专题09 角平分线+模型（4大经典基础题+3大模型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题09 角平分线+模型 角平分线的性质 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，    ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是4， 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，是的平分线，点P到的距离为3，点N是上的任意一点，则线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等，过点P作于D，于C，则，根据角平分线的性质得到，由此得到，熟记角平分线的性质是解题的关键 【详解】解：过点P作于D，于C，则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵点N是上的任意一点， ∴， 故选C 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：7． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，平分，，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可； 熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中正确的个数（  ） ①平分；   ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据四边形的内角和即可判断②正确；先根据三角形的外角性质可得，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可判断③正确；根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵、的角平分线、交于点，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，结论①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，结论②正确； ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，结论③正确； ∵，， ∴，， ∴，即，结论④正确； 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 角平分线的判定 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，是的角平分线，D是的中点，，，垂足分别是E、F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．根据是的角平分线，，，利用角平分线的性质可得，结合D是的中点，即可证明，由此可证． 【详解】证明：是的中点， ， 为的平分线， ， 在和中， ， ， . 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点． ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又∵ 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ， ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，分别平分，，．    (1)求的度数（结果用表示）． (2)求证：点G在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念和性质定理以及判定定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由三角形内角和定理得到．然后由角平分线的概念得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）过G作于H，于M，于N，连接，根据角平分线的性质定理得到，，推出，然后利用角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，分别平分，， ∴， ∴ ∴； （2）如图所示，过G作于H，于M，于N，连接    ∵，分别平分， ∴， ∴ ∵， ∴点G在的平分线上． 作角平分线（尺规作图） 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答本题的关键． 过点作于点，则，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【详解】解：过点作于点， ∵点到的距离为2， ∴， 由作图可知，为的平分线， 故答案为：2． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，为边上的高．    (1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）： (2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，作的角平分线即可； （2）根据三角形的内角和定理可得，，根据角平分线的性质可得，根据三角形的内角和定理即可求得． 【详解】（1）解：如图：点即为所求；    作法：作的角平分线，与的交点即为所求； 理由：∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∵， ∴点到的距离即为的值，故点到边的距离等于． （2）解：如图：    ∵，， ∴， 又∵为边上的高， ∴， ∴， 由（1）可知是的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，．    (1)请用尺规作图法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，是的反向延长线上一点，过点作交线段于点．若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点：以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点；结合角平分线的性质定理易知点可使得； （2）首先利用三角形内角和定理求得，再结合角平分线的定义求得的值，进而由“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和”可求得的值，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，点即为所求；    理由如下： 过点作于点，过点作于点，如下图，    由作图可知，为的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线的定义及其性质定理、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，正确理解角平分线的性质定理是解题关键． 角平分线与三角形周长、面积的关系 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，过作，根据角平分线的性质，利用 进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作， 则：， ∴ 即： ∵的周长是20， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 三角形两内角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点O在ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度． 【答案】119 【分析】利用角平分线性质定理的逆定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，则∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理可得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝58°代入计算即可． 【详解】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）， ＝90°+∠A ＝90°+×58° ＝119°． 故答案为：119． 【点睛】本题考查角平分线性质定理的综合应用，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题关键． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）120°；（2） 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可； （2）方法同（1） 【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°， ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°； （2） 证明：在四边形ABCD中， ∴ ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ∴ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角． 三角形两外角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 【答案】36° 【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果． 【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB：∠CNB=3：2， ∴∠CMB=108°， ∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°， ∴∠ACB+∠ABC=144°， ∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ． 【答案】15°/15度 【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E． 【详解】解：如图： ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=∠E=×30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）(1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数； (2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数； (3)上面(1)(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′ 有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′ 是否还具有这样的关系?这个结论你是怎样得到的? 【答案】(1)110° ; (2)70° ; (3)互补. 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB求出∠OBC+∠OCB的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数． （2）利用三角形的内角和以及外角和性质即可进行解答； （3）根据三角形内角和定理和角平分线定义，（3）由前两问提供的思路，进一步推理． 【详解】解：（1）∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°． ∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°； （2）因为∠A的外角等于180°-40°=140°， △A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′， 根据三角形的外角和等于360°， 所以∠1+∠2=×（360°-140°）=110°， ∠B′O′C′=180°-110°=70°； （3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补； 证明：当∠A=n°时，∠BOC=180°-[（180°-n°）÷2]=90°+， ∵∠A′=n°，∠B′O′C′=180°-[360°-（180°-n°）]÷2=90°-， ∴∠A+∠A′=90°++90°-=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补， 所以当∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°及三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 三角形一内一外角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ． 【答案】36 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 角平分线+模型 角平分线的性质 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．    2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，是的平分线，点P到的距离为3，点N是上的任意一点，则线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，平分，，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中正确的个数（  ） ①平分；   ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 角平分线的判定 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，是的角平分线，D是的中点，，，垂足分别是E、F，求证：． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，分别平分，，．    (1)求的度数（结果用表示）． (2)求证：点G在的平分线上． 作角平分线（尺规作图） 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，为边上的高．    (1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）： (2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，．    (1)请用尺规作图法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，是的反向延长线上一点，过点作交线段于点．若，，求的度数． 角平分线与三角形周长、面积的关系 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 三角形两内角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点O在ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 三角形两外角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）(1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数； (2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数； (3)上面(1)(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′ 有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′ 是否还具有这样的关系?这个结论你是怎样得到的? 三角形一内一外角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$