专题02 含辅助线的全等三角形证明（5种类型45道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题02 含辅助线的全等三角形证明 （5种类型45道） 目录 【题型1 倍长中线】 1 【题型2 角平分线模型】 4 【题型3 截长补短】 7 【题型4 半角模型】 11 【题型5 作垂直】 17 【题型1 倍长中线】 1．如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 2．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 3．（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 4．已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 5．如图，在中，平分，E为的中点，，求证：．    6．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 7．如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 8．综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 9．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点E，使． （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是___________； 【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是__________（用m，n的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 10．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【题型2 角平分线模型】 11．如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 12．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 13．如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 14．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 15．如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 16．如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 17．追本溯源题 来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）（3）． （1）如图1，，，，与交于点．求证：． 方法应用 （2）如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 18．如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 19．已知，，，连接和． (1)如图1，①求证：； ②当时，的延长线交于点F，写出与的数量关系并证明； (2)如图2，与的延长线交于点P，连接，直接写出的度数（用含的式子表示） 20．如图，在中，，，在中，，，，相交于点F， (1)求证：； (2)求的度数． 【题型3 截长补短】 21．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．      22．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 23．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 25．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明．     26．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 27．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．   28．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 29．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 30．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【题型4 半角模型】 31．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 32．如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 33．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 34．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．      35．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 36．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 37．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 38．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 39．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 40．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 【题型5 作垂直】 41．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 42．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 43．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 44．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 45．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G． (1)求∠ABC+∠ADC的度数； (2)求证：FO＝OG； (3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 含辅助线的全等三角形证明 （5种类型45道） 目录 【题型1 倍长中线】 1 【题型2 角平分线模型】 19 【题型3 截长补短】 35 【题型4 半角模型】 55 【题型5 作垂直】 84 【题型1 倍长中线】 1．如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质； （1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围； （2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）延长至，使 ，连接． 则 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：， （2）∵ ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 2．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明： 是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， . ， ， ． 3．（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，对顶角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 4．已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 5．如图，在中，平分，E为的中点，，求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，线段中点的定义，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证出，根据全等三角形的性质得出，证得，由三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：延长到，使，连接，   点是的中点， ， 在与中， ， ∴， ， ，， ， 平分， ， 在与中， ， ∴， ， ， ，， ． 6．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了构造三角形全等．延长至使，连接、，延长交于，证明，则，，再证明，则，，据此即可证明为等腰直角三角形． 【详解】证明：延长至使，连接、，延长交于， ，，且， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形． 8．综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴， 即， ∴， ∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， 在和中， 得， ∴， ∴， ∴； 9．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点E，使． （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是___________； 【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是__________（用m，n的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）[小结] [问题解决]8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）运用证明，即可作答． （2）由（1）得出，再结合三角形的三边关系列式，进行化简，即可作答． [小结]与（2）同理，结合三角形的三边关系列式，进行化简得出。即可作答． [问题解决] 延长交于点F，得证结合得出是的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：（1）如图： 延长   到点E，使    ． 因为D是 的中点 所以 在和中， ， （2）由可得：，， ， 即， ； [感悟]同理可得：上面题中“，”改为，，且”， 则的取值范围是； 故答案为： ； [问题解决] 如图3，延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是的垂直平分线， ∴ 10．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【题型2 角平分线模型】 11．如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 12．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 13．如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 14．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 15．如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 16．如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．追本溯源题 来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）（3）． （1）如图1，，，，与交于点．求证：． 方法应用 （2）如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，易得，设与的交点为，由三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （3）分别过点作，，由全等三角形的性质可得，利用面积法证明，进而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2），证明如下， 由（1）知， ∴， 设与的交点为，如下图， ∵， ∴， ∴； （3）解：分别过点作，，如下图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定． 因为，是的角平分线，过点作，，的垂线段，分别交于点、、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； 首先过点作的垂线段，交的延长线于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证、，等量代换可证． 【详解】（1）证明：如图所示， 过点作，，的垂线段，分别交于点、、， ，是的角平分线， ，， ， 点在的角平分线上； （2）证明：如图所示， 过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 即． 19．已知，，，连接和． (1)如图1，①求证：； ②当时，的延长线交于点F，写出与的数量关系并证明； (2)如图2，与的延长线交于点P，连接，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1)①详见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，三角形内角和定理的应用； （1）①先证明，结合已知条件即可证明，根据全等三角形的性质即可得证； ②过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点A作，延长线，根据全等三角形的性质得出，，，根据三角形内角和定理可得，进而根据等面法可得，则以为的角分线，设，根据平角的定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）①证明： 在与中 ② 如图过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 又∵, ∴, ∴. （2） 如图所示，过点A作，延长线 ∵ ∴，， ∴ 所以为的角分线 设 ∴ ∴ 20．如图，在中，，，在中，，，，相交于点F， (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判断等知识，解题的关键是： （1）根据可证明，得出，然后利用三角形内角和定理可得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据等面积法得出，根据角平分线的判定得出平分，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过A作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴平分， ∴． 【题型3 截长补短】 21．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及全等二角形的性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是解决本题关键所在． 在上取点，使，连接，由角平分线的性质可以得出，，从而可以得出，可以得出，进而可以得出，就可以得出，即可得出结论． 【详解】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 23．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 24．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【详解】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 26．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)一定成立 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， 在中，， ， 同理可得，， ； （2）解：一定成立， 理由如下：如图，延长至，使，连接， ， 由（1）可知：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：一定成立； （3）解：如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 27．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 28．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论； （2）利用证明即可证明结论； （3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴平分，平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，   ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键． 29．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 30．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型4 半角模型】 31．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 32．如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 33．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 34．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； ()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 【详解】解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 35．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 36．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键． 37．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析． 【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等， （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF 【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG， 在与中， ； （2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下， 证明：如图，延长CB到M，使BM=DF， 在与中 即 在与中 即 ； （3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下， 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， 在与中 ． 【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 38．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 39．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由详见解析；（3）14． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题； （3）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解． 【详解】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°， ∴∠EAF＝∠FAG＝50°， 在△EAF和△GAF中， ∵， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF+DG， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵2∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD； （3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF＝90°， 又∵AH＝CF，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF， ∴∠EBH＝∠EBF， 又∵BH＝BF，BE＝BE， ∴△EBH≌△EBF（SAS）， ∴EF＝EH， ∴EF＝EH＝AE+CF， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 40．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1）AE+CF=EF，证明见解析；（2），理由见解析. 【分析】（1）由题干中截长补短的提示，再结合第（1）问的证明结论，在第二问可以用截长补短的方法来构造全等，从而达到证明结果． （2）同理作辅助线，同理进行证明即可，直接写出猜想，并证明． 【详解】（1）图2猜想：AE+CF=EF， 证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D， ∵∠DAB=∠BCD=90°， ∴∠DAB=∠DCA'=90°， 又∵AD=CD，AE=A'C， ∴△DAE≌△DCA'（SAS）， ∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC， ∵∠ADC=120°， ∴∠EDA'=120°， ∵∠EDF=60°， ∴∠EDF=∠A'DF=60°， 又DF=DF， ∴△EDF≌△A'DF（SAS）， 则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE； （2）如图3，AE+CF=EF， 证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D， ∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180° ∴∠DAB=∠DCA'， 又∵AD=CD，AE=A'C， ∴△DAE≌△DCA'（SAS）， ∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC， ∵∠ADC=2α， ∴∠EDA'=2α， ∵∠EDF=α， ∴∠EDF=∠A'DF=α 又DF=DF， ∴△EDF≌△A'DF（SAS）， 则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE． 【点睛】本题是常规的角含半角的模型，解决这类问题的通法：旋转（截长补短）构造全等即可，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 【题型5 作垂直】 41．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 42．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)存在，． 【分析】（1）作交于点F，用全等判定方法证明，得到，即可得出的度数； （2）作交于点G，作于点H，先用全等判定方法证明，得，再由，得，再判定等腰直角得，最后等量代换即可推导出； （3）过点C作交于G，先说明是钝角三角形，则当是等腰三角形时，只存在一种情况：，结合（1）中的结论，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，作交于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，作交于点G，作于点H，则， ， 为中点， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）在点E运动过程中，存在是等腰三角形， ， ， 是钝角三角形， 当是等腰三角形时，只存在一种情况：， 如图3，过点C作交于G， 由（1）得，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 43．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 44．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 45．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G． (1)求∠ABC+∠ADC的度数； (2)求证：FO＝OG； (3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB 【答案】(1)180° (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在四边形ABCD中，内角和为360°，因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°； （2）由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，根据BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，得到∠ABF+∠ADE＝90°，由∠ABF+∠AFB＝90°，得∠ADE＝∠AFB，求出BF∥ED，所以∠BFG＝∠FGD，得证≌，由此得出结论； （3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，易证，所以BK＝CD，可证，所以，由，可证，所以； 证法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，可得，所以，再由得，所以，易证，则，所以． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°， ∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°． （2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°， ∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线 ∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE， ∴2∠ABF+2∠ADE＝180°， ∴∠ABF+∠ADE＝90°， 又∵∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠ADE＝∠AFB， ∴BF∥ED， ∴∠BFG＝∠FGD． 在和中 ， ∴， ∴； （3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN， ∴四边形BCDK是矩形， ∵BC=CD， ∴四边形BCDK是正方形， ∴， ∴BK＝CD， ∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∠BDK＝45°， ∴∠ADN＝22.5°=∠BDA， 在△BAD和△NAD中 ∴（ASA） ∴， ∵， 在△BKN和△MCD中 ∴（ASA） ∴； 解法二： 延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L． ∵BC=CD，∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝∠BDC＝45°， ∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°， ∴∠BDM＝22.5°， 在△BAD和△BND中 ， （ASA）， ， 在△LND和△BND中 ， （ASA）， ， ， ∴， 在△LCB和△MCD中 ， （ASA）， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$