专题03 三角形的初步认识动点问题分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题03 三角形的初步认识动点问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 定值问题】 1 【题型2 动点问题求速度】 5 【题型3 存在性问题】 9 【题型4 探究角的数量关系】 13 【题型5 探究线段的数量关系】 16 【题型1 定值问题】 1．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别是边，上的动点，点从顶点沿方向作匀速运动，点从从顶点沿方向同时出发，且它们的运动速度相同，连接，． （1）求证：． （2）判断线段与的位置及数量关系，并说明理由． （3）在运动过程中，与的面积之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点F 是边 BC 上的一动点． （1）若 AE=CF，试证明 DE=DF； （2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DE⊥DF，试判断 DE 与 DF 是否一定相等？ 并加以说明． （3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请直接写出它的面积． 3． 如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4．如图，边，的垂直平分线交于点．    (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数； (3)求证：为定值． 5．综合与探究 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，并交于点． 【解决问题】 （1）爱动脑筋的小明发现可以利用全等三角形的知识得到的度数为定值．那么的度数是多少？ 【深入探究】 （2）小明继续进行了如下思考：在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ （请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程） 6．已知，如图1，线段，点为线段上一点，，，点从点开始，以的速度向点运动，点的运动过程中，始终为等腰直角三角形，，，若点运动的时间为秒．    (1)若时，点的运动路程为　　． (2)图2，过点作直线，取的中点，直线与直线相交于点，则的长是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请用的代数式表示． 7．（1）如图，已知在中，，于，于，所在直线交于点，求的度数； （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒（），在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的．    8．已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________； (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． (3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 9．如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O （1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC； （2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由． 10．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，且，D为x轴上的一个动点，，且，连接交y轴于点M．    (1)求A，B两点坐标； (2)若D点的坐标为，求E点的坐标； (3)当D点在x轴上运动时是否为定值，若是，请直接写出线段，，的数量关系，若不是，请说明理由． 【题型2 动点问题求速度】 11．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，______，当时，______． (2)如图1，当____时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 12．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 13．如图，已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设点运动的．时间为秒．    (1)用含的式子表示的长为______； (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，求证：． (3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 14．如图①，于于，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？与是否垂直？请分别说明理由 (2)如图②，将图①中的“于于”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． (1)若点P点Q的运动速度相等经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是多少时，能够使与全等？ 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为多少厘米秒时，能够使与全等． 17．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 18．如图，中，，点D是的中点．有一点E在上从点B向点C运动，速度为，同时有一点F在上从点C向点A运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点F的运动速度是多少时，和全等？ 19．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 20．如图，已知正方形的边长为20cm，点E在AB边上，． (1)如果点P在线段上以4cm/s的速度由B点向C点运动，点Q同时在线段上由C点向D点运动， ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？并说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，？ (2)如果点P，点Q不同时出发，点P从点B出发1秒时，点Q从点C出发，两点都沿正方形四边逆时针运动，点P的运动速度是点Q运动速度的1.2倍，点P运动96cm时与点Q相遇，求点Q的运动速度． 【题型3 存在性问题】 21．已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，， (1)如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由： (3)如图③，若只保持点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 22．如图（1），，，，；点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为何值时，； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 24．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒：    (1)______．（用 的代数式表示） (2)当 为何值时，? (3)当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 27．如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．已知，是等边三角形，边．点P在射线上，点Q是延长线上一点，且，连接交直线于点D．    (1)如图5，当点P为中点时，求的长． (2)如图6，过点P作，垂足为点E，当点P、Q分别在射线和延长线上移动时，线段、、中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 29．如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()．    (1)点、从移动开始到停止，所用时间为_____； (2)当与全等时， ①若点、的移动速度相同，求的值； ②若点、的移动速度不同，求的值； (3)如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以/的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 30．如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【题型4 探究角的数量关系】 31．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 32．如图，在四边形中，，为边上一点，且 ．    (1)求证：平分； (2)如图2，为上一动点（不与点 重合），．求证：； (3)在（2）的条件下，若，过点 作直线 ，作 ，交直线 于点 ，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 33．在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 34．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 35．如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 36．在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时， ①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 37．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 38．在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 39．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 40．锐角中，、分别为、边上的动点，连接、交于点．    (1)如图1当、运动到、，，求的度数； (2)如图2 当、运动到、分别平分、，求与的数量关系． 【题型5 探究线段的数量关系】 41．中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．    (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)如图2，当点在线段上不与，重合，请探究线段，，之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)． (3)如图3，当点在线段延长线上，请探究线段，，之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)． (4)当点在线段延长线上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 42．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作，且．      (1)如图1，过F点作交于D点，若，则的长为___________； (2)如图2，连接交于G点，若E点为中点，求证：； (3)如图3，E点在的延长线上，连接与直线交于G点．若，请直接写出和的数量关系． 43．如图，在中，，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，，连接． (1)如图1，当点D在线段BC上时，直接写出，与之间的数量关系； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，，直接写出的长度． 44．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 45．综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 46．如图中，，，D是线段上的一个动点，点F在线段上，运动中始终保持，过点B作交的延长线于点E．    (1)若点D与点C重合，如图1，试探究线段和的数量关系，直接写出这个结论． (2)若点D不与B、C重合，如图2，（1）中线段和的数量关系是否依然成立，请说明理由． (3)图2中，若，则的面积为________．（直接写答案） 47．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 48．如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 49．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 50．如图，OF是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB． (1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形的初步认识动点问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 定值问题】 1 【题型2 动点问题求速度】 19 【题型3 存在性问题】 35 【题型4 探究角的数量关系】 54 【题型5 探究线段的数量关系】 73 【题型1 定值问题】 1．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别是边，上的动点，点从顶点沿方向作匀速运动，点从从顶点沿方向同时出发，且它们的运动速度相同，连接，． （1）求证：． （2）判断线段与的位置及数量关系，并说明理由． （3）在运动过程中，与的面积之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE⊥DF，DE=DF，证明见解析；（3）△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值，这个定值为8． 【分析】（1）由题意根据全等三角形的判定运用SAS，求证即可； （2）根据全等三角形的性质结合中点和垂线定义，进行等量替换即可得出线段与的位置及数量关系； （3）由题意根据全等三角形的性质得出S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC， 进而分析即可得知与的面积之和. 【详解】解：（1）∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴AD是BC边上的高 又∵∠BAC=90°， ∴∠ABD=∠DAF=∠BAD=45°， ∴BD=AD 又由题意可知BE=AF， ∴△BDE≌△ADF(SAS). （2）∵DE⊥DF，DE=DF, 理由如下： ∵△BDE≌△ADF， ∴DE=DF，∠BDE=∠ADF ∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，∠BDE+∠ADE=90°， ∴∠ADE+∠ADF=90°，DE⊥DF. （3）在运动过程中，△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值 ∵AB=AC，D是BC边上的中点，∠BAC=90°， ∴AD=BD=BC=4 又∵△BDE≌△ADF S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC 又∵S△ADC=S△ABC=．BC．AD=8 ∵点E，F在运动过程中，△ADC的面积不变， ∴△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值，这个定值为8． 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. 2．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点F 是边 BC 上的一动点． （1）若 AE=CF，试证明 DE=DF； （2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DE⊥DF，试判断 DE 与 DF 是否一定相等？ 并加以说明． （3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请直接写出它的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析;(3）四边形 ECFD的面积是一定值1． 【分析】(1)根据已知条件，运用SAS判定△DAE≌△DCF,即可得出对应边DE= DF, (2)根据 ASA判定△DAE≌△DCF,即可得出DE=DF， (3)根据△DAE≌△DCF,可得S△ADE =S△DCF,进而得出S四边形ECFD =S△DCF +S△CDE =S△ADE +S△CDE=S△ACD,再根据S△ACD=S△ABC=1,即可解题． 【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点， ∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD， 在△DAE和△DCF中， ， ∴△DAE≌△DCF（SAS）， ∴DE=DF； （2）DE与DF一定相等． 证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点， ∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠EDF=90°， ∴∠ADE=∠CDF， 在△DAE和△DCF中， ， ∴△DAE≌△DCF（ASA）， ∴DE=DF； （3）四边形 ECFD的面积是一定值1． 由（2）可得，△DAE≌△DCF， ∴△ADE的面积=△DCF的面积， ∴四边形ECFD的面积=△DCF的面积+△CDE的面积=△ADE的面积+△CDE的面积=△ACD的面积， 又∵∠ACB=90°，AC=BC=2， ∴△ABC的面积=×2×2=2， 又∵D是AB的中点， ∴△ACD的面积=×△ABC的面积=1， 即四边形ECFD的面积=1． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，及其与面积的相关问题，熟悉全等三角形判定方法是解题关键． 3． 如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，且 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可； （2）延长与交于点，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，根据，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：设，，     ∵平分，平分， ∴， 由三角形外角的性质可得： ∴， ∴； （2）证明：延长与交于点，如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，且． 在上截取，则是的垂直平分线，如下图： ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形． 4．如图，边，的垂直平分线交于点．    (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数； (3)求证：为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由边，的垂直平分线交于点P，根据线段垂直平分线的性质，可得，即可证得点P在垂直平分线上； （2）由，可得，，可求出，进而可求出的度数； （3）由等腰三角形的性质得，由三线合一得，继而可得． 【详解】（1）边，的垂直平分线交于点， ，， ， 点在的垂直平分线上； （2）， 为三边垂直平分线的交点， ，， ， ； （3）， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 即为定值． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 5．综合与探究 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，并交于点． 【解决问题】 （1）爱动脑筋的小明发现可以利用全等三角形的知识得到的度数为定值．那么的度数是多少？ 【深入探究】 （2）小明继续进行了如下思考：在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ （请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程） 【答案】（1）；（2）①；②的度数仍为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明得到，然后利用三角形的外角性质求解即可； （2）①先证明，再证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； ②先根据全等三角形的对应角相等得到，再利用三角形的外角性质可求解． 【详解】解：（1）在和中， ， ， ； （2）①． 证明：， ． 在和中， ， ． ②的度数仍为定值． 证明：由①可知，， ． ， ， ． 6．已知，如图1，线段，点为线段上一点，，，点从点开始，以的速度向点运动，点的运动过程中，始终为等腰直角三角形，，，若点运动的时间为秒．    (1)若时，点的运动路程为　　． (2)图2，过点作直线，取的中点，直线与直线相交于点，则的长是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请用的代数式表示． 【答案】(1)4 (2)是定值， 【分析】（1）当点与点C重合时，作出等腰直角三角形，连接，求出时，由“”可证，可得； （2）过点F作，交的延长线于点G，延长交直线于点H，证明，利用全等三角形的性质可得，，再证，利用全等三角形的性质可得，求出，可得，则． 【详解】（1）：如图1，当点与点C重合时，作出等腰直角三角形，连接，    ∵， ∴， ∵，都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）定值，； 如图2，过点F作，交的延长线于点G，延长交直线于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 7．（1）如图，已知在中，，于，于，所在直线交于点，求的度数； （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒（），在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的．    【答案】（1）；（2）或12；（3）是定值， 【分析】（1）利用同角的余角相等可得，再根据进行计算即可求解； （2）由题意得，分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可得到答案； （3）由同角的余角相等可得，根据角平分线的性质和三角形内角和定理可得，，再进行转化即可得到答案． 【详解】解：（1）于，于， ， ， ， ； （2）由题意得： ， 当时，， 则， 解得：， 当时，， 则， 解得：， 综上所述，当或时，，两个角中，一个角是另一个角的两倍； （3）如图，是定值，   ， 理由：于，于， ， ， ， 平分，平分， ， ， ，， ， 是定值． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同角的余角相等，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，同角的余角相等，角平分线的性质，采用分类讨论的思想解决问题，是解此题的关键． 8．已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________； (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． (3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)四边形的面积S为定值9 【分析】（1）通过证明即可得出结论； （2）过点P作于点E，于点F，通过证明即可得出，再证明，即可得出结论； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）成立，理由如下： 过点P作于点E，于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴四边形的面积S为定值9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，正确画出辅助线，构造全等三角形求解． 9．如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O （1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC； （2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）2α；（2）是定值 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO=CO，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，根据周角定义即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠OBC=90°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）AB、AC边的中垂线交于点O， ∴AO=BO=CO， ∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC， ∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）， ∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）=360°﹣2（∠OAB+∠OAC）=360°﹣2∠A=360°﹣2α， ∴∠BOC=360°﹣（∠AOB+∠AOC）=2α； （2）∠ABO+∠ACB为定值， ∵BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB， ∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC， ∴∠OBC=（180°﹣2∠A）=90°﹣α， ∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A=180°， ∴∠ABO+∠ACB=180°﹣α﹣（90°﹣α）=90°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，周角的定义，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 10．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，且，D为x轴上的一个动点，，且，连接交y轴于点M．    (1)求A，B两点坐标； (2)若D点的坐标为，求E点的坐标； (3)当D点在x轴上运动时是否为定值，若是，请直接写出线段，，的数量关系，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是定值， 【分析】（1）根据非负性得出a，b的值，进而解答即可； （2）由“”可证，可得，，可求解； （3）是定值，先证明，再证明，可得M为的中点，可得结论． 【详解】（1）解：因为 所以， 则， 所以，； （2）解：过点E作轴于H．    ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下：    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则是定值， ∵， ∴． 所以 【题型2 动点问题求速度】 11．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，______，当时，______． (2)如图1，当____时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)；； (2)或 (3)Q运动的速度为或或或 【分析】（1）利用速度乘时间求出路程，即可得出的长度； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分四种情况：当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，运动路程为：，此时点P在上，则： ； （2）解：如图，当P在中点上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在中点上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； （3）解：设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ∴Q运动的速度为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 12．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答． （2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答． （3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为， ∴在时，则． 故答案为：； （2）解：如图： 当时，， ∵的面积等于面积一半 ∴此时’ ∴ 解得 （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时，，， ， 解得； ②当点在上，点在上，时，，， 点的路程为，点的路程为， ， 解得； 运动的速度为或， 故答案为：或． 13．如图，已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设点运动的．时间为秒．    (1)用含的式子表示的长为______； (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，求证：． (3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，用了分类讨论思想． （1）求出，即可求出答案； （2）求出、、，根据全等三角形的判定推出即可； （3）设当点Q的运动速度为x，时间是，能够使与全等，求出，，，，，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，点D为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解∶ 设当点Q的运动速度为x，时间是， ∵，，， ∴当，或，，与全等， 即①，， 解得：（不合题意，舍去）， ②，， 解得： ， 即当点Q的运动速度为 ． 14．如图①，于于，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？与是否垂直？请分别说明理由 (2)如图②，将图①中的“于于”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，与垂直，理由见解析 (2)存在或，使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，利用即可证明，由全等三角形的性质得出，由，得出，即可得解； （2）由题意得：，，，，再分两种情况：若，则，；若，则，；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：与全等，与垂直，理由如下： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即与垂直； （2）解：存在， 由题意得：，，，， 若，则，， ∴， 解得：； 若，则，， ∴， 解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 15．如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． (1)若点P点Q的运动速度相等经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)当点Q的运动速度a为时，能够使与全等 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题、全等三角形的判定及性质问题： （1）先根据运动时间得到边长的长度，根据得到三角形全等； （2）根据两个三角形全等，可得到两种情况，有一种情况不符合题意，即可得到结果． 【详解】（1）解：若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与全等，理由如下： 当点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，此时厘米，厘米， 此时厘米， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米， 在和中， ， ∴； （2）解：由题可得：，厘米， ∵与全等， ∴或， 当时，则，， 即，解得， 此时（不符合题意）； 当时，此时， 即，解得， 根据即，解得， ∴当点Q的运动速度a为时，能够使与全等． 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为多少厘米秒时，能够使与全等． 【答案】当点的运动速度为或厘米秒时，能够使与全等． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论，再依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度，掌握全等三角形的判定与性质及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， ∵点为的中点， ∴厘米， ∵， ∴当厘米，时，， 此时， 解得， ∴， 此时，点的运动速度为（厘米秒）； 当厘米，时，， 此时， 解得， ∴点的运动速度为（厘米秒）； 综上可知：当点的运动速度为或厘米秒时，能够使与全等． 17．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质，全等三角形的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）设点Q的运动速度为，分，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）解：设点Q的运动速度为， ∵与全等，， ∴，或，， 当P在上，点Q在上时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 当点P在上，点Q在时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 18．如图，中，，点D是的中点．有一点E在上从点B向点C运动，速度为，同时有一点F在上从点C向点A运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点F的运动速度是多少时，和全等？ 【答案】2厘米/秒或2.25厘米/秒 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．设点F运动的时间为，点F运动的速度为，分情况列方程求出即可． 【详解】解：设点F运动的时间为，点F运动的速度为，则， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴当时，可根据“”判断， 即， 解得； 当时，可根据“”判断， 即， 解得， 综上所述，当点F的运动速度是2厘米/秒或2.25厘米/秒时，和全等． 19．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动的时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 20．如图，已知正方形的边长为20cm，点E在AB边上，． (1)如果点P在线段上以4cm/s的速度由B点向C点运动，点Q同时在线段上由C点向D点运动， ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？并说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，？ (2)如果点P，点Q不同时出发，点P从点B出发1秒时，点Q从点C出发，两点都沿正方形四边逆时针运动，点P的运动速度是点Q运动速度的1.2倍，点P运动96cm时与点Q相遇，求点Q的运动速度． 【答案】(1)①不全等，见解析，② (2)4cm/s 【分析】（1）①由全等三角形的判定可得结论； ②由全等三角形的性质可得，可求t的值，即可求解； （2）设点Q的运动速度为x cm/s,则点P的运动速度为1.2x cm/s,由点P运动96cm时与点Q相遇，列出方程可求解． 【详解】（1）①与不全等，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴与不全等； ②∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为：； ∴当点Q的运动速度为时，； （2）设点Q的运动速度为xcm/s，则点P的运动速度为1.2xcm/s， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：点Q的运动速度为4cm/s． 【题型3 存在性问题】 21．已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，， (1)如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由： (3)如图③，若只保持点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由平角的定义和三角形内角和定理得，再由证明，得，即可解决问题； （2）同（1）得，得，即可得出结论； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在，理由如下： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∴． 综上所述，存在x，使得与全等，或． 22．如图（1），，，，；点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1 ）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2 ）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴ ， 解得 ； 综上所述，存在或使得与全等； 23．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为何值时，； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，； (3)或时，与全等． 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，利用方程的思想解题是关键： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论：①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，，分别列方程求解即可； （3）分两种情形求解：①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，，如图， ∵， ∴， 解得， ②当点Q在射线上时，，如图， ∵， ∴， 解得， 综上可知，当或时，； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 24．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 25．如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒：    (1)______．（用 的代数式表示） (2)当 为何值时，? (3)当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当秒或秒时和全等 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出即可； （3）分情况根据三角形全等得出的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， ， 在和中， ， ； ∴， （3）解：①当，时，， ， ， ， 即， 解得； ②当，时，， ， ， ， 解得， ， 即， 解得； 综上所述，当秒或秒时和全等． 26．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 27．如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题： （1）根据题意可得； （2）当时，，可得或，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴当时，， ∴或， ∴或， ∴或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 28．已知，是等边三角形，边．点P在射线上，点Q是延长线上一点，且，连接交直线于点D．    (1)如图5，当点P为中点时，求的长． (2)如图6，过点P作，垂足为点E，当点P、Q分别在射线和延长线上移动时，线段、、中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长度保持不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质， （1）过点作交于，由题意可证是等边三角形，，即可求的长； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，． 【详解】（1）如图，过点作交于，    点和点同时出发，且速度相同， ， ， ，， 又， ， ， ， ，又， ，且是等边三角形 ， 是的中点，即， ； （2）分两种情况讨论，得为定值，是不变的线段 如图，如果点在线段上，    过点作交于， 由（1）证得，且是等边三角形 ， 为定值； 同理，如图，若在的延长线上，    作的延长线于， ， 又， ， ， ，且 ，是等边三角形 ，且 ， ， 综上所述，线段的长度保持不变． 29．如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()．    (1)点、从移动开始到停止，所用时间为_____； (2)当与全等时， ①若点、的移动速度相同，求的值； ②若点、的移动速度不同，求的值； (3)如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以/的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当，时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点的运动时间(秒， 故答案为：； （2）解：①点、的移动速度相同，点的速度是． ， ∴ ， ， 当时，与全等， 则有，解得． ②点、的移动速度不同， ， 当，时，两个三角形全等， ∴ 运动时间， ，满足题意． （3）解：若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时． 若点、的移动速度相同，则，， 又∵， 或， 解得(舍弃)或， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 30．如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)32 (2)128 (3)3或45 (4)存在，或38时，使得与全等 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）直接由，求得答案； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分两种情况，当点P在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可 【详解】（1）∵， ∴； 故答案为：32； （2）∵点P在边上运动， ∴； 故答案为：128； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得，， 即； 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当时，或45； （4）当点P在边或边上运动时，存在一点P，使得与全等． 如图4，当点P在上时，    假设，则有， ∴，即． 如图5，当点P在上时，，    ∴， ∴， 综上所述，或38时，使得与全等． 【题型4 探究角的数量关系】 31．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解 ，， ， 平分， ， ， ； （2）解： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 32．如图，在四边形中，，为边上一点，且 ．    (1)求证：平分； (2)如图2，为上一动点（不与点 重合），．求证：； (3)在（2）的条件下，若，过点 作直线 ，作 ，交直线 于点 ，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或，理由见解析： 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定， 三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）由平行线的性质得到， 则可证明，即可证明平分； （2）如图所示，过点E作交于H，则，进而证明，进一步证明，推出，即可证明； （3）如图所示，设直线l与直线 交于H，先由平行线的性质得到，设，则，有三角形内角和定理得到，则，由角平分线的定义得到，则可得，进而求出，，据此可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；    （2）证明：如图所示，过点E作交于H， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴；    （3）解：或，理由如下： 如图所示，设直线l与直线 交于H， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，； 综上所述，或．      33．在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角的性质等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）连接，证明即可得到答案； （2）利用三角形外角的性质求解即可； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：设与交于F， ∵，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴ ， ∴； （4）解：． 如图， ∵，，， ∴． 34．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质． （1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可； （2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可； （3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：若与点C重合，如图， ，， ∴， ∴； （3）解：或．理由如下， 连接， 当点在内部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 当点在外部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 综上，或． 35．如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①，； ②证明见解析 (2)图形见解析， 【分析】（1）①根据角平分线的定义求得的度数，再根据平行线的性质定理可求得和的度数．根据角平分线的定义得到的度数，最近利用三角形外角和定理即可得到的度数． ②根据①中推到可知：，，利用三角形外角和定理得到，再根据三角形内角和性质定理推导即可． （2）根据题意画出图形，根据角平分线的定义与平行线的性质定理可得， ，利用三角形外角和定理可得，再代入根据三角形内角和推导即可． 【详解】（1）① 平分，，， ． ， ． ． 平分， ． ． ②证明： 平分， ． ， ． ． 平分， ． ． （2）点在线段的延长线上时，画图如下： 解：， 如图，点在线段的延长线上． 平分， ． ， ，， ． 平分， ． ． 【点睛】本题通过三角形内角和定理、角平分线的性质以及平行线的性质定理，巧妙的构建角之间的关系．关键在于对定理的灵活运用以及逻辑推理的严密性． 36．在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时， ①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①140；②，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质． （1）①利用四边形内角和定理及平角的定义即可得求解；②利用①中结论即可求解． （2）利用三角形的外角的性质求解即可． （3）利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，， ． 故答案为：140． ②，理由如下： 由①可知，， ， ． （2）解：，理由如下： ，， ． （3）解：，理由如下： 设与相交于点，如图， ，， ． 37．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①20°；50°；②见解析 (2) 【分析】 本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）①根据平行线的性质与角平分线的定义求解，即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到即可解答； （2）先证明，，，．由角平分线的定义可得，结合三角形的外角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：①， ∴在中，， ∵， ，， 平分，平分， ，， ，； ②∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； （2），理由如下：如图，点E在线段的延长线上．    ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 38．在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，图形及理由见详解 【分析】（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； 【详解】（1）解：如图1，、， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由是：如图2，过作于，   ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 证明：如图3，过作于，   ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 39．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，． 40．锐角中，、分别为、边上的动点，连接、交于点．    (1)如图1当、运动到、，，求的度数； (2)如图2 当、运动到、分别平分、，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直定义及三角形的内角和定理解答即可； （2）由、分别平分、，得 ，在中由三角形的内角和解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∵， ∴ ∴； （2）解：∵、分别平分、， ∴ ， ∴ ． 【题型5 探究线段的数量关系】 41．中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．    (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)如图2，当点在线段上不与，重合，请探究线段，，之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)． (3)如图3，当点在线段延长线上，请探究线段，，之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)． (4)当点在线段延长线上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) ；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)画图见解析，；理由见解析 (4) 【分析】（1）证明，得出，根据为的中点，，即可得出结论； （2）证明，得出，即可得出结论； （3）根据题意，画出图形，由可知：，又，，则 （4）由可知：，得出，即可得出． 【详解】（1） ； 理由如下：， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 为的中点，， ； （2）结论：； 理由如下：， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）图形如图所示：    结论：； 理由如下：由可知： ， ， 又， ， ， ； （4）结论：；    理由如下：由可知：， ， ； 即：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 42．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作，且．      (1)如图1，过F点作交于D点，若，则的长为___________； (2)如图2，连接交于G点，若E点为中点，求证：； (3)如图3，E点在的延长线上，连接与直线交于G点．若，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过“”证明即可得到； （2）如图，过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，即可解题； （3）过F作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）证明：如图，过F点作交于D点， ∵， ∴，， ∵E点为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：过F作的延长线交于点D，如图3所示，\    ∵，，， ∴， 由（1）（2）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，本题中求证、是解题的关键． 43．如图，在中，，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，，连接． (1)如图1，当点D在线段BC上时，直接写出，与之间的数量关系； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据条件，即可证得，再根据全等三角形的性质及线段之间的关系，即可得到结论； （2）根据条件，即可证得，再根据全等三角形的性质及线段之间的关系，，即可得到结论； （3）根据条件，即可证得，再根据全等三角形的性质及线段之间的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，， ， 在与中， ， ， ， ， 即； （2）解：， 理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）同理可证得：， ， ，， ， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 44．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ， ，      在和中， ， ，    ，， ，， ， ， 是的中点 ，         在和中， ， ，    ， ， （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ，     在和中， ， ，      ， ． 45．综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 46．如图中，，，D是线段上的一个动点，点F在线段上，运动中始终保持，过点B作交的延长线于点E．    (1)若点D与点C重合，如图1，试探究线段和的数量关系，直接写出这个结论． (2)若点D不与B、C重合，如图2，（1）中线段和的数量关系是否依然成立，请说明理由． (3)图2中，若，则的面积为________．（直接写答案） 【答案】(1) (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即可． （2）过点D作，与交于H，与的延长线交于G，根据，，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；最后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，所以，据此判断即可； （3）根据（2）的结论可得，再根据即可作答． 【详解】（1）如图1，延长与交于点G，   ， ， ， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）结论：， 理由如下：如图2，过点D作，与交于H，与的延长线交于G，   ，， ，， ， ， 又， ， 同理（1）可得，， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 47．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）可证明≌，从而得出结果； （2）可证明≌从而得出，进而得出结论； （3）证明≌，从而得出，从而得出． 【详解】（1）∵，， ∴≌， ∴， 故答案为：＝； （2），理由如下： ∵，， ∴≌， ∴. ∵， ∴； （3），理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴≌， ∴， ∴． 49．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）①先判断出，进而用判断出，即可得出结论；②利用全等三角形的性质可得，等量代换即可求解． 同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ； 由知，， ， ； （2）， ， ， 在和中， ， ∴ ， 50．如图，OF是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB． (1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知，则，根据OF平分，则，即，根据，可知，则可知； （2）如图，连接，根据垂直平分，可知，结合条件可证，则，根据平分，，可知，则，进而可知，由此可证（），则． 【详解】（1）解： 理由如下： 连接BQ ∵BC垂直平分OQ ∴ ∴ ∵OF平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）存在， 理由：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴（） ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴， 在△AOB和△PQB中， ∴（）， ∴． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$