2024年浙江宁波效实中学强基招生九年级数学试卷

2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷 一、填空题（每空4分） 1. 已知是关于方程的根．当时，_____，=_____． 2. 已知实数，，满足，则的最小值为_____，此时_____． 3. 对实数，，定义运算“”为：．已知关于方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是_____：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是_____． 4. 如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则_____． 5. 记．若，则_________． 6. 若一条直线过的内心，且平分的周长，则该直线分所成的两个图形的面积之比为_____． 7. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有_____人． 8. 如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有_____个． 9. 用表示自然数的数字和，例如：．若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值是_____． 10. 把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是_____． 11. 若实数，满足，则的取值范围为_____． 12. 已知，若关于的方程与都有解，且两个方程的解完全相同，则实数的取值范围是_____． 二、解答题（每题15分） 13. 已知函数在时有最大值1． （1）求实数，值； （2）设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值． 14. 如图，在中，是边上高，为上一点，连结并延长交于，连结并延长交于．求证：． 15. 设，已知关于的方程． （1）若方程有实根，求证：，，不能成为一个三角形的三条边长； （2）若方程有实根，求证：； （3）当方程两个实根分别为6，9时，求正整数，，的值． 16. 如果有理数可以表示成（其中、是任意有理数）的形式，我们就称为“世博数”． （1）两个“世博数”、之积也是“世博数”吗？为什么？ （2）证明：两个“世博数”、之商也是“世博数”． 2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷 一、填空题（每空4分） 【1题答案】 【答案】 ①. 或 ②. 【2题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【3题答案】 【答案】 ①. ②. 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】4 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】100 【8题答案】 【答案】9 【9题答案】 【答案】97 【10题答案】 【答案】红桃 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、解答题（每题15分） 【13题答案】 【答案】（1） （2） 【14题答案】 【答案】证明见解析 【15题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【16题答案】 【答案】（1）是“世博数”，见解析 （2）见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $