专题05 圆（考题猜想，易错必刷41题10种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题05 圆（易错必刷41题10种题型专项训练） 目录 【题型一】求某点的弧形运动路径长度（共4题） 1 【题型二】求图形旋转后扫过的面积（共4题） 7 【题型三】求其他不规则图形的面积（共4题） 10 【题型四】垂径定理解决实际问题（共4题） 15 【题型五】利用弧、弦、圆心角的关系求证（共5题） 20 【题型六】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题（共4题） 27 【题型七】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题（共3题） 34 【题型八】利用圆内接四边形求解答题（共4题） 41 【题型九】证明某直线是切线的综合问题（共6题） 49 【题型十】与圆有关的新定义型问题（共3题） 60 【题型一】求某点的弧形运动路径长度（共4题） 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形的顶点，在半径为1的圆上，顶点，在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．    4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【题型二】求图形旋转后扫过的面积（共4题） 5．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ． 7．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 ． 8．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 【题型三】求其他不规则图形的面积（共4题） 9．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 11．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 ． 12．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型四】垂径定理解决实际问题（共4题） 13．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    14．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 15．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 16．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【题型五】利用弧、弦、圆心角的关系求证（共5题） 17．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 18．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 19．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． (1)求的度数． (2)若，，求点A，B到直线的距离的和． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【题型六】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题（共4题） 22．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 24．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、． 求证：； 【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径； 【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长． 【题型七】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题（共3题） 26．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 27．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，，是直径，，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 28．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 【题型八】利用圆内接四边形求解答题（共4题） 29．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 30．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 31．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，，垂足为E，求的大小． 32．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．    (1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示） (2)如图，当点在上时，过点作于点． ①请探究线段，和之间的数量关系，并证明； ②若，则________； (3)若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长． 【题型九】证明某直线是切线的综合问题（共6题） 33．（24-25九年级上·全国·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 34．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)t为何值时，四边形为矩形？ (2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ (3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 35．（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 36．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 37．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【题型十】与圆有关的新定义型问题（共3题） 39．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 40．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 41．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】 如图1，，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，，满足，则称是的“幸运角”． 【问题探究】 （1）如图2，是的直径，弦，是上的一点，连接交于点，连接． ①是的“幸运角”吗？请说明理由； ②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数； 【拓展延伸】 （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长． $$专题05 圆（易错必刷41题10种题型专项训练） 目录 【题型一】求某点的弧形运动路径长度（共4题） 1 【题型二】求图形旋转后扫过的面积（共4题） 7 【题型三】求其他不规则图形的面积（共4题） 10 【题型四】垂径定理解决实际问题（共4题） 15 【题型五】利用弧、弦、圆心角的关系求证（共5题） 20 【题型六】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题（共4题） 27 【题型七】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题（共3题） 34 【题型八】利用圆内接四边形求解答题（共4题） 41 【题型九】证明某直线是切线的综合问题（共6题） 49 【题型十】与圆有关的新定义型问题（共3题） 60 【题型一】求某点的弧形运动路径长度（共4题） 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解． 【详解】解： ∵将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A的运动路径的长为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形的顶点，在半径为1的圆上，顶点，在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求弧长、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质及其应用问题以及弧长公式．画出图形，找到每一次的旋转角度和旋转中心以及弧长，利用弧长公式解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由图可得：连接，，，， ， ，，，为等边三角形， B到的运动轨迹是以A为圆心的弧形 ， 由旋转的性质可得： 连接，由题意得为正方形的对角线，则 ， ， ， ， 点的运动路径长为， 故答案为：． 【详解】详解片段 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．    【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角，旋转前后对应角相等，对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，通过证明，得出，进而得出，则点P在以为直径的圆上运动，连接，当绕点A顺时针旋转时，点A和点P重合，此时，根据弧长公式，即可解答． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到，四边形为正方形， ∴，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P在以为直径的圆上运动， 连接， ∵， ∴点D为中点， ∴，    当绕点A顺时针旋转时，点A和点P重合， 此时， ∴点P经过的路程为， 故答案为：．    4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，， ， ，分别平分、， ， 连接， ，，， ， ， 点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分， 过点、、作圆，作圆内接四边形，则， ， ，， ， 当重合时， 则， ，则是等边三角形 点的运动路径长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键． 【题型二】求图形旋转后扫过的面积（共4题） 5．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，∵， 由旋转的性质得，， ∴， ∴在运动过程中所扫过的面积． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹． 【详解】解：∵的平分线相交于点， ∴可以假设，， 则有，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； 取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动， ∵，，， ∴， 则扫过的面积扇形的面积的面积， ， ； 故答案为：，． 7．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 ． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算．先设，再根据勾股定理求出的值，再根据扇形的面积公式求解． 【详解】解：设， 则， ， 扫过的图形为扇环， 面积， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据旋转的性质得出，，，，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转至△，， ，，，， ，，， ，， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 【题型三】求其他不规则图形的面积（共4题） 9．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ，， ， 在中，，， ， 上式． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点C为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可． 【详解】解：∵在扇形中，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为； 故答案为：． 【题型四】垂径定理解决实际问题（共4题） 13．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 14．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 【答案】这根圆形木材的直径为26寸 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 【详解】解：由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆形木材的直径为26寸． 15．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、垂径定理的实际应用、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 16．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 【题型五】利用弧、弦、圆心角的关系求证（共5题） 17．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形 【分析】（）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 18．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1)的度数是； (2)圆的半径长为． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为． 19．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． (1)求的度数． (2)若，，求点A，B到直线的距离的和． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用弧、弦、圆心角的关系求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得，，再结合等腰三角形的性质可得答案； （2）过A作于Q，过B作于F，可得，再利用直角三角形的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）解：过A作于Q，过B作于F，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，， 解得：， ， 所以点A，B到直线的距离的和是． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ，的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ，弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 【题型六】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题（共4题） 22．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了角平分线、圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， 即，解得， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）连接交于点E，根据垂径定理易得，，根据三角形中位线定理求出，由（1）知，，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， 是直径，   ， ，， ； （2）解：连接交于点E， ， ，， 又， 是的中位线， ， ， 在中，， 即，   解得：，（舍去）， 的半径为5． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 24．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)6 【知识点】等边三角形的判定和性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据圆周角定理推出根据角平分线的定义得出，根据圆的内接四边形定理得出，进而得出，即可求解； （2）通过证明得出垂直平分线段，进而得出是等边三角形，再证明，则，设圆心为O，则点O是中点，连接，通过证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明： 平分， 平分， ， ； （2）解：， ∴ 垂直平分线段， 又， 是等边三角形， ， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴是直径，设圆心为O，则点O是中点，连接， ， ∴是等边三角形， ，即圆的半径为6． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、． 求证：； 【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径； 【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析、（2）的半径为、（3） 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据平行线的性质可得则弧弧，得出； （2）连接．可得得出A、E、D、B四点都在上且为的直径．勾股定理即可求解． （3）过作，连接、、、，过作，交的延长线与点．得出，进而勾股定理求得，在中，得出，进而在中，勾股定理求得，得出，由（1）中结论得：． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∴弧弧， ∴． （2）连接． ∵，， ∴， ∴． ∵A、E、D、B四点都在上， ∴， ∴为的直径． 由（1）可知， 又∵， ∴， ∴的半径为． （3）过作，连接、、、，过作，交的延长线与点． ∵，， ∴， ∴，． ∴ 在中，∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∴． ∵， ∴．在中，， ∴． 由（1）中结论得：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【题型七】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题（共3题） 26．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等； （1）根据圆内接四边形的性质得，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，即可求解； （2）连接，根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可求解； 掌握相关的性质，能由找出连接的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 27．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，，是直径，，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）作辅助线，根据弧长之间的关系得到角度之间的关系，证明即可得到答案； （2）①连接，,根据同弧所对的圆周角相等，可证明出来四边形是平行四边形，即可得到答案；②根据四边形是平行四边形，得到，根据中位线定理可得到，根据勾股定理可以求得的半径R，再利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）解：证明：连接， ∵，是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴即； （2）解：①连接，,    ∵是的直径， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴； ②∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得，且是直径， ∴F是的中点， ∴是的中位线, ∴， 设的半径为R， 在中，， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∵是的直径， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系，找到弦长之间以及角度之间的关系是解题的关键． 28．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，    ∵， ∴， 将沿折叠，得到， ∴ ∴，，， ∴， ∴为等边三角形，为等腰直角三角形 ∴， ∴； （2）如图，过作，且，连接，    ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴，，即 ，， ∴ ∴； （3）如图3，连接交于G点 ∵绕A点旋转 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形 ∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N， 当时，点P到直线的距离最大， ∵ ∴A、P、B、C四点共圆 ∵， ∴N是的中点 ∵M是的中点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P到所在直线的距离的最大值为 ． ∴的面积最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键． 【题型八】利用圆内接四边形求解答题（共4题） 29．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 【答案】(1) (2)AC 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到是直径，则，再利用勾股定理求解即可； （2）如图2，连接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分线的定义得到，则可证明，求出，由勾股定理可得． 再证明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 是直径， ∵的半径为6， ． 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴， ； （2）解：如图2，连接，作于H， ，，， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于，， ， 在中，由根据勾股定理，得， ∴， ∴． ， ∴是等腰直角三角形， 同理可得． 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 30．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； （1）根据圆周角定理得到，在证，根据圆周角定理得结论； （2）根据圆内接四边形的性质和勾股定理即可解答； 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， （2）四边形的四个顶点都在上，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，． 设交于点E， 则 在中， ，即， 解得： 故 即的半径为6． 31．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，，垂足为E，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可； （2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案． 【详解】（1）解：， ． 四边形是的内接四边形， ． ， ； （2）解：连接． ， ． ． ． ．    32．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．    (1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示） (2)如图，当点在上时，过点作于点． ①请探究线段，和之间的数量关系，并证明； ②若，则________； (3)若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得．再根据圆内接四边形性质即可得解； （2）①如图，在上截取，连接，证得，进而根据等腰三角形的性质可得，即可得解；②由，得．进而得．由，得．再根据即可得解． （3）分点在上和点在两种情况，利用圆周角定理及全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解： ． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． （2）解：①．理由如下： 如图，在上截取，连接，   ，，， ∴． 又 ， ． ②， ． 由①得， ， ， ． ， ． ∴与同底等高， ． （3）解：如图，当点在上时，在上截取，连接，过点作于点．   ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 由（）知，， ； 如图，当点在上时，延长至点，使得，连接，过点作延长线于点．    ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ， ， ． ，， ， ， ， ． 在中，， ， ． 综上，或． 【点睛】主要考查了圆内接四边形对角互补的性质、同孤所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，平行线的性质等，在求线段的和差关系时，通常会用“裁长补短”法作辅助线将不共线的线段转化到同一直线上：当已知条件中出现平行线及三角形的面积时，通常会用到相似三角形的性质或同底等高的三角形面积相等这一知识点解题；在求解第（）问时要注意对点的位置分情况讨论是解题的关键． 【题型九】证明某直线是切线的综合问题（共6题） 33．（24-25九年级上·全国·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)t为何值时，四边形为矩形？ (2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ (3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 【答案】(1) (2) (3)，， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理 【分析】（1）四边形为矩形，也就是，分别用含t的代数式表示，列方程求解即可； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出，进而求出即可； （3）主要考虑有四种情况，一种是P在上；一种是P在上时．一种是P在上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据题意，当时，四边形为矩形． 此时：， 解得． 答：t为时，四边形为矩形； （2）解：如图所示：当切圆于点E，过点Q作于点F， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或 故t为时，直线与以为直径的圆相切； （3）解：当时，与外切． ①如果点P在上运动．如图3 只有当四边形为矩形时，． 由（1）得； ②如果点P在上运动，如图 此时，则，， ∴与外离； ③如果点P在上运动，且点P在点Q的右侧，如图． 可得，，当时，与外切． 此时，， 解得； ④如果点P在上运动，且点P在点Q的左侧，如图． 当时，与外切． 此时，， 解得 ， ∵点P从A开始沿折线移动到D需要，点Q从C开始沿边移动到D需要，而， ∴当t为，，时，与外切． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，矩形的判定与性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 35．（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明． （2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得． （3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得． 【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （3）解：连接，如图， ∵，且以为直径 ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 36．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． （1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 37．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1)2 (2)①；②周长，面积 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值、圆周角定理、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题． 【详解】（1）解：为的直径， ， 为中点，O为中点， 且， ， ， ∵弦于点E， ， ； （2）解：①∵弦于点E， ，， ，， ，， ． 故答案为：； ②连接， ，， ， ． 在， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 【题型十】与圆有关的新定义型问题（共3题） 39．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 40．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)（或） (2)见解析 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题属于圆的综合题，主要全等三角形判定与性质，垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形． （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再设，半径为r，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图①， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：（或）； （2）证明：∵，， ∴，，，， ∵、是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， 在和中 ， ∴； （3）解：解：连接，，如图③， ∵N、Q分别为、的中点， ∴，，，， ∵、是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为r，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 41．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】 如图1，，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，，满足，则称是的“幸运角”． 【问题探究】 （1）如图2，是的直径，弦，是上的一点，连接交于点，连接． ①是的“幸运角”吗？请说明理由； ②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数； 【拓展延伸】 （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长． 【答案】（1）①是的“幸运角”，理由见解析；②的 “幸运角”度数为n；（2）或 【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线． （1）①根据是的直径，弦，可得，从而得到结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案； ②根据圆周角定理可得，，结合可得结合内外交关系即可得到答案； （2）连接连接，，由（1）可得，，，即可得到、，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）①是的“幸运角”，理由如下： 是的直径，弦， ， ， ， ， ， ， 是的“幸运角”； ②所对的圆心角为， ， ， ， ， 的 “幸运角”度数为n； （2）如图，连接，， 的“幸运角”为， ，，， ， ， ， ， ， 设，则有， ， 解得：，， 或． $$