河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三上学期12月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题 1．已知复数，则的虚部为 A．1 B．1 C．2 D．2 2．命题，使得 ，则命题 的否定为 A． ，使 B． ，使 C． ，使 D． ，使 3．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为 A． B． C． D． 4．在某次数学月考中，有三个多选小题，每个小题的正确答案要么是两个选项，要么是三个选项，且每个小题都是6分，在每个小题给出的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案是三个选项的，则每个选项2分；正确答案是两个选项的，则每个选项为3分，有错选的得0分）．已知这次考试中，第一个小题的正确答案是两个选项；小明同学在这三个多选小题中，第一个小题仅能确定一个选项是正确的，由于是多选题他随机又选了一个选项；而第二个小题他随机地选了两个选项，第三个小题他随机地选了一个选项，则小明同学这三个多选小题所有可能的总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 5．函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是 1 学科网（北京）股份有限公司 A．7 B． C． D． 7．已知三棱锥的三个侧面的面积分别为5，5，6，底面积为8，且每个侧面与底面形成的二面角大小相等，则三棱锥的体积为 A．4 B． C．6 D． 8．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 A． B． C． D． 二、多选题:每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多页符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数，则 A．的最大值为1 B．是曲线的对称中心 C．在上单调递减 D．的最小正周期为 10．设，函数，则下列说法正确的是 A．存在，使得 B．函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C．函数图象上的点与原点距离的最小值为 D．函数的极小值点为 11．在正三棱台中，为线段上一动点，，则 A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．当平面时，为的中点 D．的最小值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．设等比数列的前项和为，若，则 . 13．已知，，则 . 14.一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 四、解答题 15．如图，和所在平面垂直，且，求： （1） （2）求二面角的夹角的正弦值. 16．设的内角，，所对的边分别为，且. （1）求 （2）若，求的周长; （3）如图，点是外一点，设，且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围. 17．已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求函数的极值； （2）若，，求实数的取值范围. 18．某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行. （1）求乙同学第2局赢的概率； （2）记甲同学第i局赢的概率为； （ⅰ）求 （ⅱ）若存在i，使成立，求整数k的最小值． 19．在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…若，，求数列的通项公式. $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三上期12月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C D B B A ABD BD 题号 11 答案 BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13. 14． 15．（1）， ∴≌，， 取中点，连接， 为等腰三角形，， 又，平面， 平面，又平面，； （2）法一：射影面积法， 过点作⊥，交的延长线于点，连接， 因为和所在平面垂直，且交线为，平面， 所以⊥平面， 由（1）知，≌， ， 故≌，故， 故⊥，同理可得平面，两两垂直， 不妨设，∵， ，， 设平面与平面所成角为， 由勾股定理得， ， 在中， ， ， 故二面角的夹角正弦值为； 法二：过点作⊥，交的延长线于点，连接， 因为和所在平面垂直，且交线为，平面， 所以⊥平面， 由（1）知，≌， ， 故≌，故， 故⊥，同理可得平面，两两垂直， 以为原点，方向分别为轴，如图建系， 不妨设，∵， ，， 平面的法向量， 又， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故， 设平面与平面所成角为， ， 故， 故二面角的夹角正弦值为； 16．（1）由正弦定理可知，， 所以， 所以，即. 由余弦定理，所以. （2）因为，所以等号两边同时平方可得，. 又由（1）知，所以，即，所以， 所以的周长为. （3）由正弦定理可得，，即， ，即. 因为四边形的内角和为，且，所以， 所以.     ，记， 令， 则. 因为在中，所以，所以， 所以当时，单调递增. 当，即时，；当，即时，， 则，所以. 17．（1）因为，所以， 依题意，即， 所以，定义域为，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）因为，恒成立， 因为当时，，所以， 所以对恒成立， 令，则当时，恒成立， 因为， 设， 当，即时，所以， 即在上单调递减，所以，符合题意； 当，即，，， 所以，由零点存在性定理可知存在使得， 又二次函数开口向下，对称轴为， 则当时，即， 所以在上单调递增，即存在，使得， 这与当时，恒成立矛盾，故舍去； 综上可得． 18．（1）由题意甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为； （2）（ⅰ）由已知时，， 所以，又，所以数列是等比数列，公比为， 所以，所以； （ⅱ）即， 令，则，易知是减函数，， 所以时，，递减， 显然，因此要求的最大值，即求的最小值， 又，为奇数时，，为偶数时，， 且在为偶数时，是单调递增的， 所以是中的最小值，， 所以， 又在上是减函数，所以， 而，（∵）， 所以， 所以满足的整数的最小值为． 【点睛】方法点睛：重复进行的概率问题，一般都要通过独立事件的概率公式、互斥事件概率公式等确定概率的递推关系，然后构造新的等比数列，从而利用等比数列通项公式求得出表达式． 19．（1）由条件得，整理得，所以的方程为； （2）因为，关于原点“伸缩变换”， 对作变换，得， 联立，解得点的坐标为， 联立，解得点的坐标为， 所以，所以或， 所以或； 因此椭圆的方程为或； （3）对作变换， 得抛物线，得， 又因为，所以，即， 当时，， 得，适用上式， 所以数列的通项公式. 【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，学会将已经学习过的知识方法迁移到新的问题中. $$