专题04 解直角三角形（考题猜想，易错必刷23题5种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题04 解直角三角形（易错必刷23题5种题型专项训练） 目录 【题型一】网格里求正弦、余弦、正切值（共5题） 1 【题型二】解直角三角形的应用之仰角俯角问题（共7题） 5 【题型三】解直角三角形的应用之与三角形综合问题（共3题） 16 【题型四】解直角三角形的应用之与矩形综合问题（共5题） 19 【题型五】解直角三角形的应用之与圆综合问题（共3题） 30 【题型一】网格里求正弦、余弦、正切值（共5题） 1．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在正方形网格中， ． 3．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图在正方形网格中，格点的面积为，则 ． 4．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为 ． 【题型二】解直角三角形的应用之仰角俯角问题（共7题） 6．（23-24九年级上·山东济南·期末）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则 (1)点B到的距离为多少米？ (2)塔顶到地面的高度约为多少米？ （参考数据：，，，） 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上点测得亭子顶端的仰角为，此时地面上点、亭檐上点、亭顶上点三点恰好共线，继续向亭子方向走到达点时，又测得亭檐点的仰角为，亭子的横梁，，交于点（点在同一水平线上）． (1)求的长度； (2)求亭子的高（结果精确到）．（参考数据：） 8．（23-24九年级上·山东日照·期末）某小区有两栋在建居民楼，因施工底部不能直接到达．按照有关规定：两楼间距不小于前楼高度的1.2倍．为计算两楼间距，数学小组的同学在远处平台的点处测得高度为21米的前楼顶部点的仰角为，测得高度为38.5米的后楼顶部点的仰角为，平台高为9米，点与两栋楼的底部点在同一水平线上．根据以上信息解决问题： (1)平台到前楼的距离长； (2)计算两楼间距，并判断间距是否符合规定． （结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 9．（23-24九年级上·山东济南·期末）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点、处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为5米，高为3米．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．、、、、在同一平面内．设塔的高度为米． (1)用含有x的式子表示线段的长： ； (2)你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 10．（23-24九年级上·江苏常州·期末）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量一下学校旗杆的高度(如图)，无人机起飞点在C处，经过一段时间飞行，无人机悬停在空中D处，此时操控者读取了无人机操作显示器上的部分数据： （1）无人机所处位置D离地面垂直距离为36米； （2）无人机起飞点C处俯角为 （3）旗杆顶点A处的俯角为又经过人工测量，无人机起飞点C与旗杆底端B距离为66米，求旗杆的高度．(注：点A，B，C，D都在同一平面上，参考数据：) 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1，沙滩排球比赛中，裁判垂直站在记录台上．如图2是从正面看到的示意图，记录台底部O与垂直地面的球网支架底座E，F在同一水平线上，记录台与左侧球网距离为，裁判观察矩形球网上点A的俯角为，已知球网高度为．                     图1                                图2 (1)求裁判员眼睛距离地面的高度； (2)某次运动员扣球后，球恰好从球网上边缘的点Q处穿过，此时裁判员的视线正好看不到球网边界C处（即P，Q，C共线），若球网长度，球网下边缘离地面的距离为，求排球落点处Q离球网边界的距离．（结果精确到）（本题参考数值，，．） 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，）    (1)求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； (2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 【题型三】解直角三角形的应用之与三角形综合问题（共3题） 13．（23-24九年级上·河北保定·期末）小明同学用木板制作一个带有卡槽的三角形支架，如图所示，已知，，，小明的平板宽度为17cm，卡槽与等长，小明同学能否将平板放入卡槽内？请说明你的理由．（提示：，，） 14．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图1，座落于福建省泉州市的中国闽台缘博物馆是一座反映中国大陆与宝岛台湾历史关系的国家级专题博物馆．小明为估测博物馆高度画出大致正面结构图．正面结构图如图2，为等腰三角形，为底边，四边形为矩形，于F，交于G，从点A至点B共行走440步，步长约为0.5米，测得，平台高约为13米，，求博物馆高的估算值．（结果按四舍五入保留到个位，参考数据：，，） 15．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【题型四】解直角三角形的应用之与矩形综合问题（共5题） 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图为在桌面上水平放置的某圆柱形保温杯的侧面示意图，其中矩形表示该保温杯的杯盖，已知，，．在打开杯盖的过程中，当开口时，求此时保温杯的最高点到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，，） 17．（23-24九年级上·山西长治·期末）如图，这是某校装潢设计小组的同学设计的宣传牌，由三块四边形和一块矩形底座组成，左侧较高的四边形中，，，，，，底座高． (1)求与地面所成锐角的度数． (2)求点D到地面的距离．（参考数据：，，，，，结果精确到） 18．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 图1　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　图3 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，． (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离BC． （参考数据：，，） 19．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，某小区门口安装了车辆出入道闸．道闸关闭时，如图①，为固定立柱，四边形为矩形，，，点D距地面；道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图②，当道闸打开至时，上一点P到地面的距离为，求点P到立柱的距离的长； (2)已知一辆货车宽，高，当道闸打开至时，请通过计算说明这辆货车能否驶入小区．（参考数据：，，） 20．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园D游玩．甲队选择的线路为，其中在段划船过河；乙队选择的线路为，其中在段乘坐游船过河．已知四边形为矩形，A、B、C三点在同一直线上，长为米，，，． (1)求D到的距离；（结果精确到个位） (2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为．已知甲队划船的速度为，乙队游船的速度为，若长为米，请通过计算说明哪一队先到达公园D？（参考数据：，，，，） 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为，宽为的矩形，已知，点O到的距离为，小区门口宽度为． (1)当曲臂杆与的夹角为时，求点A到地面的距离； (2)因机器出现故障，曲臂杆最多可旋转，有一辆宽为、高为的货车可否顺利通过门口?（参考数据：，，） 【题型五】解直角三角形的应用之与圆综合问题（共3题） 21．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）小艺对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下．则该城堡的外围直径为 ． 22．（23-24九年级上·山东淄博·期末）一个较大水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水平桌面平行（，分别为杯底圆和杯口圆的直径），已知水杯底部宽，水杯高为16cm，当杯内水面高为6cm时，水面宽为12cm．如图2，先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当时，杯中水面平行于水平桌面，则此时＝ cm． 23．（2024·河北石家庄·一模）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． (1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； (2)在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过时，点A所经过的路径长（结果保留）； (3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． $$专题04 解直角三角形（易错必刷23题5种题型专项训练） 目录 【题型一】网格里求正弦、余弦、正切值（共5题） 1 【题型二】解直角三角形的应用之仰角俯角问题（共7题） 5 【题型三】解直角三角形的应用之与三角形综合问题（共3题） 16 【题型四】解直角三角形的应用之与矩形综合问题（共5题） 19 【题型五】解直角三角形的应用之与圆综合问题（共3题） 30 【题型一】网格里求正弦、余弦、正切值（共5题） 1．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的余弦值、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点， ∴，且点到的距离（高）为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在正方形网格中， ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正切值、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键． 连接，根据勾股定理可求出，从而得出，则根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由图可知， ， ∴为直角三角形，且， ， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图在正方形网格中，格点的面积为，则 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求一个角的正弦值是解决此题的关键．过点C作于点D，根据勾股定理即可求出和，然后根据三角形的面积求出，再根据正弦值的定义即可得出结论． 【详解】解：过点C作于点D 根据勾股定理可得， ∵的面积等于 ∴ 解得： 在中， 故答案为：． 4．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则的值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理与逆定理等知识，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理，正弦的定义，取格点，连接、，证明，，进而可得，根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】解：取格点，连接、，如图， 由图可知：在正方形网格中，， ，， ， 小正方形的边长为1， 在中，，， ， ． 故答案为：． 【题型二】解直角三角形的应用之仰角俯角问题（共7题） 6．（23-24九年级上·山东济南·期末）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则 (1)点B到的距离为多少米？ (2)塔顶到地面的高度约为多少米？ （参考数据：，，，） 【答案】(1)10米 (2)47米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点P，依据坡度的定义并结合勾股定理解直角三角形即可． （2）延长交于点H，可证四边形为矩形，设米，在直角三角形中可表示米，即，于是可得，，再在中得到，可解得米，从而得解． 【详解】（1）解如图，过点B作于点P， ∴为直角三角形． 由，可设，则， 由可得， 解得或（舍去）， ∴米 ∴点B到的距离为10米． （2）延长交于点H，则，则四边形为矩形， ∴， 由（1）可知， 设米，在中，， 即 ∴米， 在中，， 即： 解得（米）． 答：塔顶到地面的高度约为47米． 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上点测得亭子顶端的仰角为，此时地面上点、亭檐上点、亭顶上点三点恰好共线，继续向亭子方向走到达点时，又测得亭檐点的仰角为，亭子的横梁，，交于点（点在同一水平线上）． (1)求的长度； (2)求亭子的高（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)4.2米 (2)13.7米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、三线合一、根据矩形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）首先根据题意可得，，则在中，利用三角函数解得的值即可； （2）过作，设，首先证明四边形为矩形，由矩形的性质可得；在和中，分别求得，，结合题意可得，解得的值，然后由求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴米． 答：的长度为4.2米； （2）如下图，过作，设， ∵根据题意，， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∴，解得， ∴米， ∴米． 答：亭子高为13.7米． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角函数的应用、矩形的判定与性质等知识，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 8．（23-24九年级上·山东日照·期末）某小区有两栋在建居民楼，因施工底部不能直接到达．按照有关规定：两楼间距不小于前楼高度的1.2倍．为计算两楼间距，数学小组的同学在远处平台的点处测得高度为21米的前楼顶部点的仰角为，测得高度为38.5米的后楼顶部点的仰角为，平台高为9米，点与两栋楼的底部点在同一水平线上．根据以上信息解决问题： (1)平台到前楼的距离长； (2)计算两楼间距，并判断间距是否符合规定． （结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)52.2米 (2)两楼间距25.4米，符合规定 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键． （1）利用正切定义求得长即可； （2）利用正切定义求得长，进而求得长，根据规定可作出判断． 【详解】（1）解：由题意，四边形、四边形是矩形，米，米， ∴米，，， ∴在中，，则（米）， 答：平台到前楼的距离长为52.2米； （2）解：在中，（米）， ∴（米）， 则两楼间距为米， ∵， ∴两楼间距符合规定． 9．（23-24九年级上·山东济南·期末）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点、处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为5米，高为3米．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．、、、、在同一平面内．设塔的高度为米． (1)用含有x的式子表示线段的长： ； (2)你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)能，信号塔的高约为31米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 在中，米，米， （米， 在中，，米， （米， 米， 故答案为：； （2）解：我认为小王同学能求出信号塔的高， 理由：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 信号塔的高约为31米． 10．（23-24九年级上·江苏常州·期末）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量一下学校旗杆的高度(如图)，无人机起飞点在C处，经过一段时间飞行，无人机悬停在空中D处，此时操控者读取了无人机操作显示器上的部分数据： （1）无人机所处位置D离地面垂直距离为36米； （2）无人机起飞点C处俯角为 （3）旗杆顶点A处的俯角为又经过人工测量，无人机起飞点C与旗杆底端B距离为66米，求旗杆的高度．(注：点A，B，C，D都在同一平面上，参考数据：) 【答案】教学楼高约18米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点C作，垂足为F，延长交于点G． 由题意得：根据角度与线段的关系，进行计算解答即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为F，延长交于点G． 由题意得： 在中，， 米， 米， 在中，， 米， 米 答：旗杆的高度为米． 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1，沙滩排球比赛中，裁判垂直站在记录台上．如图2是从正面看到的示意图，记录台底部O与垂直地面的球网支架底座E，F在同一水平线上，记录台与左侧球网距离为，裁判观察矩形球网上点A的俯角为，已知球网高度为．                     图1                                图2 (1)求裁判员眼睛距离地面的高度； (2)某次运动员扣球后，球恰好从球网上边缘的点Q处穿过，此时裁判员的视线正好看不到球网边界C处（即P，Q，C共线），若球网长度，球网下边缘离地面的距离为，求排球落点处Q离球网边界的距离．（结果精确到）（本题参考数值，，．） 【答案】(1)裁判员眼睛距离地面的高度约为 (2)排球落点处Q离球网边界的距离约为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． （1）延长交于点H，根据题意得出：，，，，根据平行线的性质得出，根据三角函数定义求出，即可求出结果； （2）延长交于点M，根据题意得出，，，，，证明，得出，求出，即可求出排球落点处Q离球网边界的距离约为． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： 根据题意得：，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴裁判员眼睛距离地面的高度约为． （2）解：延长交于点M，如图所示： 根据题意得：，，，，， ∴， ， ， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴排球落点处Q离球网边界的距离约为． 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，）    (1)求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； (2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了解直角三角形解决俯角、仰角的实际应用，等腰三角形的判定．正确理解题意是关键． （1）设交于点F，由题意得米，在中由三角函数可求得，即楼顶A到平衡臂的距离； （2）由（1）的计算可求得，在中，由正切关系可求得，即可求得向上与向右平移的距离． 【详解】（1）解：设交于点F，如图；    由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴米； ∵， ∴在中，（米）； ∵楼顶A到平衡臂的距离与的长度相等， ∴楼顶A到平衡臂的距离为米； （2）解：由（1）知，米，， ∴（米）； 在中，米， ∴吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处．    【题型三】解直角三角形的应用之与三角形综合问题（共3题） 13．（23-24九年级上·河北保定·期末）小明同学用木板制作一个带有卡槽的三角形支架，如图所示，已知，，，小明的平板宽度为17cm，卡槽与等长，小明同学能否将平板放入卡槽内？请说明你的理由．（提示：，，） 【答案】能，理由见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．作于点，解直角三角形得，，进而利用勾股定理得，比较，即可得解． 【详解】解：小明同学能将手机放入卡槽内． 理由如下： 如图所示，过点A作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴小明同学能将手机放入卡槽内． 14．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图1，座落于福建省泉州市的中国闽台缘博物馆是一座反映中国大陆与宝岛台湾历史关系的国家级专题博物馆．小明为估测博物馆高度画出大致正面结构图．正面结构图如图2，为等腰三角形，为底边，四边形为矩形，于F，交于G，从点A至点B共行走440步，步长约为0.5米，测得，平台高约为13米，，求博物馆高的估算值．（结果按四舍五入保留到个位，参考数据：，，） 【答案】米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据等腰三角形的性质出米，通过解直角三角形求出米，再加上的长即可得出结论． 【详解】解：从点A至点B共行走440步，步长约为0.5米， 米 于F，是为底边的等腰三角形， ，， 米 ，， ， ∴米 （米） 即博物馆高约为43米. 15．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、三线合一 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 【题型四】解直角三角形的应用之与矩形综合问题（共5题） 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图为在桌面上水平放置的某圆柱形保温杯的侧面示意图，其中矩形表示该保温杯的杯盖，已知，，．在打开杯盖的过程中，当开口时，求此时保温杯的最高点到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】保温杯的最高点到桌面的距离约为 【知识点】已知正弦值求边长、已知余弦求边长、其他问题（解直角三角形的应用）、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形函数的定义．过作，交于，交于，根据三角函数的定义分别求出，，然后相加即可． 【详解】解：过作，交于，交于，如图所示： 在中，，， ， ， 矩形中， 在中，， ， ∵， ． 即保温杯的最高点到桌面的距离约为． 17．（23-24九年级上·山西长治·期末）如图，这是某校装潢设计小组的同学设计的宣传牌，由三块四边形和一块矩形底座组成，左侧较高的四边形中，，，，，，底座高． (1)求与地面所成锐角的度数． (2)求点D到地面的距离．（参考数据：，，，，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查平行线的性质和解直角三角形的应用． （1）过点A作的平行线，根据平行线的性质求的大小即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】（1）如图，过点A作的平行线与过点D作的垂线相交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即与地面所成的角度为； （2）过点A作，交的延长线于点M， 在中， ∴， 在中，, ∴， ∴点D到地面的距离为， 答：点D到地面的距离约为. 18．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图3 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，． (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离BC． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)14 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角，即可求解； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，即可求解； 理解以及“折射率”的定义，掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2）解：，，， ∴， ， 作， ， 设，， 则， ， 解得：， ，又， ， 答：光斑移动的距离是． 19．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，某小区门口安装了车辆出入道闸．道闸关闭时，如图①，为固定立柱，四边形为矩形，，，点D距地面；道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图②，当道闸打开至时，上一点P到地面的距离为，求点P到立柱的距离的长； (2)已知一辆货车宽，高，当道闸打开至时，请通过计算说明这辆货车能否驶入小区．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)不能 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）中，，,可得，结合，即可求出的长； （2）当时，，求出的长，与比较即可得到答案； 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为点Q． 由题意，得，，， ∴， ∴． 所以，的长为． （2）解：不能，理由如下： 由，时， 可得，． 在中，， ∴． ∴． 所以，这辆货车不能驶入小区． 20．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园D游玩．甲队选择的线路为，其中在段划船过河；乙队选择的线路为，其中在段乘坐游船过河．已知四边形为矩形，A、B、C三点在同一直线上，长为米，，，． (1)求D到的距离；（结果精确到个位） (2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为．已知甲队划船的速度为，乙队游船的速度为，若长为米，请通过计算说明哪一队先到达公园D？（参考数据：，，，，） 【答案】(1)； (2)甲队先到达公园D 【知识点】实数运算的实际应用、利用矩形的性质证明、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，实数的混合运算，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，利用锐角三角函数，分别求得，，，即可得出D到的距离； （2）由（1）可知，，，，结合甲、乙两队步行和划船的速度，分别求出两队所用时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 四边形为矩形， ，，， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， 即D到的距离； （2）解：， ， 由（1）可知，，，，， 甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为．甲队划船的速度为，乙队游船的速度为， 甲队所用时间， 乙队所用时间， ， 甲队先到达公园D． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为，宽为的矩形，已知，点O到的距离为，小区门口宽度为． (1)当曲臂杆与的夹角为时，求点A到地面的距离； (2)因机器出现故障，曲臂杆最多可旋转，有一辆宽为、高为的货车可否顺利通过门口?（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)可顺利通过门口 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，于点，交于点，利用直角三角形的边角关系定理解答即可； （2）假定曲臂杆旋转至如图所示的位置，过点作于点，过点作于点，于点，交于点，通过计算曲臂杆旋转至最高位置时，点的高度与货车的高度的比较，以及点距离大门的墙壁距离与货车的宽度比较即可. 【详解】（1）过点作于点，过点作于点，于点，交于点，如图， 由题意得： ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ∴点到地面的距离； （2）一辆宽为、 高为的货车可顺利通过门口，理由： 假定曲臂杆旋转至如图所示的位置， 过点作于点，过点作于点，于点，交于点， 由题意得： ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， 货车高度, ∴， ∴， ∵小区门口宽度为， ∴点距离大门口的墙壁的距离为 ，宽为， 综上，一辆宽为、 高为的货车可顺利通过门口． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型五】解直角三角形的应用之与圆综合问题（共3题） 21．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）小艺对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下．则该城堡的外围直径为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查勾股定理，三角函数的应用，切线长定理，关键是理解题意，得到，求出长即可．由切圆于，切圆于，连接，得到，，，由勾股定理求出，由，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，圆表示圆形城堡， 由题意知：由切圆于，切圆于，连接， ，，， ， ， ， ， ， ． 城堡的外围直径为． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·山东淄博·期末）一个较大水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水平桌面平行（，分别为杯底圆和杯口圆的直径），已知水杯底部宽，水杯高为16cm，当杯内水面高为6cm时，水面宽为12cm．如图2，先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当时，杯中水面平行于水平桌面，则此时＝ cm． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、其他问题（解直角三角形的应用）、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查二次函数的应用及解直角三角形的应用，理解题意，建立适当的坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．依据题意，以的中点为原点，直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，确定点，的坐标，再在坐标系中作出，求出的解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长． 【详解】解：如图，以的中点为原点，直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，代入， 得，， 解得，， ， 当时，， 解得， ， 根据题意可知，，设与轴的交点坐标，与轴交于点， 在中， ，时， ． ． ． 设直线的解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得，， ∴直线的解析式为：． 令， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 当时，． ． （）， 故答案为：． 23．（2024·河北石家庄·一模）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． (1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； (2)在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过时，点A所经过的路径长（结果保留）； (3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． 【答案】(1)； (2)； (3)切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点作于点，作于点，则四边形为矩形，有，在中，利用三角函数解得的值，进而可得的值即可； （2）设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，过点作于H，则，作于点D，则四动形为矩形，在中，利用三角函数解得，进而可得，由圆的轴对称性可知，然后利用弧长公式求解即可； （3）连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得，在中，利用勾股定理解得；证明，利用相似三角形的性质解得的值，再证明，易得即可． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点，作于点， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：点到桌面的距离是； （2）解：如下图，设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为， 过点作于H，则，作于点D， 则四动形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由圆的轴对称性可知，， ∴． ∴符合条件的点所经过的路径长为； （3）解：如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵弧是半圆， ∴为的直径， ∵直线切于点，且经过点， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，两点到桌面的距离的差为． 答：切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、弧长计算、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意并正确作出辅助线是解题关键． $$