上表示m的点在表示有理数3，4的点之间， 等于表示有理数3，4的点之间的距离1， 故答案为：1． 题型九 借着数轴化简绝对值 ⭐技巧积累与运用 整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：_____0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值，掌握化简原则是解题关键. （1）由数轴可知：，据此即可求解； （2）根据绝对值的化简原则即可求解； 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴ 故答案为：＜，＜，＞ （2）解：原式 【变式9-1】（23-24七年级上·广东广州·期末）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)的值为________． (2)化简 【答案】(1) (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号： （1）根据题意可得，则，据此化简绝对值即可； （2）先推出，据此化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴ ； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴ ． 【变式9-2】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、有理数的除法运算、整式的加减运算 【分析】（1）利用点在数轴上的位置，可得，，从而可得答案； （2）先判断，，再化简绝对值，合并同类项即可． 本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数加减运算的符号确定，去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知： ，， ，． 故答案为：， （2）解：由图知：，，， ，， ． 【变式9-3】（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，数轴上的三点分别表示有理数． (1)填空：______，______，_____0；（用“”“”或“”填空） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、有理数大小比较、整式的加减运算 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点及绝对值的性质是解题关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出的大小及符号，再由有理数的加减法则即可得出结论； （2）根据（1）中，及的符号，由绝对值的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由数轴上的三点三点的位置可知，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知， ． 题型十 分类讨论化简绝对值求代数式的值 ⭐技巧积累与运用 有理数的减法运算、化简绝对值 【例10】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】有理数的减法运算、化简绝对值 【分析】本题考查了绝对值以及有理数的加减法．根据，，求出，，然后根据，可得，然后分情况求出的值． 【详解】解：，， 、， 又， ， 则、或、， 所以或， 故答案为：或． 【变式10-1】（23-24七年级上·福建漳州·期末）若，，，则的值为 ． 【答案】1或13 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、化简绝对值、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了化简绝对值以及求一个数的绝对值，先由，，得，结合，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ 则 ∴ 故答案为：1或13． 【变式10-2】（23-24七年级上·四川眉山·期末）已知，，且，则 ． 【答案】67或95 【知识点】化简绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值意义，有理数的减法和乘方．根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：67或95． 【变式10-3】（23-24七年级上·广东东莞·期末）若，. (1)分别直接写出和的值； (2)如果，求的值. 【答案】(1)， (2)或1 【知识点】化简绝对值、两个有理数的乘法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值，代数式求值： （1）根据绝对值的定义直接求解； （2）根据确定和的值，代入计算． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：，，， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值为或1． 题型十一 分类讨论化简绝对值的除法 ⭐技巧积累与运用 化简绝对值、有理数的除法运算 【例11】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）若，那么的取值可能是 【答案】或3/3或 【知识点】化简绝对值、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分四种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：或3 【变式11-1】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）若都是有理数，且，则的值是 ． 【答案】3或/或3 【知识点】化简绝对值、有理数加法运算、有理数的除法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义，有理数的除法法则，分类讨论是解题的关键．由变形可得：，从而原式可化为：；再由可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， ∵， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式， 当y为负时，原式， 当z为负时，原式， 故答案为：3或． 【变式11-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】化简绝对值、绝对值非负性、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定且是解题的关键． 【详解】解：方程， ，即， 或， 或， 方程始终存在四个不同的实数解， ，， 且， ， 故答案为：1． 【变式11-3】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了化简绝对值，由数轴判断式子的正负． （1）由所给数轴即可判断． （2），据此即可化简． 【详解】（1）解：由数轴可知：，，， ∵， ∴ 故答案为：，，，． （2） 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）数轴上位于原点右边3个单位长度的点记为，则位于原点左边2个单位长度的点记为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】根据数轴的特点即可求解． 此题主要考查数轴表示的数，解题的关键是熟知数轴上的数移动特点． 【详解】数轴上位于原点右边3个单位长度的点记为，则位于原点左边2个单位长度的点记为， 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】判断是否互为相反数 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故选：D 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）数轴上表示整数的点叫做整点，某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画出一条长度为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．2023个 B．2024个 C．2022个或2023个 D．2023个或2024个 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是2024个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是2023个．本题考查了数轴，利用了分类讨论的思想，做题时考虑问题要全面，注意不要遗漏． 【详解】解：依题意得： 当线段起点在整点时覆盖2024个数， 当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2023个数， 故选：D． 5．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在数轴上点，，对应的有理数分别是，，．下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子的正负，掌握相关知识是解题的关键．根据数轴可知，然后分析判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，，， 所以，结论正确的有①②． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·陕西安康·期末）若，且，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值的意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·河南漯河·期末）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）已知有理数a，b满足，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、化简绝对值 【分析】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，有理数的乘法计算，根据，，可得异号，据此分当时，，当时，，两种情况根据去绝对值得到a、b的关系式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 【答案】①④/④① 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则． 根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【详解】由数轴可得：，， ∴，，，， ∴，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． ∴正确的式子是①④． 故答案为：①④ 10．（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 【答案】8或80 【知识点】数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上动点的移动规律，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：考虑到点P是动点，分三种情况讨论： ①当点P在A点左侧时，因，则不符合题意，故舍去； ②当P点在A、B中间时，有，解得； ③当P点在B点右侧时，有，解得． 因此P点表示的数为8或80， 故答案为：8或80． 三、解答题 11．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析图，． 【知识点】化简绝对值、化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：，， 在数轴上标出如图， 根据数轴特点：． 12．（23-24七年级上·云南临沧·期末）一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． (1)画数轴表示点所在的位置，并写出三点表示的数； (2)根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 【答案】(1)数轴见解析；点表示2，点表示5，点表示 (2)向左爬行了4个单位长度 【知识点】数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数； （1）将蚂蚁的运动过程在数轴上表示出来就能找出，，三点表示的数； （2）根据点表示的数即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，点表示2，点表示5，点表示 （2）∵点C表示， ∴蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度． 13．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）、、在数轴上的位置如图所示，则：        (1)用“”填空：a_______0， b_______0， c_______0，   0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）由所给数轴即可判断； （2），据此即可化简． 【详解】（1）解：由数轴可知： ∵ ∴ 故答案为： （2）解： 【点睛】本题考查了化简绝对值、由数轴判断式子的正负．注意掌握相关结论． 14．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展： 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【详解】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 15．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 一、解答题 1．（23-24七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧．点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____，两点之间的距离为_____： (2)若点为数轴上一点，且点到点的距离是2，则点和点之间的距离为_____； (3)若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】(1)，， (2)或 (3)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据原点左侧为负，原点右侧为正，再结合到原点的距离可得A、B两点表示的数，然后根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （2）根据求出P点表示的数，再分情况计算的值即可； （3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．因此分三种情况进行讨论：①Q在P和M的中间；②P在Q和M的正中间；③、重合时；分别列方程求出时间t，然后可得三个点表示的数． 【详解】（1）解：∵点A在原点O的左侧，距离原点12个单位长度；点B在原点O的右侧，距离原点2个单位长度， ∴A点表示的数为，B点表示的数为2， ∴A、B两点之间的距离为． （2）解：∵，B点表示的数为2， ∴P点表示的数为或， 又∵A点表示的数为， ∴或， 即的值为12或16； （3）解：设运动时间为t，运动中对应的数为，对应的数为，对应的数为， ①当Q在P和M的中间；当点到点、两个点距离相等时， 可得：， 解得． 此时点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为． ②当P在Q和M的正中间；当点到、两个点距离相等时， 可得：， 解得（舍）． ③当、重合时，即点到、两个点距离相等时， 可得：， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为． 点表示的数为． 因此，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a，b满足． (1)求A、B两点之间的距离； (2)点C在A点的左侧，D在B点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点C与点D之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点P以3个单位/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 【答案】(1)18 (2)24 (3)10秒 【知识点】绝对值非负性、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，正确理解距离公式，把握动点的实质是解题的关键． （1）根据绝对值和平方式的非负性，由，得到，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数即，计算即可． （2）根据，确定，比较大小后，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数，计算即可． （3）当追上点时，点、点到点的距离相等，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵两点间的距离等于右边的数减去左边的数， ∴． （2）解：∵点表示数点表示数6， ， ∴， ∴． （3）解：∵点表示数点表示数点表示数点表示数， ∴， 设运动秒时，点、点到点的距离相等， 当追上点时，点、点到点的距离相等， ∴， 解得(秒)； ∴经过10秒，点、点到点的距离相等． 3．（23-24七年级上·北京·期末）对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作（点，线段；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作（点，线段）．特别的，若点与点重合，则，两点间距离为0．已知点表示的数为，点表示的数为3．例如，若点表示的数为5，则（点，线段），（点，线段）． (1)若点表示的数为，则（点，线段）______，点D，线段______； (2)若点表示数为，点表示数为．（点，线段）是（点，线段）的4倍，求的值． 【答案】(1)1，6 (2)或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了新定义，数轴，一元一次方程的应用，理解题目已知给出的定义是解题的关键． （1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点在点的左侧，点在点的右侧． 【详解】（1）解： 点表示的数为， 点，线段， 点，线段， 故答案为：1，6； （2）解：分两种情况： 当点在点的左侧， 点，线段， 点，线段， 点，线段是点，线段的4倍， ， 解得：， 当点在点的右侧， 点，线段， 点，线段， 点，线段是点，线段的4倍， ， 解得：， 综上所述：的值为：或5． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板(挡板厚度器略不计)，点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为t(秒)()． (1)点A表示的数为______，点B表示的数______． (2)当点P碰到挡板时，t的值为______． (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． (5)当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，12 (2)9 (3)4，6 (4)可能，或 (5)或或． 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）用的距离除以点的速度，即可； （3）用点表示的数加上点运动5秒时的路程，即为点表示的数，用点表示的数减去点返回的路程，表示出点运动11秒时表示的数； （4）分点碰到挡板之前和碰到挡板之后，两种情况，列出方程进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； （2）解：秒； ∴当点P碰到挡板时，t的值为； 故答案为：9； （3）解：当时，点表示的数为：； 当时，由（2）可知点运动9秒后碰到挡板， ∴点表示的数为：； 故答案为：4，6； （4）解：能， ①当点碰到挡板之前，点表示的数为， 当点在原点和挡板中间时，满足题意，即：， 解得：， ②当点碰到挡板之后，点表示的数为， 当点在原点和挡板中间时，满足题意，即：， 解得：； 综上：或； （5）解：①当点碰到挡板之前，点表示的数为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ②当点碰到挡板返回时：点表示的数为，挡板表示的数为， 由题意，得， 解得：或； 综上：或或． 【点睛】本题考查非负性，两点间的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 5．（24-25七年级上·辽宁·期末）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，点是的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段是线段的倍数； (2)动点、、在线段上，点从原点出发，以每秒4个单位的速度沿运动，到达点停止；点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、、同时出发，设运动的时间为秒． ①是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②在点的整个运动过程中，求点可能落在线段上的总时长． 【答案】(1)图见解析， (2)①存在，；②秒 【知识点】数轴上的动点问题、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题是数轴的一个综合题，涉及非负数性质，一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的难点与关键． （1）利用绝对值和平方的非负性质即可求解； （2）①先得出，再根据已知条件得出关于t的一元一次方程求解即可． ②分别求出点在上与点相遇时、与点相遇时，点从返回到，与点相遇时、与点相遇时，t的值，然后求解即可． 【详解】（1）解：， ，且， 解得，，， 点是的中点， 点对应的数为2， ，， ； 补充图形如下： （2）①点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动， ， 则， 点、两点同方向同速度， ， ， ， 解得：， 根据题意，得，符合题意， 存在值，使得，此时； ②点在上与点相遇时，， 与点相遇时，， 点从返回到，与点相遇时，， 与点相遇时，， 停止后还有3秒， 在点的整个运动过程中，点可能落在线段上的总时长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$