专题02 一元二次函数、方程和不等式（基本不等式+恒（能）成立问题）（7大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【考点1】基本不等式辨析 及其应用 【考点2】由一元二次不等式的解确定参数 【考点3】讨论含参一元二次不等式的解 【考点4】基本不等式的恒成立问题 【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法） 【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题 【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题 知识点 1 ：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 知识点2：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 题型归纳 【考点1】 基本不等式辨析 及其应用 1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D. 【详解】对A，当时，则，故A错误； 对B，当时，则，则，故B错误； 对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误； 对D，若，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 2．（多选）（2025·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：令，则，，当且仅当时取等号，而，故C正确； 对于D：由，故， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BCD 3．（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 4．（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】指数幂的运算、比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D． 【详解】由题意，得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，取，，则，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD 5．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用重要不等式计算可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 【考点2】由一元二次不等式的解确定参数 1．（多选）（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由基本不等式证明不等关系 【分析】由韦达定理得出的关系：，判断AB，把用表示代入化简判断C，作差法判断D． 【详解】由题意可得和为方程的两根， 且，所以，即，，故A错误； 又，当且仅当等号成立，因为，所以，故B正确； 而 ，故C正确； 因为，且， 所以，即，故D正确. 故选：BCD. 2．（多选）（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或， ∴，A选项错误； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：BD 3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 4．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【详解】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 【考点3】讨论含参一元二次不等式的解 1．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析. 【知识点】一次函数的图像和性质、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 2．（2024·江西·模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题. 已知函数. (1)若命题：“________，”为真命题，求实数的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)选①，，选②； (2)答案见解析． 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）选①，求出在上的最大值，由最大值即可得，选②，求出在上的最小值，由最小值即可得； （2）不等式整理后因式分解，得相应方程的两个根，按根的大小分类讨论可得． 【详解】（1），对称轴是， 选①，，，则得， 选②，，，由得． （2）不等式化简为， ， 当时，，， 时，， 当时，，． 综上，时解集为，时，解集为，时，解集为． 3．（2024·上海静安·二模）设(常数)，且已知是方程的根． （1）求函数的值域； （2）设常数，解关于x的不等式： 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【知识点】对勾函数求最值、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由条件求出，得到，令，则，然后可得答案； （2）原不等式可化为()，然后分、、、四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）将代入方程，解得 故 令，则，因为 所以 即的值域为 （2）() () 即() 1）当时，不等式的解集为； 2）当时，不等式的解集为； 3）当时，不等式的解集为． 4）当时，不等式的解集为． 【考点4】基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D 3．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故答案为：． 【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法） 1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的充分不必要条件 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的充分不必要条件 【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】若关于x的不等式对恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，故满足要求， 当时，原不等式恒成立当且仅当，解得， 综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当， 而选项中只有是的充分不必要条件. 故选：B. 3．（多选）（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 4．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据二次函数的性质得，即可求解. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题 1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C 2．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围． 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 设，，其中在区间上单调递减， 所以有最小值为， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 3．（2024·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 4．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 5．（23-24高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】求得原命题的否定，再根据二次函数在区间上恒成立，列出不等式，求解即可. 【详解】原命题的否定为：“任意的，使得”为真命题， 令，则要满足题意，只需且， 即且，解得，即实数的取值范围是：. 故答案为：. 【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题 1．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在递减，在递增， ，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增，，所以，故； ③即时，在[0，1]递减，， 所以，解得，综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可. 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海普陀）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的最值求参数、函数不等式能成立（有解）问题、对勾函数求最值、一次函数的图像和性质 【分析】求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答. 【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，， 因对任意，总存在，使得，则存在， 成立， 则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，， 因此，在上的最大值只能在上取得 而当时，，在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，在上单调递增，， 由解得，于是得， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，， 而，此时不存在使得成立， 综上得，即， 所以a的最大值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则. 过关检测 一、单选题 1．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 4．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以，可得： ， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值8. 故选：D. 5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知，，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有最小值4 D．若，则 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A. 利用基本不等式求解判断；对于B.取判断；对于C.利用基本不等式结合指数运算求解判断；对于D.利用作差法比较. 【详解】因为，， 对于选项A：若，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于选项B：当时，式子不成立，B错误； 对于选项C：若，则， 当且仅当时取等号，C正确； 对于选项D：因为，且， 所以，故D错误． 故选：C． 6．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【详解】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】分式不等式 【分析】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解. 【详解】不妨设， 原不等式等价于， 整理得:， 因为，可设方程的两根为, 令, 则的零点为，原不等式即. 因为, 0, 结合二次函数图像，可知：. 则不等式的解集为, 则此解集的区间长度之和为, 因为由韦达定理可得，， 所以此不等式的解集的区间长度之和为, 解得， 故选：A 8．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先化简得出，再应用基本不等式常值代换计算即可. 【详解】因为，所以, 又因为， 当且仅当时取最小值9， 所以的最小值为5. 故选：C. 9．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 10．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 11．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项. 【详解】当且仅当时取等号，A选项正确； 当且仅当时取等号，B选项错误； ∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 12．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 13．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值 【分析】运用可判断A项，由结合基本不等式可判断B项，令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项，由，结合换元法转化为求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】对于A项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A项正确； 对于B项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故B项正确； 对于C项，令，，则，（，）， 所以 ，当且仅当，，即，时取等号，故C项错误； 对于D项，， 令，由A项知，， 则，（）， 所以当时，取得最小值为，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故答案为：. 15．（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ． 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论. 【详解】由， ①当时，， 而，可得至少有一个不小于2, 则的最小值为2； ②当时， ， 而，可得至少有一个不小于2， 的最小值不小于2. 综上，的最小值为2. 故答案为：2 16．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元一次不等式 【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围. 【详解】因为， 所以，解得， 所以，， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以， 故答案为：. 17．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 四、解答题 18．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得. （2）由给定条件，可得及，再求出不等式的解集区间即可. 【详解】（1）依题意，设不等式的解集区间为， 则是方程的两个不等实根，且，， 即有，由，得， 解得，满足题意， 所以的值是． （2）由且，得， 由及，得，则， 不等式化为，即，解得， 所以其解集区间长度为，范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【考点1】基本不等式辨析 及其应用 【考点2】由一元二次不等式的解确定参数 【考点3】讨论含参一元二次不等式的解 【考点4】基本不等式的恒成立问题 【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法） 【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题 【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题 知识点 1 ：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 知识点2：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 题型归纳 【考点1】 基本不等式辨析 及其应用 1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（多选）（2025·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 4．（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 . 【考点2】由一元二次不等式的解确定参数 1．（多选）（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 4．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【考点3】讨论含参一元二次不等式的解 1．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 2．（2024·江西·模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题. 已知函数. (1)若命题：“________，”为真命题，求实数的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集. 3．（2024·上海静安·二模）设(常数)，且已知是方程的根． （1）求函数的值域； （2）设常数，解关于x的不等式： 【考点4】基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 3．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 4．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法） 1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 4．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题 1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 5．（23-24高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 . 【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题 1．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·上海普陀）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ． 过关检测 一、单选题 1．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知，，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有最小值4 D．若，则 6．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 8．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 10．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 13．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值3 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 14．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 15．（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ． 16．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 . 17．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 四、解答题 18．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$