专题03 函数基本性质综合应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性等，共10大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题03 函数基本性质综合应用 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【考点1】求函数单调区间 【考点2】根据函数单调性求参数 【考点3】根据函数奇偶性求解析式或参数 【考点4】函数奇偶性的应用 【考点5】单调性+奇偶性识别图象 【考点6】单调性+奇偶性解不等式 【考点7】函数不等式恒成立问题 【考点8】分段函数综合问题 【考点9】单调性+奇偶性+周期性+对称性 【考点10】抽象函数问题 知识点 1 ：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点2：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点3：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点4：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点5：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点6：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 题型归纳 【考点1】求函数单调区间 1．（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 2．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 3．（2024·吉林长春·一模）函数的单调增区间为 ． 【考点2】根据函数单调性求参数 1．（23-24高一上·福建三明·期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【考点3】根据函数奇偶性求解析式或参数 1．（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【考点4】函数奇偶性的应用 1．（2024·海南·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【考点5】奇偶性识别图象 1．（2024·新疆·模拟预测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024·四川·一模）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【考点6】单调性+奇偶性解不等式 1．（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【考点7】函数不等式恒成立问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模），用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 4．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【考点8】分段函数综合问题 1．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 【考点9】单调性+奇偶性+周期性+对称性 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 3．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 4．（多选）（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 【考点10】抽象函数问题 1．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 2．（多选）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 3．（多选）（2024·湖南衡阳·一模），，非常数函数都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，是偶函数 C．若，则 D．的值不可能是 4．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 过关检测 一、单选题 1．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东滨州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 4．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 5．（2024·新疆·二模）若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·一模）定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 10．（2025·安徽·一模）定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称 二、多选题 11．（2024·吉林长春·模拟预测）设，定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 12．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 13．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 14．（2024·浙江·模拟预测）已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 16．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 17．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ． 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中表示中最大的数．若，则 ；若对恒成立，则的取值范围是 ． 19．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 20．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，，且，则 ． 四、解答题 21．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 22．（2024·吉林长春·一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 23．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 24．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数基本性质综合应用 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【考点1】求函数单调区间 【考点2】根据函数单调性求参数 【考点3】根据函数奇偶性求解析式或参数 【考点4】函数奇偶性的应用 【考点5】单调性+奇偶性识别图象 【考点6】单调性+奇偶性解不等式 【考点7】函数不等式恒成立问题 【考点8】分段函数综合问题 【考点9】单调性+奇偶性+周期性+对称性 【考点10】抽象函数问题 知识点 1 ：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点2：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点3：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点4：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点5：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点6：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 题型归纳 【考点1】求函数单调区间 1．（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【知识点】求函数的单调区间、分段函数的单调性 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 2．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 3．（2024·吉林长春·一模）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】根据复合函数的单调性即得. 【详解】函数的定义域是， 在定义域内函数的单调增区间是， 而函数的单调增区间就是在定义域内函数的增区间， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 【考点2】根据函数单调性求参数 1．（23-24高一上·福建三明·期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据指数型复合函数的单调性求解. 【详解】设， 因为函数在区间上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可得， 函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故选：C. 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得. 故选：A 3．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 4．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点3】根据函数奇偶性求解析式或参数 1．（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数定义可得，计算即可得解. 【详解】由题意可得，即， 整理得， 即恒成立，即. 故选：A. 2．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性即可求值． 【详解】解：由于为偶函数，则恒成立， 则，则有， 可得， 经验证满足恒成立． 故选：B． 3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证. 【详解】解：当，又因为为上的奇函数， 所以，解得， 又，所以当． 故答案为：. 【考点4】函数奇偶性的应用 1．（2024·海南·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的定义，结合特值法可解. 【详解】是偶函数，则，且，代入计算得到. 故选：A. 2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 3．（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】可设，判断出是奇函数，从而得出的最大值和最小值的和为0，即可求出的值，然后求解． 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 【考点5】奇偶性识别图象 1．（2024·新疆·模拟预测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据图像趋势即可判断. 【详解】函数定义域为，且， 所以图像关于原点对称，排除A、C；当从正向无限趋近于0时， 也正向无限趋近于零；所以排除D； 故选：B. 2．（2024·海南·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】分别利用函数的定义域、奇偶性与特殊值的正负排除不符合要求的选项即可得. 【详解】由定义域为，故可排除C； 又， 故为奇函数，故可排除D； 由，故可排除B； 故选：A. 3．（2024·四川·一模）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据条件，得到为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合与在上的正负值，即可求解. 【详解】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 【考点6】单调性+奇偶性解不等式 1．（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【详解】由，可得. 令，因为是偶函数，且在上单调递增，所以也是偶函数，且在上单调递增，从而，解得或. 故选：A 2．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由已知条件可得在上单调递减，且为奇函数，将化为，再利用函数的单调性可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数，满足， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以， 由，得， 所以． 因为在上单调递减， 所以，得， 故选：A． 4．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断性质，再由性质得即可求范围. 【详解】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为： 【考点7】函数不等式恒成立问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模），用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数都是实数集上的增函数，所以在上为增函数， 所以当时，，所以当1时，成立. 同时因为当时，，所以当时，恒成立， 即当时，，即.设， 则， 当且仅当时取等号，即当时取等号，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 2．（2024·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、复合函数的最值 【分析】先利用分离常数法求出，然后求出最值，再根据恒成立条件即可得 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，， 而，当且仅当时，等号成立，所以； 综上所述：. 故答案为： 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 4．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 【考点8】分段函数综合问题 1．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、分段函数的性质及应用 【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为当时，单调递增； 当时，单调递增； 又因为单调递增，且， 所以， 解得. 故选：C. 2．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数的图象，如图：    可知函数在R上为单调递增函数， 故由可得，即， 解得或， 即实数a的取值范围是, 故选：A 3．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得． 【详解】，所以，所以，解得. 故答案为： 【考点9】单调性+奇偶性+周期性+对称性 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 3．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用、研究对数函数的单调性 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示，    由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 4．（多选）（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得. 【详解】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 【考点10】抽象函数问题 1．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性、求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D，结合奇函数的性质，即可求解C. 【详解】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 由得到，即可判断对称，利用，即可利用递推法求解. 2．（多选）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 【答案】ACD 【知识点】函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】利用赋值法求解逐项判断即可. 【详解】该函数满足且， 对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，， 可得，令，可得， 将两式相加得：，所以， 所以，所以， 因此，6是的一个周期，故C正确； 对于D，令，，，所以， 所以， 因为，， 因为，令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 由于6是的一个周期， 所以， 所以，故D正确； 故选：ACD 3．（多选）（2024·湖南衡阳·一模），，非常数函数都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，是偶函数 C．若，则 D．的值不可能是 【答案】ABC 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】对于A，只需赋值推理即得；对于B，先推得，再分别赋值和，推得，用替换，推得即可；对于C，结合条件，赋值，推得为偶函数，继续分别赋值和，推出，即可验证得到结论；对于D，构造函数，验证符合①式后，即可判断. 【详解】由条件①， 对于A，取，有即（*）， 若，则为常数，与题意矛盾，即，故A正确； 对于B，由A项已得，代入（*），可得， 在①式中，取，有②， 再取，有，可得， 则有或.因 ，故， 代入②式，可得，用替换，即得， 故为偶函数，即B正确； 对于C，若，在①式中取， 可得则有，由B项知为偶函数， 在①式中，取，有，即③， 再取，有即， 用替换，即得④， 由③④，易得， 即， 由上已得，，，， 依次代入，可得，，故C正确； 对于D，取， 因， 而，即符合①式， 此时，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的性质探究，属于难题.解题思路上，一般应从抽象函数的等式入手，结合选项启发，对其中的未知量进行针对性赋值，使其往选项要求的方向发展，进行判断、验证，有时还需构造符合题意的函数解析式，判断排除选项. 4．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【知识点】抽象函数的奇偶性、求函数值、函数周期性的应用 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 过关检测 一、单选题 1．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【详解】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 2．（19-20高一上·山东滨州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据时函数值的特征排除C. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 3．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【知识点】由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 4．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据题意，利用图象变换求得函数的图象关于对称，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. 5．（2024·新疆·二模）若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数的对称中心求参. 【详解】关于对称, 则. 故选：D. 6．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 7．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数、由对称性求函数的解析式 【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 8．（2024·四川南充·一模）定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数的图象关于点对称可得到，进而求得，，反复利用，适当赋值，再结合条件当时，都有即可求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，令，则，又，所以， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 同理，令，由，则，即， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 因为当时，都有， 而， 则，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果. 9．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：C. 10．（2025·安徽·一模）定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【知识点】函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用 【分析】根据已知及偶函数判断周期判断A,再结合周期判断对称性判断B,C,D. 【详解】由题意可知，，则函数的周期为4．A选项错误； 又，即函数的图象关于对称，也关于对称， 则的图象不关于对称，B错误； 若关于对称，已知图象关于对称，则函数周期为2矛盾， D错误． 对于C，为偶函数，则，可知，故C正确． 故选：C. 二、多选题 11．（2024·吉林长春·模拟预测）设，定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】对于A，令，又，即可求得；对于B，令，再由，即可推得；对于C，令，可得，从而为奇函数；对于D，可推得，即的周期为，则. 【详解】对于A，令，得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，代入可得， 因为，所以， 从而，故B正确； 对于C，令，代入得， 又因为对，恒成立且不恒为0， 所以，从而为奇函数， 又不恒等于0，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以为的周期， 所以，故D正确． 故选：ABD． 12．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【答案】BC 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 13．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABC 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据选项C及函数单调性判断D. 【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确； 对B，令，则，，可得，所以， 由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，令，可得，所以，即，故C正确； 对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误. 故选：ABC 14．（2024·浙江·模拟预测）已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、由抽象函数的周期性求函数值、判断或证明函数的对称性、判断证明抽象函数的周期性 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断D. 【详解】由题意可知，，即函数关于对称， 所以， 中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则， 得，那么， 所以函数是周期为6的函数，故，故C正确； 函数关于对称，所以，函数的周期为6，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的对称性，以及利用赋值法判断函数值，以及周期性. 三、填空题 15．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，得到的图象关于对称，且在上单调递减，结合，得到，结合图象，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得函数的图象关于对称， 又由函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 因为，可得， 所以，当时，；当时，；当时，， 对于不等式，如图所示，    当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 16．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值 【分析】根据，得到，根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可. 【详解】由得， 由得， 令得， 因为的图象关于直线对称，所以， 由得， 由得， 则，， 所以，为周期为4 的周期函数，， 在中，令得，则， 在中，令得，则， 令得，则，， . 故答案为：. 17．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、由对称性求函数的解析式 【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解. 【详解】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中表示中最大的数．若，则 ；若对恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】由题意先求出，则.然后分类讨论，解出对恒成立时的取值范围即可. 【详解】由已知，若，则. 当时，，当时，， 因为对恒成立，所以当时，恒成立， 即恒成立，若，则当时，，矛盾，当时， 可得恒成立，所以，所以的取值范围是. 故答案为：；. 19．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据条件，构造，利用的奇偶性和单调性，将问题转化成求解，即可求出结果. 【详解】由，得， 设，则，取，得， 取，得；取，得， 所以是偶函数，所以， 因为当时，，两边同时乘以， 得，两边同时除以，得， 即，即，所以在上单调递减. 由，得，由，得， 所以可化为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 20．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，，且，则 ． 【答案】18 【知识点】函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】先利用赋值法结合已知条件判断函数为周期函数，并求出周期，再根据周期性求解 【详解】由，得，为常数． 由得，取为， 得， 所以，即，， 两式相减得， 所以函数是周期为2的周期函数， 所以．因为，所以． 因为， 所以，所以，则， 所以，， 所以，所以． 故答案为：18 四、解答题 21．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案； （2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 22．（2024·吉林长春·一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明； （2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解. 【详解】（1）设，且， 则，， 因为， 所以， 即为减函数. （2）因为， 所以， 令，则，即， 所以， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 23．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； 法二：可设，由得到图象的对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； （2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）法一：由为二次函数，可设， ∵，则代入得， 化简：， 因为其对任意都成立，所以， 即． 又因为最小值为-1，且， ∴，解得， ∴； 法二：由为二次函数，可设， ∵函数满足， ∴图象的对称轴为，即， 最小值为-1，且， ∴，∴ ∴； （2）∵，即在上恒成立， 即满足函数的最小值大于． 又∵当时，对称轴为， 故在单调递减，单调递增． ∴在的最小值在取得， 即 ∴， 故的取值范围是. 24．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解， （2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解. 【详解】（1），且，所以为奇函数， 将代入可得，即，所以， 即，因为，所以，代入可得， 解得，故； ，函数为奇函数，满足，故． （2）只要，设，则， ∵，∴，∴，即， 故函数在[1，2]上单调递增，最小值为． 法一：在[1，2]上恒成立，只要， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故当时，，所以． 法二：，， 当时，，，解得，舍去； 当时，，，解得，因此， 综上所述：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$