九年级数学期末考前必刷卷01-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

九年级期末考前必刷卷01 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级全部。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．若方程的两根分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，为的外接圆，半径为（        ） A．2 B． C． D．1 5．如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 6．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 8．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。） 9．已知线段，线段，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长为 ． 10．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为．设小路的宽度为，则可列方程为 ． 11．抛物线与坐标轴的交点个数是 ． 12．若九年级五名男生的体重（单位：kg）分别为50，53，52，55，55，则这五位男生体重的中位数、众数、平均数的和是 ． 13．一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是 ． 14．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 15．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 16．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 三、解答题（第17、18小题8分，第19、20小题各9分，第21、21、23小题各11分，第24小题13分，共80分） 17．解方程： (1)（用公式法）． (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 19．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级： 9，7，6，9，9，10，8，9，7，6 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； (3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？ 并说明理由． 20．常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 21．如图，一条笔直的公路边有A、B、C三个超市，批发中心D在A北偏东方向，在B正北方向，在C北偏西方向，C在A北偏东方向，A、B相距4千米． (1)批发中心D与超市A之间的距离； (2)超市B、C之间的距离． 22．如图，以边为直径的经过点P，C是上一点，连接交于点E，且，． (1)证明：是的切线； (2)若点C是弧的中点，已知，求的值． 23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为元，试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若商场要尽快减少库存，每天获得销售利润元，销售单价应定为多少元？ (3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期末考前必刷卷01 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级全部。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 2．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 3．若方程的两根分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系可得，，所求的代数式，最后整体代入可得结果． 【详解】解：方程的两根为，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． 4．如图，在中，，，为的外接圆，半径为（        ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，连接，，由圆周角定理求得，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴的半径是， 故选：B 5．如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何概率的求法：落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为，其中阴影部分面积为， ∴落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 6．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 7．关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，得出开口向下，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， 则，开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 8．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。） 9．已知线段，线段，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键． 依题意得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：6． 10．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为．设小路的宽度为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意． 由题意得：栽种花草的部分可合成长为，宽为的矩形，然后根据花草区域占地面积为列方程即可． 【详解】解：设小路的宽度为， ∴栽种花草的部分可合成长为，宽为的矩形， ∴． 故答案为：． 11．抛物线与坐标轴的交点个数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标．当时，求出与y轴的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与轴的交点个数． 【详解】解：当时，， 则与轴的交点坐标为， 当时，， ， 所以，该方程无解，即抛物线与x轴没有交点． 综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是1个． 故答案为：1． 12．若九年级五名男生的体重（单位：kg）分别为50，53，52，55，55，则这五位男生体重的中位数、众数、平均数的和是 ． 【答案】161 【分析】将这组数据重新排列，根据中位数，众数，平均数的定义，即可求解， 本题考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：将这组数据重新排列为：50，52，53， 55，55， 中位数为53，众数为55，平均数为， ， 故答案为：161． 13．一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球个，白球个，黑球个， ∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， ∴， 当时，原分式方程有意义， ∴与的和是， 故答案为： ． 14．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，， 当时，，故①正确； 当时，，故点火后火箭没有落于地面，故②错误； 当时，，解得， 小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为，故③正确； 由，当时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为，故④正确． 故答案为：①③④． 15．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查对折的性质，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质；设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 三、解答题（第17、18小题8分，第19、20小题各9分，第21、21、23小题各11分，第24小题13分，共80分） 17．解方程： (1)（用公式法）． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先求得判别式的值，再利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， 或， 解得，． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 19．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级： 9，7，6，9，9，10，8，9，7，6 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； (3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？ 并说明理由． 【答案】(1)8，9； (2)八； (3)我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析． 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：（1）把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，6，6，7，8，8，8，9，11，12， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为 九年级10名学生每周锻炼9小时的最多有4人，所以众数， 故答案为：8，9； （2）A同学平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； （3）我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好， 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 20．常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用画树状图或列表法求概率． （1）根据题意可知共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况，然后根据概率公式计算概率即可． （2）列出表格，得出总的情况数，再得出小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况 ∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是； （2）列表如下： A B C A (A，A) (B，A) (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) ∴共有9种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种， ∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为． 21．如图，一条笔直的公路边有A、B、C三个超市，批发中心D在A北偏东方向，在B正北方向，在C北偏西方向，C在A北偏东方向，A、B相距4千米． (1)批发中心D与超市A之间的距离； (2)超市B、C之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用： （1）过点B作于E，得 ，由等腰三角形性质得出从而可求出； （2）过点B作交于点F，求得再求得，最后由勾股定理可求出 【详解】（1）解：过点B作于E， ∵ 又 ∴， 由勾股定理得 ∴ （2）解：过点B作交于点F， ∵ ， ∴由勾股定理得 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得 22．如图，以边为直径的经过点P，C是上一点，连接交于点E，且，． (1)证明：是的切线； (2)若点C是弧的中点，已知，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，然后计算出的度数，进而可得，从而证明是的切线； （2）连接，首先求出，然后可得长，再证明，进而可得，然后可得的值． 【详解】（1）连接， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，且过半径外端P, ∴是的切线． （2）连接， ∵是的直径， ∴， 又∵C为弧的中点， ∴，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， , ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理． 23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为元，试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若商场要尽快减少库存，每天获得销售利润元，销售单价应定为多少元？ (3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元 (3)当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）配方，直接利用二次函数最值求法得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； （3）， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 24．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 $$