专题04 圆（15个考点清单+14种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题04 圆（15个考点清单+14种题型解读） 目录 【考点题型一】利用垂径定理求值 6 【考点题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求解 9 【考点题型三】利用圆周角定理求角 13 【考点题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 15 【考点题型五】90°的圆周角所对的弦是直径 19 【考点题型六】已知圆内接四边形求角度 23 【考点题型七】点与圆的位置关系 25 【考点题型八】正多边形和圆 27 【考点题型九】求弧长 30 【考点题型十】求扇形的面积 34 【考点题型十一】与圆锥有关的计算问题 36 【考点题型十二】与垂径定理有关的计算问题 37 【考点题型十三】与圆周角有关的计算问题 42 【考点题型十四】与证明切线有关的问题 50 【知识点01】圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【知识点02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【知识点03】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【知识点04】圆心角、圆周角的概念 1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 2.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点05】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 【知识点06】点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 【知识点07】过三点的圆 1.过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3.三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【知识点08】直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【知识点09】切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【知识点10】切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分 【知识点11】三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 【知识点12】圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 【知识点13】与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【知识点14】扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 【知识点15】扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图：=；（2）圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图：（1）=（2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点题型一】利用垂径定理求值 【例1】（23-24九年级上·北京·期末）如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为 ． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，C为的中点，且C到的距离为3，则圆的半径为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的中，弦，弦，且，则与之间的距离为 ． 【考点题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例2】（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    【变式2-1】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【变式2-2】（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【变式2-3】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【考点题型三】利用圆周角定理求角 【例3】（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 ． 【变式3-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则 ． 【变式3-3】（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，的半径为4，弦长为，C是上一点（不同于A，B），则的度数是 ． 【考点题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 【变式4-1】（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，是的直径，弦，若，则 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处． （1）若点在靠近点处，连接，则 ； （2）当点与点的距离最大时， ． 【考点题型五】90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【变式5-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【考点题型六】已知圆内接四边形求角度 【例6】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    【变式6-1】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    【变式6-3】（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形是的内接四边形，平分，连接， ． 【考点题型七】点与圆的位置关系 【例7】（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 【变式7-1】（23-24九年级上·吉林·期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）． 【变式7-2】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 【变式7-3】（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【考点题型八】正多边形和圆 【例8】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在正六边形中，连接、相交于点，则的值为 ．    【变式8-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【变式8-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则 °. 【变式8-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为 （结果保留根号） 【考点题型九】求弧长 【例9】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【变式9-1】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    【变式9-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 【变式9-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【考点题型十】求扇形的面积 【例10】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【变式10-1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【变式10-2】（23-24九年级上·吉林·期末）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）． 【变式10-3】（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    【考点题型十一】与圆锥有关的计算问题 【例11】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【变式11-1】（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【变式11-2】（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【变式11-3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用表示）． 【考点题型十二】与垂径定理有关的计算问题 【例12】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【变式12-1】（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，是直径，且弦于点，于点，，且．求： (1)弦的长； (2)的直径． 【变式12-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【变式12-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式12-4】（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，是的直径，为的一条弦，是的中点，已知，． (1)求证：于； (2)求的半径． 【考点题型十三】与圆周角有关的计算问题 【例13】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【变式13-1】（23-24九年级下·湖北·期末）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 【变式13-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【变式13-3】（23-24九年级上·安徽·期末）圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 【考点题型十四】与证明切线有关的问题 【例14】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【变式14-1】（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 【变式14-2】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径． 【变式14-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，是边上一点，过、、三点，． (1)求证：直线是的切线； (2)如果， ①若的半径为，求的长； ②试问的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆（15个考点清单+14种题型解读） 目录 【考点题型一】利用垂径定理求值 6 【考点题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求解 9 【考点题型三】利用圆周角定理求角 13 【考点题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 15 【考点题型五】90°的圆周角所对的弦是直径 19 【考点题型六】已知圆内接四边形求角度 23 【考点题型七】点与圆的位置关系 25 【考点题型八】正多边形和圆 27 【考点题型九】求弧长 30 【考点题型十】求扇形的面积 34 【考点题型十一】与圆锥有关的计算问题 36 【考点题型十二】与垂径定理有关的计算问题 37 【考点题型十三】与圆周角有关的计算问题 42 【考点题型十四】与证明切线有关的问题 50 【知识点01】圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【知识点02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【知识点03】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【知识点04】圆心角、圆周角的概念 1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 2.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点05】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 【知识点06】点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 【知识点07】过三点的圆 1.过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3.三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【知识点08】直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【知识点09】切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【知识点10】切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分 【知识点11】三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 【知识点12】圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 【知识点13】与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【知识点14】扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 【知识点15】扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图：=；（2）圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图：（1）=（2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点题型一】利用垂径定理求值 【例1】（23-24九年级上·北京·期末）如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 【答案】8 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理计算即可； 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理． 首先根据垂径定理得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵弦垂直于的直径， ∴， ∵ ∴． 故答案为：1． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，C为的中点，且C到的距离为3，则圆的半径为 ． 【答案】/ 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，连接交于点H，设圆的半径为r，根据垂径定理得到，，再根据勾股定理列方程求出圆的半径即可． 【详解】解：连接，连接交于点H，设圆的半径为r， ∵弦，C为的中点， ∴，， ∵C到的距离为3， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得 即的半径为， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的中，弦，弦，且，则与之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是． 故答案为：． 【考点题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例2】（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 【变式2-1】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【答案】3 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 图中与相等的线段有条， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，    根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 【考点题型三】利用圆周角定理求角 【例3】（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ． 【答案】110 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ， 故答案为：110． 【变式3-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 ． 【答案】/55度 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接，如图，先利用切线的性质得到，则根据三角形内角和得到，再根据圆周角定理得到，加上，所以，从而可求出的度数，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 【详解】解：连接，如图， 直线与相切于点， ， ， ， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，的半径为4，弦长为，C是上一点（不同于A，B），则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查圆周角定理，分点在优弧和劣弧上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，； 故答案为：或． 【考点题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到，，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵的角平分线与交于点， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，是的直径，弦，若，则 ． 【答案】65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接，根据圆周角定理的推论可得，进而，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处． （1）若点在靠近点处，连接，则 ； （2）当点与点的距离最大时， ． 【答案】 /10度 或 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角 【分析】（1）由直径所对圆周角是直角，和，确定点在半圆量角器的半圆所在的圆上，由点在靠近点处，确定的度数，根据同弧所对圆周角，是其圆心角的一半，即可求解， （2）根据两边之和大于第三边，得到为的直径，分两种情况进行讨论，即可求解， 本题主要考查了，直径所对圆周角是直角，圆周角定理以及推论，等边对等角的性质，解题的关键是：得出点在半圆形量角器所在的圆上． 【详解】（1）解：在矩形中，， 点在半圆量角器的半圆所在的圆（记为）上， 若点在靠近点处，即点在刻度处，连接，， ， ， （2）当点与点的距离最大时，为的直径， ， 若点在刻度处， ， ， , 若点在刻度处，， ， ， 故答案为：；或． 【考点题型五】90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在为直径的上运动，进而勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 【考点题型六】已知圆内接四边形求角度 【例6】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    【答案】/160度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 【答案】/119度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形，是四边形的一个外角， ， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    【答案】60 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据是的直径得出，故可得出，由可知，故可得出，故，根据可知，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ，即， ． 故答案为：60． 【变式6-3】（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形是的内接四边形，平分，连接， ． 【答案】 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【考点题型七】点与圆的位置关系 【例7】（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 【答案】圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题的关键． 【详解】解：点到圆心的距离， 点在外． 故答案为：圆外． 【变式7-1】（23-24九年级上·吉林·期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）． 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内是解题的关键． 根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为， ∵， ∴点在内， 故答案为：内． 【变式7-2】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 【答案】点B在上 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是：点B在上， 故答案为∶点B在上．    【点睛】此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够熟记点到圆心的距离等于半径，则点在圆上是解题的关键． 【变式7-3】（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，，即可得到答案． 【详解】解：若点A在外， ． 故答案为：． 【考点题型八】正多边形和圆 【例8】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在正六边形中，连接、相交于点，则的值为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，证出，根据正六边形的边长等于半径可得，进而可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， ， 根据正六边形的边长等于半径，得 ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 【变式8-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则 °. 【答案】36 【知识点】多边形内角和问题、切线的性质定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接，根据切线的性质和正多边形内角，可求得的度数，再利用圆周角定理，可得的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与分别相切于点M，N， ， 五边形是正五边形， ， ， ． 故答案为：36． 【变式8-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为 （结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，过作于，    在正六边形中， ，则， ，， ， ∴正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 【考点题型九】求弧长 【例9】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-1】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    【答案】 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接，，，由同弧所对的圆周角相等得，由圆周角定理得，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式，添加辅助线，求出所对的圆心角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，   ， ， ， ， ， 的长为， 故答案：． 【变式9-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 【答案】50 【知识点】求弧长 【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，的长为， ∴，， ∴的长为； 故答案为：50． 【变式9-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十】求扇形的面积 【例10】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为 故答案为：． 【变式10-1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 【变式10-2】（23-24九年级上·吉林·期末）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 扇面的面积为： ． 故答案为：． 【变式10-3】（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【知识点】切线的性质定理、求扇形面积 【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和得到，再根据扇形面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型十一】与圆锥有关的计算问题 【例11】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 【变式11-1】（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题． 【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意： ， 解得． 故答案为：． 【变式11-2】（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【详解】设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 【变式11-3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求弧长、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，根据勾股定理可得母线长，弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 【考点题型十二】与垂径定理有关的计算问题 【例12】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 【变式12-1】（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，是直径，且弦于点，于点，，且．求： (1)弦的长； (2)的直径． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）利用垂径定理得，再证明，利用相似三角形的性质得出即可； （）设的半径为，先由勾股定理求出，在中，由，，，再通过勾股定理，求出即可； 本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，且， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）设的半径为， 在中，， ∴， 在中，∵，，， ∴，解得， ∴的直径为． 【变式12-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据三线合一证明 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 是半径， ， ， ， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 【变式12-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、三角形内角和定理的应用、等边对等角、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）及三角形内角和定理，根据题意得出是的中位线是解答此题的关键． （1）先得出为的中点，再由得出是的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论； （2）连接，先根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）是的直径， 为的中点， 又，即为的中点， ∴是的中位线， ； （2）如图所示，连接， ，且， ， ． 【变式12-4】（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，是的直径，为的一条弦，是的中点，已知，． (1)求证：于； (2)求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据三线合一证明 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．掌握相关定理和性质，是解题的关键． （1）连接，，根据等腰三角形三线合一，即可得证； （2）设圆的半径为，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，则：， ∵是的中点， ∴， ∴于．         （2）∵是的中点， ∴， 由（1）知，， 设圆的半径为，则， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得：． 的半径为5． 【考点题型十三】与圆周角有关的计算问题 【例13】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)5 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）由已知条件可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得出， 根据角的和差关系可得出， 最后根据三角形内角和即可得出答案． （2）由，可得出为直径，过点E作，证明，由全等三角形的性质可得出，，设，则，由勾股定理可得出，即可得出圆的半径． 【详解】（1）解：∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴为圆的直径． 过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴， 即半径为5． 【变式13-1】（23-24九年级下·湖北·期末）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角以及圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边对等角得，结合圆周角定理得，因为，故，证明，即可作答． （2）先因为，，所以，因为为直径，，因为，则，即，证明，故，代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， 设， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴， 即． 【变式13-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理． （1）先证，得，进而得，再由，得，计算可得答案； （2）作的平分线交于点G，得，进而得，，再由平行线的性质得，设，则，再由，得，再由勾股定理得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴，即， ； （2）解：作的平分线交于点G，连接， ∴， 又∵， ∴， ，， ， 设，则， 又 ， ， 即， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 【变式13-3】（23-24九年级上·安徽·期末）圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）连接交于点M，先证明，再根据圆周角定理推导出，最后等量代换即得，即可证明； （2）连接，设的半径长为，则，在中，应用勾股定理求解即得． （3）由，得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，连接 设的半径长为，则， ∵弦于点， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的半径长为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键． 【考点题型十四】与证明切线有关的问题 【例14】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）连接，根据中位线性质得出，根据，得出，即可证明是的切线； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出，证明为的垂直平分线，得出，根据勾股定了求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的直径，半径为2， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，平行线的性质，垂直平分线的性质，中位线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式14-1】（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 【变式14-2】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连，证明得出，由切线的性质得出，推出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理求出，推出，设，则，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：连， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2）解：连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式14-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，是边上一点，过、、三点，． (1)求证：直线是的切线； (2)如果， ①若的半径为，求的长； ②试问的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值是定值， 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】（1）由，得，为等腰直角三角形，进而得，根据垂线定义及切线判定即可得证； （2）①由，，得，又根据直角三角形得，，，从而即可得解；②设的半径，则，在和中，利用解直角三角形得，，，进而代入即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：①由（）得，为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 作于，如图， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴； ②的值是定值． 设的半径，则， 在中， ∵， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，垂线定义，圆周角定理，等边对等角，熟练掌握切线的判定，解直角三角形是解题的关键． 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