2025年九年级中数学考一轮复习相似三角形问题（实际问题与二次函数）专题提升训练

2025年九年级中数学考一轮复习 相似三角形问题（实际问题与二次函数） 专题提升训练 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求当M是中点时的P点坐标； (3)作，垂足为N，连接，． 请从下列两个问题中任选一个问题完成． 问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值． (4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由． 5．直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，经过点A的直线交抛物线于点，点与点的横坐标互为相反数，是抛物线上一动点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内的抛物线上，当时，求直线的表达式； (3)点在轴上，若，请直接写出点的坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A和点C的坐标分别为和 (1)求抛物线的函数表达式； (2)将线段CB绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，求线段AD的长； (3)点M是抛物线上位于第一象限图象上的一动点，连接AM交BC于点N，连接BM，当时，请直接写出点M的横坐标的值． 11．如图，已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)请你判断是什么三角形，并说明理由． (3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线经过，，三点，点为顶点，直线为对称轴，点在轴上． （1）求抛物线的解析式 （2）在直线上求一点，使点到直线的距离等于到轴的距离； （3）在对称轴左侧，抛物线上存在一点（不与重合）．使，求点的坐标． 13．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，为等腰直角三角形，且． (1)求抛物线的解析式； (2)将向上平移一个单位得到，点M、N为抛物线上的两个动点，O为坐标原点，且，连接点M、N，过点O作于点E，求点E到y轴距离的最大值； (3)如图，若点F的坐标为，直线l分别交线段，（不含端点）于G、H两点．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则是定值吗？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 15． 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)， 2．(1)，，； (2)点Q的坐标是或或． 3．(1) (2)3 (3)存在，或 (4)或 4．(1)； (2)点； (3)选①当时，的最大值为，理由见解析；②的面积最大值为6． (4)时，四边形是平行四边形；不可能为菱形， 5．(1) (2)或 (3)，或， 6．(1) (2) (3)或 7．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)存在，点E的坐标为， 8．(1) (2)或 (3)存在点，的坐标是，，， 9．(1) (2)①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或 10．(1) (2) (3) 11．(1)； (2)直角三角形， (3)存在，点P的坐标为（，）或（，）， 12．（1）；（2）P点坐标为或；（3）M点坐标为或 13．(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①当时，线段的长最大值为， (3)或 14．(1) (2) (3)是定值，， 15．(1)； (2)的坐标为或， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$