专题07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“母子”模型(共边角模型) 2 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8 类型三、“K”字模型（相似模型） 13 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 模型2.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 模型3.“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 压轴题型讲练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 例题：（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，D是边上的一点，． (1)求证：． (2)当时，求的长． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【变式训练2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，点在线段上，，且． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式训练3】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图①，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数； (3)如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 例题：【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 类型三、“K”字模型（相似模型） 例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西·期中）如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 3．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，当在边上时，若，则（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·湖北宜昌·一模）如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是 ． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，为边上的一点，且，则 ，若的面积为，则的面积为 ． 6．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在边上，，．    (1)求证：． (2)若，求的长． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 10．（24-25九年级上·山西太原·期中）已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： (1)； (2)． 11．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图①，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 问题发现 （1）①当时，_______；②当时，_______． 拓展研究 （2）试判断∶当时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 14．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在中，，点是上一点，过点作于点． (1)如图1，证明：； (2)已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，______；②当时，______； (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长． 16．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，如图2，当的延长线恰好经过点时： ①的值为 ； ②与的夹角的度数为 度． (2)类比探究 如图3，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)拓展延伸 若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 17．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 18．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，D是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“母子”模型(共边角模型) 2 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8 类型三、“K”字模型（相似模型） 13 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 模型2.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 模型3.“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 压轴题型讲练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 例题：（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，D是边上的一点，． (1)求证：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出； （2）利用相似三角形的对应边成比例，求出的长． 【详解】（1）证明∶∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，点在线段上，，且． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)17 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进一步求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为17． 【变式训练3】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图①，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数； (3)如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为或； (3)完美分割线的长为． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，学会列一元二次方程解决问题是解题的关键． （1）由，可得，分别证明为等腰三角形以及，即可得出为的完美分割线； （2）由为等腰三角形，需要分3种情况讨论①；②；③，结合求出的度数，再求得的度数即可； （3）由得，设，可得，求出a的值，再利用相似三角形的对应边成比例性质即可求得的长． 【详解】（1）证明：，， ， 为角平分线， ， ， ，即为等腰三角形； ， ， 为的完美分割线． （2）解：为等腰三角形， 需要分3种情况讨论， ①当，（如图①），， 由题意得，， ， ； ②当，（如图②），， 由题意得，， ， ； ③当，（如图③），， 由题意得，， ， ，与矛盾，舍去； 综上所述，的度数为或． （3）是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形， ，， ， ， 设，则， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 又， ， 完美分割线的长为． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 例题：【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 类型三、“K”字模型（相似模型） 例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西·期中）如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．由勾股定理求出得，证明得，代入数值求出，进而可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选B． 3．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，当在边上时，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用、等式的性质2 【分析】由旋转的性质可得，，，利用等式的性质可得，，进而可证得，于是可得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等式的性质，等式的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题 4．（2024·湖北宜昌·一模）如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，根据题意证明出 即可得到，设，则，表示出，过点作，证明出四边形是正方形，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，则，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴设，则， ∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，为边上的一点，且，则 ，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了三角形的面积公式． 先证明，利用相似的性质求的长度和三角形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵的面积为， ∴ ∴， 故答案为：， 6．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，先根据旋转的性质得到，，，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明得到，所以，然后利用相似比得到的值，从而得到的值，熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴，，， ∵点为的重心， ∴为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明； （2）先根据相似三角形性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：(负值已舍)． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在边上，，．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由，可得，即得，又根据三角形外角性质可得，进而即可求证； （）证明得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）根据平行可得，再结合即可证明； （2）根据设，，先证明，得到，，，再证明得到，最后求的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西太原·期中）已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． （1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可； （2）先根据相似三角形的性质，得出，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可． 【详解】（1）， ， 即， 又， （2）， ， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 即 11．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用有两组角相等的两个三角形相似判定即可； （2）由（1）可知：，从而证明，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：于点， ， ， （2）解：由（1）可知：， ，即： ， ， 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图①，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 问题发现 （1）①当时，_______；②当时，_______． 拓展研究 （2）试判断∶当时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明． 【答案】（1）① ②   （2）无变化；证明见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题属于相似形综合题，考查了三角形的中位线定理，相似三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）①由三角形中位线定理可得：，，即可求的值； ②先求出，的长，即可求的值； （2）通过证明，可得． 【详解】解：（1）①当时， ， ， ， 点、分别是边、的中点， ，， ， ， 故答案为：； ②如下图， 当时，由旋转的性质得：，， ，， ， 故答案为：． （2）无变化． 证明：是的中位线， ， ，． 在题图②中，在旋转过程中形状､大小不变， 仍然成立． 又， ． ． 在中，， ． ，即的大小无变化． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）过点E作于点G，延长至点H，使，连接，先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，再证明是等边三角形，可得，然后证明，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为： （2）如图，过点E作于点G，延长至点H，使，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴部件四边形的周长为． 14．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在中，，点是上一点，过点作于点． (1)如图1，证明：； (2)已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、角平分线性质的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ，即； （2）解：①在中，， 平分， ， ，， ，即， ， ； ②，，平分， ， 又，， ， ，则， 由（1）可知，则，且， ， 解得， 过点作，与延长线交于点，如图，则， ，， 又点是的中点，即， ， ， ，则， ． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，______；②当时，______； (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长． 【答案】(1)①2；②2 (2)当时，的大小无变化，见解析 (3)10或6 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键． （1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化； （3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解． 【详解】（1）解：①当时， ， ， ， ，即， ； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线， ， ， ， ，， 即， ； 故答案为：2； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即：，而， ， ， 故：当时，的大小无变化； （3）当旋转到如图位置，，三点共线时右侧）， 由题意得：， 由，得：， 由勾股定理得：， ， 当旋转到如图位置，，三点共线时左侧）， 此时，，是的中位线， ， 由勾股定理得：， ， 故线段的长为10或6． 16．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，如图2，当的延长线恰好经过点时： ①的值为 ； ②与的夹角的度数为 度． (2)类比探究 如图3，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)拓展延伸 若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，见解析 (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①设与交于点O．证明得到；②根据相似三角形的性质得到，结合对顶角相等和三角形的内角和定理可得结论； （2）设与交于点O．证明得到， ，进而可得结论； （3）分两种情况，分别画出对应图形，利用勾股定理和（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：①如图，设与交于点O， 和均为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ； ②， ，即， 又，， ， ， 即与的夹角的度数为45度； 故答案为：①，②； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点O， 和均为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，与的夹角的度数为45度； （3）解：分两种情况： 当于点O时，如图： ，， ， ， ， ， ， 同（1）（2）可得， ； 当时，延长交于O，如图： 同理可得，， ， ， ； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 17．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 18．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，D是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】（1）证明：，， ， （2）解：，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$