2025年广东省九年级中考数学一轮考点复习课件：第33讲尺规作图

第七章　图形变化 第33讲　尺规作图 知识点1　 尺规作图 (1)定义：只用无刻度的直尺和圆规作图. (2)五种基本尺规作图： 图示 步骤 作一条线段等于已知 线段(已知线段a) ①作射线OP； ②在射线OP上截取OA＝a，OA即为所求线段 一 知识梳理 图示 步骤 作∠AOB的平分线 ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分 别交OA，OB于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的 长为半径作弧，两弧相交于点P； ③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平 分线 一 知识梳理 图示 步骤 作已知线段AB的垂直平分线 ①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N； ②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线 作一个角等于已知角(已知∠α) ①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O'A'； ③以点O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N； ⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求角 一 知识梳理 图示 步骤 过一点作已知直线的垂 线 已知点P 在直线上 ①以点P为圆心，任意长为半径向点P两 侧作弧，分别交直线l于A，B两点； ②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长 为半径作弧，两弧交于点M； ③过点M，P作直线MP，则直线MP即为 所求垂线 已知点P 在直线外 ①以点P为圆心，大于点P到直线l的距离 为半径作弧，分别交直线l于A，B两点； ②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长 为半径作弧交于点N； ③过点P，N作直线PN，则直线PN即为所 求垂线 一 知识梳理 尺规作图. (1)如图1，在△ABC中的边AB上找一点P，使AP＝BC； (2)如图2，在△ABC中，作∠B的平分线交AC于点P； (3)如图3，在△ABC中，作AC的垂直平分线EF，交AB于点P； (4)如图4，在△ABC中，过点C作CP⊥AB，垂足为点P； 一 知识梳理 (5)【课标新增·过直线外一点作直线的平行线】如图5，点P是∠BAC的 边AB上的一点，过点P作PQ∥AC； (6)(教材母题改编)如图6，在∠BAC的内部找点P，使点P到∠BAC两边 的距离相等，且点P到点M，N的距离相等. 一 知识梳理 重点1　作垂直平分线及作一个角等于已知角 例1：(2024·赤峰)如图，在△ABC中，点D是AB的中点. (1)求作：AC的垂直平分线l；(要求：尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹) 解：(1)如图，直线l即为所作. 解：(1)如图，直线l即为所作. 二 重点突破 (2)若直线l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接 BE，CF. 补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形. 解：(2)证明：补全图形如图. 由作图，可得AE＝EC， 即点E是AC的中点. ∵点D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC，BC＝2DE. ∵EF＝2DE，∴EF＝BC. ∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形. 解：(2)证明：补全图形如图. 由作图，可得AE＝EC， 即点E是AC的中点. ∵点D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC，BC＝2DE. ∵EF＝2DE，∴EF＝BC. ∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形. 二 重点突破 [变式1](2024·河南)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， BE∥DC交AC的延长线于点E. (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM 交BE于点F；(保留作图痕迹，不写作法) 解：(1)如图，∠ECM即为所作. 解：(1)如图，∠ECM即为所作. 二 重点突破 [变式1](2024·河南)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， BE∥DC交AC的延长线于点E. (2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形. 解：(2)证明：由(1)，得∠ECF＝∠A， ∴CF∥AB. ∵BE∥DC， ∴四边形CDBF是平行四边形. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝BD. ∴四边形CDBF是菱形. 解：(2)证明：由(1)，得∠ECF＝∠A， ∴CF∥AB. ∵BE∥DC， ∴四边形CDBF是平行四边形. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝BD. ∴四边形CDBF是菱形. 二 重点突破 重点2　作垂线及作角平分线　 例2：(2023·广东)如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°. (1)实践与操作：用尺规作图法过点D作边AB上的高DE交AB于点E； (保留作图痕迹，不要求写作法) 解：(1)如图，DE即为所作. 解：(1)如图，DE即为所作. 二 重点突破 (2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长. 解：(2)∵∠DAB＝30°，AD＝4， ∴DE＝2. ∴在Rt△ADE中， AE＝ ＝2 . ∵AB＝6， ∴BE＝AB－AE＝6－2 . 解：(2)∵∠DAB＝30°，AD＝4， ∴DE＝2. ∴在Rt△ADE中， AE＝ ＝2 . ∵AB＝6， ∴BE＝AB－AE＝6－2 . 例2：(2023·广东)如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°. 二 重点突破 [变式2](2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；(保留作 图痕迹，不要求写作法) 解：(1)如图，AD即为所作. (2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D. 求 证：AB与☉D相切. 解：(1)如图，AD即为所作. 解：(2)证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD. ∴DE为☉D的半径.∴AB与☉D相切. (2)证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD. ∴DE为☉D的半径.∴AB与☉D相切. 二 重点突破 　　 1. (2024·深圳)在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断 射线AD平分∠BAC的是(　B　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 第1题图 B 三 中考检测 2. (2024·内蒙古)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并 延长交BC于点D. 若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是(　B　) A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 第2题图 B 三 中考检测 3. 如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 于点D，连接CD；(保留 作图痕迹，不写作法) 解：(1)如图，OD即为所作. 解：(1)如图，OD即为所作. 三 中考检测 3. 如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，且AC＝8， BC＝6. (2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及 sin ∠ACD的值. 解：(2)如图，设OD与AC交于点E. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt△ACB中，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ ＝10.∴OA＝ AB＝5. ∵OD是AC的垂线，∴AE＝ AC＝4. 在Rt△AEO中，AE＝4，OA＝5， ∴OE＝ ＝3，即点O到AC的距离为3. ∴DE＝OD－OE＝5－3＝2. 在Rt△CDE中，DE＝2，CE＝4， ∴CD＝ ＝2 .∴ sin ∠ACD＝ ＝ ＝ . 解：(2)如图，设OD与AC交于点E. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt△ACB中，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ ＝10.∴OA＝ AB＝5. ∵OD是AC的垂线，∴AE＝ AC＝4. 在Rt△AEO中，AE＝4，OA＝5， ∴OE＝ ＝3，即点O到AC的距离为3. ∴DE＝OD－OE＝5－3＝2. 在Rt△CDE中，DE＝2，CE＝4， ∴CD＝ ＝2 .∴ sin ∠ACD＝ ＝ ＝ . 三 中考检测 4. (2024·扬州)如图，已知∠PAQ及边AP上一点C. (1)尺规作图：在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；(保留作 图痕迹，不写作法) 解：(1)如图，点O即为所作. 解：(1)如图，点O即为所作. (2)在(1)的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B， 尺规作图：在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线 AQ的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法) 解：(2)如图，点B，点M即为所作. (2)如图，点B，点M即为所作. 四 中考创新考法 4. (2024·扬州)如图，已知∠PAQ及边AP上一点C. (3)在(1)、(2)的条件下，若 sin A＝ ，CM＝12，求BM的长. 解：(3)如图，过点M作MH⊥AQ于点H. 由作图，得OA＝OC＝OB， ∴∠ACB＝90°.∵ sin A＝ ＝ ， ∴可设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k. ∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ， ∴∠MBC＝∠MBH，∠BCM＝∠BHM＝90°. ∵BM＝BM，∴△MBC≌△MBH. ∴BC＝BH＝3k.∴AH＝AB＋BH＝8k. 解：(3)如图，过点M作MH⊥AQ于点H. 由作图，得OA＝OC＝OB， ∴∠ACB＝90°.∵ sin A＝ ＝ ， ∴可设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k. ∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ， ∴∠MBC＝∠MBH，∠BCM＝∠BHM＝90°. ∵BM＝BM，∴△MBC≌△MBH. ∴BC＝BH＝3k.∴AH＝AB＋BH＝8k. ∵ sin A＝ ＝ ，∴AM＝10k，MH＝CM＝6k. ∴6k＝12，解得k＝2.∴BH＝6，MH＝12. ∴BM＝ ＝ ＝6 . ∵ sin A＝ ＝ ，∴AM＝10k，MH＝CM＝6k. ∴6k＝12，解得k＝2.∴BH＝6，MH＝12. ∴BM＝ ＝ ＝6 . 四 中考创新考法 $$