专题01 集合与常见逻辑用语（集合常规运算+参数问题+新定义题）（10大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题01 集合与常见逻辑用语 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【考点1】 并、交、补集的简单运算 【考点2】根据元素与集合的关系求参数 【考点3】根据集合中元素个数求参数 【考点4】判断两个集合的包含关系 【考点5】根据集合的包含关系求参数 【考点6】根据集合的并、交、补集运算结果求参数 【考点7】集合新定义题 【考点8】充分性与必要性的判断 【考点9】根据充分性与必要性求参数 【考点10】根据命题的真假求参数 知识点 1：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点2：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点4：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点5：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点6：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点7： 充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点8 ：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型归纳 【考点1】 并、交、补集的简单运算 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅰ卷））已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点2】根据元素与集合的关系求参数 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（多选）（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 4．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【考点3】根据集合中元素个数求参数 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ． 【考点4】判断两个集合的包含关系 1．（2024·宁夏·模拟预测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点5】根据集合的包含关系求参数 1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点6】根据集合的并、交、补集运算结果求参数 1．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东韶关·一模）已知集合，写出满足条件的整数的一个值 . 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为 ． 【考点7】集合新定义题 1．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，，求：的最小值． 2．（2025·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 4．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 【考点8】充分性与必要性的判断 1．（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·浙江台州·一模）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【考点9】根据充分性与必要性求参数 1．（2024·湖北黄冈·一模）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 2．（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； 3．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在（1）条件下，若，求； (3)在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【考点10】根据命题的真假求参数 1．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 4．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 过关检测 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 4．（2024·福建·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东威海·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西榆林·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 8．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 二、多选题 12．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 15．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 16．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 17．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 18．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 19．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 20．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 四、解答题 21．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合. (1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 22．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 23．（2023·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 24．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常见逻辑用语 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【考点1】 并、交、补集的简单运算 【考点2】根据元素与集合的关系求参数 【考点3】根据集合中元素个数求参数 【考点4】判断两个集合的包含关系 【考点5】根据集合的包含关系求参数 【考点6】根据集合的并、交、补集运算结果求参数 【考点7】集合新定义题 【考点8】充分性与必要性的判断 【考点9】根据充分性与必要性求参数 【考点10】根据命题的真假求参数 知识点 1：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点2：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点4：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点5：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点6：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点7： 充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点8 ：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型归纳 【考点1】 并、交、补集的简单运算 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 4．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅰ卷））已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、由幂函数的单调性解不等式 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 【考点2】根据元素与集合的关系求参数 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、解不含参数的一元一次不等式 【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【详解】因为且，所以，解得. 故选：A． 2．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、补集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出的取值集合即得. 【详解】由，得，则，或， 由，得，显然选项ABC不满足，D满足. 故选：D 3．（多选）（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【答案】AC 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】分别计算出、、时的的值，判断此时是否满足，再计算即可得解. 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或256. 故选：AC. 4．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 【考点3】根据集合中元素个数求参数 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】因为，， 又，中有2个元素， 所以中的2个元素只能是，则，解得. 故选：A. 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可. 【详解】因为，，若中有2个元素， 所以，所以，解得， 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 【考点4】判断两个集合的包含关系 1．（2024·宁夏·模拟预测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的交集运算与集合的包含关系判断． 【详解】由题意，A错；，B错； ，D错，C正确． 故选：C． 2．（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据题意，将集合用整倍数形式表示，分别求出和，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可. 【详解】依题意，，，， 则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误； 因，即，故D错误； 对于B项，任取，因，则，故B错误． 故选：A． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】集合表示正奇数除以4，集合表示整数除以4，据此可以判断两个集合的关系. 【详解】表示是的含义是正奇数除以4， 表示的含义是整数除以4, 所以， 故选：C. 【考点5】根据集合的包含关系求参数 1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、组合数的计算 【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对的个数. 【详解】因为，， 当时，又，故， 当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有， 所以集合对共有. 故选：D. 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 3．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】，， ，故. 故选：A. 4．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】先化简集合及a的满足的条件，再根据列出不等式组求解即可. 【详解】由得， 由知，所以， 又，则， 所以，解得，故. 故选：D. 【考点6】根据集合的并、交、补集运算结果求参数 1．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，解得． 故选：B. 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据并集结果求集合或参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数单调性以及一元二次不等式解法求得集合，再由并集结果可得实数的最小值. 【详解】解不等式可得，即， 解不等式可得或； 当时可得，解得. 因此实数的最小值为3. 故选：B 3．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】先将因式分解，然后解不等式，利用两个根的关系分类讨论，求出的取值范围即可. 【详解】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A 4．（2024·广东韶关·一模）已知集合，写出满足条件的整数的一个值 . 【答案】中的任何一个值. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、公式法解绝对值不等式 【分析】根据集合的包含关系，结合绝对值不等式的求解，即可求得. 【详解】因为，所以，又因为， 故整数所有可能取值为. 故答案为：中的任何一个值. 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】由，可得，然后分集合和进行分类讨论. 【详解】由题意知，， 由，可得， 若，则，符合题意． 当时，，要使， 则，解得，因此, 综上，的取值范围为． 故答案为：. 【考点7】集合新定义题 1．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，，求：的最小值． 【答案】(1)是完美自相加集合，不是完美自相加集合； (2)2051 (3)675 【知识点】集合新定义 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可； （2）连续的的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数； （3）由第二问的结论，我们很容易得到然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【详解】（1）是完美自相加集合,不是完美自相加集合理由如下： 集合,由此可知集合自相加后， 新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合； 所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数， 故后面集合不管进行多少次相加都是与相同； 故不是完美自相加集合； （2）由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行一次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； （3）因为且，集合 所以 要使 则，又因为 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题为新概念题，只需理解概念，解决问题即可，不是特别理解的，可以多列举一些例子，可找到规律. 2．（2025·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】(1)是“完全集”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析； 【知识点】集合新定义 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可. （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； 【详解】（1）集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. （2）不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. （3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不一定是数域，证明见详解 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明； （2）根据题中数环和数域的定义分析证明； （3）举特例，取，举例数列即可. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 4．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) (3) 【知识点】数与式中的归纳推理、集合新定义 【分析】（1）根据题意，结合“变换”，逐次计算，得出规律，即可求解； （2）由变换得到或，分类讨论，求得的值，即可求解； （3）有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到有序数对也是形如的有序数对，得出有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12，进而得出变换的规律，即可求解. 【详解】（1）解：对于有序数对， 不断进行“变换”：，，， 得到的有序数对分别为，，，，， 以下重复出现，所以不能得到有序数对． （2）解：由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为2024，且，所以，， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，． （3）解：有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为，， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以的最小值为505． 【点睛】方法点睛：对于的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【考点8】充分性与必要性的判断 1．（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【分析】先化简命题p: ，：，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得，解得； 由，得， 当时，成立； 当时，，解得 ，综上， 所以成立是成立的充分不必要条件， 故选：A 2．（2024·浙江台州·一模）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确. 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 【考点9】根据充分性与必要性求参数 1．（2024·湖北黄冈·一模）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、分式不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据“”是“”的充分不必要条件，明确集合，的关系，列不等式求解实数的取值范围. 【详解】由.所以； 由.所以. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以且. 所以. 故答案为： 2．（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； 【答案】(1) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是. 3．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在（1）条件下，若，求； (3)在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）由对数函数的性质，得到，求得集合或，结合补集的运算，即可求解； （2）当时，求得，利用并集的运算，即可求解； （3）根据题意，转化为A是的真子集，分类讨论，即可求解； 【详解】（1）由函数，可得， 即，解得或，所以集合或， 则. （2）当时，可得集合， 由（1）知集合，所以. （3）若“”是“”的充分不必要条件，所以A是的真子集， 当时，即时，此时，满足A是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【考点10】根据命题的真假求参数 1．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 2．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含cosx的二次式的最值、根据全称命题的真假求参数 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 3．（2024·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 4．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、特称命题的否定及其真假判断 【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解. 【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题， 不妨设，其开口向上，对称轴方程为， 则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论： 情形一：当即时，在上单调递增， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有，只需， 解不等式组得， 故此时满足题意的实数的范围为； 情形三：当即时，在上单调递减， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 过关检测 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算、具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出集合，集合，再利用并集定义求出． 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：D． 4．（2024·福建·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求出，由函数特征求定义域，得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 得，故， 故. 故选：B 5．（2024·山东威海·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、具体函数的定义域、求指数型复合函数的值域 【分析】求出集合，，再用补集和交集的概念求解即可. 【详解】由，得，所以， 或， 由，得，所以， 所以. 故选：D. 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】解一元二次不等式求出B，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】集合，, 故， 故选；C 7．（2024·陕西榆林·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】解不等式，即可确定选项. 【详解】解法1：当时，由得，解得， 当时，由得，解得， 故由可得：或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 解法2：设，可得：， 对于，都有，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可. 【详解】对于A，，故是的充要条件； 对于B，由得，能推出，反之不成立， 所以是的充分不必要条件； 对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是， 所以是的既不充分也不必要条件； 对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件． 故选：B． 9．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 10．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】先解一元二次不等式，再根据集合间的关系求参． 【详解】，； 由可以推出，所以，. 故a的取值范围是． 故选：A. 11．（2025·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意逐一分析四个选项即可得到答案. 【详解】A的意思是不存在偶数不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价， B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价， C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数， 因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错. D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数． 故选：C． 二、多选题 12．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】集合新定义、求含sinx(型)函数的值域和最值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，为全体奇数构成的集合， 当为奇数时，也为奇数，故B正确； 对于C，，则， 但，故C错误； 对于D，，当时，，故D正确． 故选：ABD． 13．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、充要条件的证明、判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、集合新定义 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 三、填空题 15．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 16．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据条件，逐一讨论集合，求出符合条件的即可. 【详解】由题可得， 当时，，则，不满足条件； 当时，，要使，则， 当时，，要使，则， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 17．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 18．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 19．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可. 【详解】由，得， 所以，则或， 由，得， 又，所以， 解得. 故答案为：. 20．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 【答案】 22 【知识点】求等差数列前n项和、集合新定义 【分析】根据定义，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，表示有2个元素的集合，， 因为，且有2个元素， 所以或或，所以； 由题中定义可知：， 于是由 ， 而， 即，又因为， 所以m的最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前项和公式. 四、解答题 21．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合. (1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 所以且等号不同时成立，     解得，即的取值范围是； （2）因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 22．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）确定，根据得到，解得答案. （2）确定是的非空真子集，得到，解得答案. 【详解】（1）由不等式，解得，则， 或，，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）或，， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又由题意知，所以是的非空真子集，， 解得，所以实数的取值范围为. 23．（2023·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）化简集合，根据补集与交集的运算性质即可得答案； （2）根据题意可得 ，结合一元二次不等式的解集讨论集合的取值情况即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由题知：当时， ， 又 ， 或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则 ， ， ①当时，集合，满足题意； ②当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得； ③当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得. 综上，实数的取值范围为. 24．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、几何意义证明绝对值不等式 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. （2）由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$