专题03 不等式性质.基本不等式-2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版2019）

2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版） 专题03不等式性质.基本不等式 考点及要求 考点:不等式性质、基本不等式. 1.理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 2.掌握基本不等式. 3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ， ， . (2)作商法、 ， ， . 2.等式的性质 (1)对称性:若,则. (2)传递性:若,则. (3)可加性:若,则. (4)可乘性:若,则；若,则. 3.不等式的性质 性质1 （对称性）如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b. 性质2 （传递性）如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>ca>c. 如果c<b，b<a，那么c<a，即c<b，b≤ac<a. 性质3 （可加性）如果a>b，那么a+c>b+c. （推论：移项法则）如果a+b>c，那么a>c-b. 性质4 （可乘性）如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5 （同向可加性）如果a>b，c>d，那么a+c>b+d 性质6 （同向同正可乘性）如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 性质7 （可乘方性）如果a>b>0，那么（n∈N，n≥2） 性质8 （可开方性）如果a>b>0，那么（n∈N，n≥2） 4.基本不等式:. (1)基本不等式成立的条件:. (2)等号成立的条件:当且仅当b时取等号. (3)其中称为正数的算术平均数,称为正数的几何平均数. 5.两个重要的不等式 (1),当且仅当时取等号. (2),当且仅当时取等号. 6.利用基本不等式求最值 已知,则： (1)如果积是定值,那么当且仅当时,有最小值是(简记:积定和最小). (2)如果和是定值,那么当且仅当时,有最大值(简记:和定积最大). 微点提醒 1.在不等式的两边同乘以一个正数,不等号方向不变；同乘以一个负数,不等号方向改变. 2.有关分数的性质 (1)若,则. 3. (a,b同号),当且仅当时取等号. 4.. 强化训练 1．若，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 2．已知，则和的最小值分别是（ ） A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64 3．若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．以下结论正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．下列正确的是（ ） A．若a>b，则ac>bc B．若ac>bc，则a>b C．若a>b，c>d，则 D．若，则 6．已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ） A．4 B． C．9 D． 7．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D．如果，那么 8．如果a､b､，那么下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 9．设正实数、满足，则（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 10．下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．，，使得 D．若､，，则最小值为 11．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．下列函数中，属于奇函数并且值域为的有（ ） A． B． C． D． 13．已知实数､满足，，则的取值范围为___________. 14．若，则有最______（大或小）值，是______，此时______． 15．设，，，，求的取值范围是______． 16．已知，，则的最大值是______． 17．已知，，为正数，且满足，求的最小值． 18．已知，，试比较与的值的大小. 19．证明下列不等式： （1）； （2）； （3）若a，，则. 20．已知正数满足，求下列式子的最大值． （1） （2） 21．如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，．为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上． （1）设，，求的值，并分别求，的取值范围； （2）求广场面积的最大值，并指出此时点的位置． 22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为