专题06 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题06 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2 类型二、同向双“A”字模型 7 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 13 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 16 压轴能力测评（15题） 22 解题知识必备 1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 压轴题型讲练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 例题：（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【变式训练1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小明在处测得自己的影长，在处测得自己的影长．小明身高． (1)若测出，求灯杆的长；（用含的代数式表示） (2)若测出，求灯杆的长． 【变式训练2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【变式训练3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在中，，点P为边上任意一点（不与点A，B重合），过P分别作于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，若是的角平分线，且，，求四边形的面积． 类型二、同向双“A”字模型 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【变式训练2】（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【变式训练3】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：． （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点E平行四边形的边的中点，连相交于点F，，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，若，，则为 ． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，，，则 ． 7．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点， （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点，分别是，边上的两点，且，，，，， (1)求证：； (2)求的长． 10．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高，灯柱的高，两灯柱之间的距离. (1)若李华距灯柱的水平距离，求他影子的长； (2)若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和是否是定值？请说明理由. 12．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，交于F． (1)求证：； (2)求与周长之比； (3)如果的面积为，求的面积． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 14．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 15．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）教材呈现： 如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，，求证：、互相平分． 请结合图①，写出证明过程． 探索应用： （1）如图②，在图①的条件下，与相交于点，连结，若，则_____． （2）如图③，在中，，，，与相交于点，连结，交于点．若，则_____（请用含有的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2 类型二、同向双“A”字模型 7 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 13 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 16 压轴能力测评（15题） 22 解题知识必备 1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 压轴题型讲练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 例题：（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 【变式训练1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小明在处测得自己的影长，在处测得自己的影长．小明身高． (1)若测出，求灯杆的长；（用含的代数式表示） (2)若测出，求灯杆的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，列代数式，中心投影，关键是判定，推出，判定，推出，得到关于的方程． （1）判定，推出，得到，求出； （2）判定，推出，判定，推出，而，得到，求出，得到，求出． 【详解】（1）解：， ， ， ，，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出； （2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式训练3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在中，，点P为边上任意一点（不与点A，B重合），过P分别作于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，若是的角平分线，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】（1）由，，得到，结合，即可得证， （2）根据角平分线的性质得到，根据正方形的判定得到，由，得到，代入求出，应用正方形面积公式，即可求解． 本题考查了矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形 （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：，即：解得：， ∴四边形的面积． 类型二、同向双“A”字模型 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 【变式训练2】（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【答案】解决问题：详见解析； 归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． 应用： 【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． [解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解． 【详解】[解决问题]证明：连接，如图， ∵、分别是边、的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图，过点作交于H．交于N． ， ， ， ∴，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：． （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解直角三角形等知识． （1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）证明，则，得到，，则是等腰三角形，由（1）得，即可证明； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形， 由（1）得， ∴， （3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）同理可得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ； （2）， 四边形的面积为48 ∵ ∴ ∴，即 解得． 【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点E平行四边形的边的中点，连相交于点F，，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由证明，，然后由相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，如图， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴光源与小明的距离应减少米． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到，学会设参数，属于中考常考题型． 设，则，，由，得，求出，再由，得，求出，再通过计算即可得结论． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，若，，则为 ． 【答案】18 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了利用相似比求面积，平行四边形的性质，理解相似比的特征是解决本题的关键．根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为 ． 【答案】/0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．作，交于点，得到，，问题得解． 【详解】解：作，交于点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点， （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点，分别是，边上的两点，且，，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）直接根据两边对应成比例且夹角相等判定即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：， ， ． ． 10．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．本题中两个三角形相似存在两种情况：当时，；当时，，对应角不同相似三角形的对应边也不相同，所以本题要分两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：如下图所示， 点运动的时间为，点运动的时间为， 当运动时间为时，，， 则有 中，，以，，为顶点的三角形中， 如果和以，，为顶点的三角形相似， 则有或， 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述当运动的时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高，灯柱的高，两灯柱之间的距离. (1)若李华距灯柱的水平距离，求他影子的长； (2)若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和是否是定值？请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，见解析 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】（1）连接，根据题意，得到，继而得到，列出比例式，代入计算即可. （2）连接，根据题意，得到，继而得到，列出比例式，求得，结合前面解答计算判断即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意，得， ∴， ∴. ∵， ，， ∴， 解得. （2）解：是定值.理由如下： 根据题意，得， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 连接，根据题意，得到， ∴， 同理可证， ∴是定值. 12．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，交于F． (1)求证：； (2)求与周长之比； (3)如果的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)与周长之比为； (3)的面积为． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）运用相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可解决问题； （3）运用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴与周长之比为； （3）解：∵， ∵的面积为 ∴的面积为． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 【答案】[探究活动]（1）; （2） [解决问题] 的值为或 【知识点】根据三角形中线求长度、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质 [探究活动]（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解． （2）同（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解； [解决问题] 由射线交于点可知，点有可能在线段上，有可能在线段延长线上，所以分两种情况讨论，再利用（2）的结论得出的值，进而根据相似三角形的性质求得直角三角形的边长，最后勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作交于点， ， ， ， 又是的中线， （2）同（1）可得， ， 又是的中线， 故答案为：． [解决问题] 分两种情况， ①当点在线段上时，如图所示，过作交于点，则， ，， ， 由（2）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，； ②当点在线段延长线上时，如图所示，过点作交的延长线于点 ，，则， ， ，， ， 又是的中线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 综上所述：的值为或． 14．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 15．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）教材呈现： 如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，，求证：、互相平分． 请结合图①，写出证明过程． 探索应用： （1）如图②，在图①的条件下，与相交于点，连结，若，则_____． （2）如图③，在中，，，，与相交于点，连结，交于点．若，则_____（请用含有的代数式表示）． 【答案】 教材呈现：见解析 探索应用：（1）4；（2） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】教材呈现：如图①，连接，由中位线可知，，证明四边形是平行四边形，进而结论得证； 探索应用：（1）如图②，连接，由（1）可知，四边形是平行四边形，则，证明，则，即，可求，进而可求的值； （2）由，，可得，，证明，则，，，设，则，，证明，则，由，可求，由题意知，即，可求，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】教材呈现： 证明：如图①，连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴、互相平分． 探索应用： （1）解：如图②，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：4； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意知，即， 解得，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$