第五单元圆专题：外圆内方和外方内圆讲义-2024-2025学年六年级上册数学人教版

《圆》专题：外方内圆和外圆内方 一、解题关键： 类型 图示 特点 外方内圆 在正方形里画最大的圆，圆的直径=正方形边长； S正∶S圆=4∶π S正∶S阴=4∶（4-π） 外圆内方 在圆里面最大的正方形，圆的直径=正方形对角线； S圆∶S正=π∶2 S圆∶S阴=π∶（π-2） 二、常见类型： 第一种：外方内圆（正方形内最大圆） 第二种：外圆内方（圆内最大正方形） 第三种：长方形内最大圆 第四种：外方内圆和外圆内方综合 三、解题技巧： （1）正方形面积对角线公式。正方形面积=对角线×对角线÷2； （2）勾股定理。在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。 类型1：外方内圆（正方形内最大圆） 1. 课堂上，老师组织探究活动：已知如图正方形的面积是40cm²，求涂色部分的面积。小明举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积，可求出涂色部分的面积是（ ）cm²”。 2. 木工师傅要把一张边长2m的方桌面改成一张最大的圆桌面，锯下的边角料的面积是（ ）m²。 3. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。王阿姨先从一张边长是40cm的正方形红纸上剪下一个最大圆，再把它剪成“福”字，这个圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm²。 4. 一个正方形内有一个最大圆，已知圆的面积是25.12dm²，则正方形的面积是（ ）dm²。 类型二：外圆内方（圆内最大正方形） 5. 如图所示，圆中的三个正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是1厘米、2厘米、3厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 6. 霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是（ ）m，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是（ ）m²。 类型三：长方形内最大圆 7. 从一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，那么这个圆的半径最大是（ ）厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 8. （易错）用一张长6分米，宽4分米的长方形纸剪出一个最大的半圆，这个半圆的面积是（ ）平方分米，周长是（ ）分米。 9. 在宽为2厘米、长是10厘米的长方形内，最多能剪（ ）个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。 类型四：外方内圆和外圆内方综合 10. 如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是（ ）平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是（ ）∶（ ）。 11. 半径为10厘米的圆的外面和里面各有一个正方形（如下图），外面正方形的面积是（ ）平方厘米，里面正方形的面积是（ ）平方厘米。 12. 如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里面画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是（ ）cm²。 答案和解析 类型1：外方内圆（正方形内最大圆） 1. 课堂上，老师组织探究活动：已知如图正方形的面积是40cm²，求涂色部分的面积。小明举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积，可求出涂色部分的面积是（ ）cm²”。 【答案】：8.6 【分析】：方法1：利用题目提供的方法，将大正方形一分为四，找到小正方形边长和圆半径之间的关系，再根据“阴影面积=大正方形面积-圆面积”解答。 把正方形分成4个相等的小正方形，小正方形边长=圆半径。其中： 小正方形面积是40÷4=10（cm²），根据“正方形面积=边长×边长”可得，r²=10； S阴=S正-S圆=40-3.14×10=8.6（cm²）； 方法2：比例法。外方内圆，S正∶S阴=4∶（4-π）=4∶0.86。 已知正方形面积是40cm²，则S阴=40÷4×0.86=8.6（cm²）。 2. 木工师傅要把一张边长2m的方桌面改成一张最大的圆桌面，锯下的边角料的面积是（ ）m²。 【答案】：0.86 【分析】：方法1：根据“边角料面积=正方形面积-圆面积”解答。 根据题意画图如下： 边角料面积，即图中阴影面积。 正方形边长=圆直径，则圆半径=2÷2=1（m）； S阴=S正-S圆=2×2-3.14×1²=0.86（m²）。 方法2：比例法。外方内圆，S正∶S圆=4∶π，则S正∶S阴=4∶（4-π）=4∶0.86。 已知正方形边长是2m，则正方形面积是（2×2）m²，边角料面积是2×2÷4×0.86=0.86（m²）。 3. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。王阿姨先从一张边长是40cm的正方形红纸上剪下一个最大圆，再把它剪成“福”字，这个圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm²。 【答案】：125.6；1256 【分析】：根据题意画图如下： 从一张边长是40cm的正方形纸上剪下一个最大圆，此时正方形边长=圆直径。圆半径=40÷2=20（cm）； 求圆周长，代入“C=2πr”，圆周长是2×3.14×20=125.6（cm）； 求圆面积，代入“S=πr²”，圆面积是3.14×20²=1256（cm²）。 4. 一个正方形内有一个最大圆，已知圆的面积是25.12dm²，则正方形的面积是（ ）dm²。 【答案】：32 【分析】：方法1：根据“正方形边长=圆直径”解答。 由题可知，圆面积是25.12dm²，根据“S=πr²”可知，r²=S÷π=25.12÷3.14=8； S正=边长×边长=2r×2r=4r²=4×8=32（dm²）； 方法2：比例法。外方内圆，S正∶S圆=4∶π。 已知S圆=25.12dm²，则S正=25.12÷3.14×4=32（dm²）。 类型二：外圆内方（圆内最大正方形） 5. 如图所示，圆中的三个正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是1厘米、2厘米、3厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】：56.52 【分析】：求圆的面积，S=πr²，关键在于算出r²。 三个正方形A、B、C边长分别是1cm、2cm、3cm，观察图形可知，大正方形的边长是3+2+1=6（cm）； 在△DEF中，DE²+EF²=（r+r）²，即：6²+6²=（2r）²，所以r²=36×2÷4=18。 代入“S=πr²”，则圆的面积是3.14×18=56.52（平方厘米）。 6. 霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是（ ）m，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是（ ）m²。 【答案】：6.28；2 【分析】：已知桌面是一个直径2m的圆形，求周长，代入“C=πd”，则圆形桌面周长是3.14×2=6.28（m）； 桌面折叠后是一个正方形，求该正方形面积，外圆内方问题。 方法1：根据“正方形对角线=圆直径”解答。 正方形对角线=圆直径=2m，代入“正方形面积=对角线×对角线÷2”，则S正=2×2÷2=2（m²）； 方法2：比例法。外圆内方，S圆∶S正=π∶2。 圆半径=2÷2=1（m），S圆=πr²=3.14×1²=3.14（m²），则S正=3.14÷3.14×2=2（m²） 类型三：长方形内最大圆 7. 从一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，那么这个圆的半径最大是（ ）厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】：3；28.26 【分析】：长方形内画最大圆，圆直径=长方形的宽。 从一张长10cm、宽6cm的长方形纸上剪一个最大的圆，则圆直径=长方形的宽=6cm。 已知圆直径是6cm，圆半径=d÷2=6÷2=3（cm）; 已知圆半径是3cm，代入“S=πr²”，这个圆的面积是3.14×3²=28.26（cm²） 8. （易错）用一张长6分米，宽4分米的长方形纸剪出一个最大的半圆，这个半圆的面积是（ ）平方分米，周长是（ ）分米。 【答案】：14.13；15.42 【分析】：在一张长6dm、宽4dm的长方形纸剪出一个最大的半圆，圆直径=长方形的长=6dm。 圆直径=6dm，则圆半径=6÷2=3（dm）； 根据“S=πr²”，这个半圆的面积是×3.14×3²=14.13（平方分米）； 半圆周长=圆周长+1条直径长。其中：圆周长=πr=3.14×3；1条直径长=6 所以，这个半圆的周长是3.14×3+6=15.42（分米）。 9. 在宽为2厘米、长是10厘米的长方形内，最多能剪（ ）个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】：5；4.3 【分析】：已知圆半径是1cm，则d=2r=2×1=2（cm）。分别求出长方形的长、宽里包含几个2cm，再相乘即可。 由题可知，长方形的宽=2cm，包含1个2cm；长方形的长=10cm，10÷2=5（个），包含5个2cm，所以最多能剪圆1×5=5（个）； 求剩余部分面积，剩余部分面积=长方形面积-5个半径1cm的圆面积。其中： 长方形面积=长×宽=2×10；5个半径是1cm的圆面积=5×πr²=5×3.14×1² 剩余部分面积=2×10-5×3.14×1²=4.3（平方厘米）。 类型四：外方内圆和外圆内方综合 10. 如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是（ ）平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是（ ）∶（ ）。 【答案】：15.7； 2∶1 【分析】：外圆和正方形，属于外圆内方，即S外圆∶S正=π∶2。 已知S正=10cm²，则S外圆=10÷2×π=5×3.14=15.7（cm²）； 正方形和内圆，属于外方内圆，即S正∶S内圆=4∶π。 S外圆∶S正=π∶2 S正∶S内圆=4∶π 统一“S正”的份数，[2,4]=4，据此可得：S外圆∶S正=π∶2=2π∶4、S正∶S内圆=4∶π 所以，S外圆∶S正∶S内圆=2π∶4∶π，则S外圆∶S内圆=2π∶π=2∶1。 11. 半径为10厘米的圆的外面和里面各有一个正方形（如下图），外面正方形的面积是（ ）平方厘米，里面正方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】：400；200 【分析】：方法1：由题可知，圆半径是10cm。 外面正方形和圆，外正方形边长=圆直径=10×2=20（cm），代入“正方形面积=边长×边长”，则外面正方形的面积是20×20=400（cm²）; 里面正方形和圆，里面正方形对角线=圆直径=20cm，代入“正方形面积=对角线×对角线÷2”，则里面正方形的面积是20×20÷2=200（cm²）。 方法2：比例法。圆半径是10cm，代入“S=πr²”，S圆=100π（cm²）。 外面正方形和圆，外方内圆，S外正∶S圆=4∶π，则S外正=100π÷π×4=400（cm²）； 里面正方形和圆，外圆内方，S内正∶S圆=2∶π，则S内正=100π÷π×2=200（cm²）。 12. 如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里面画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是（ ）cm²。 【答案】：1.14 【分析】：方法1：根据“阴影面积=圆面积-小正方形面积”解答。 已知大正方形边长是2cm，且大正方形边长=圆直径。 圆直径=2cm，则圆半径=2÷2=1（cm），代入“S=πr²”，则S圆=3.14×1²=3.14（cm²）； 小正方形对角线=圆直径=2cm，代入“正方形面积=对角线×对角线÷2”，则S小正=2×2÷2=2（cm²）; S阴=S圆-S小正=3.14-2=1.14（cm²）。 方法2：比例法。由题可知，大正方形边长是2cm，则S大正=2×2=4（cm²）; 小正方形和圆，外圆内方，则S小正∶S圆=2∶π，则S阴∶S圆=（π-2）∶π=1.14∶π，求阴影面积，关键在于算出圆面积。 大正方形和圆，外方内圆，则S大正∶S圆=4∶π，已知S大正=4cm²，则S圆=4÷4×π=3.14（cm²）; S阴=3.14÷3.14×1.14=1.14（cm²）。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$