精品解析： 广东省/惠州市仲恺区四校2024-2025学年上学期12月 联考九年级数学试卷

2024-2025学年第一学期第二次阶段考四校联考 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 注意事项： 1.本试卷共1张，共4页． 2.将答案填写在答题卡上，在本试卷作答无效． 3.若试卷印刷不清晰或者单面，及时更换试卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， B．是轴对称图形但不是中心对称图形， C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， D．既是轴对称图形也是中心对称图形． 故选D． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，是解题的关键． 2. 如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题根据事件的三种可能性即可确定答案 【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B，C，D；恰好从C口走出的可能性占总的 ，故概率为； 故答案选：B； 【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：C． 4. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式，其中对称轴为：．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：由二次函数可知， 其图象的对称轴是直线：． 故选：C． 5. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 6. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：的长， 故选：． 7. 若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的两个关系式即可解题． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根为， ∴， 故选：B． 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两实数根是 故选B． 10. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，过点作轴于，由旋转性质可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，最后根据解直角三角形可得到点的坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】过点作轴于， ∵点的坐标为， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合， ∴，，，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是解题的关键． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是____________ ．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，图象开口方向向上，离对称轴越远函数值越大， ， ， 故答案为：． 13. 若是方程的一个根，求的值_________ ． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解得的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面半径r为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由弧长为，求得圆锥底面的周长，进而求得底面半径． 【详解】解：母线长l为，扇形的圆心角为， 圆锥底面的周长为， ， 故答案为：1． 15. 如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了菱形及圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，切线的性质及角的直角三角形的性质，连接，根据菱形及圆的基本性质证得是等边三角形，再利用等边三角形及切线的性质求得，从而利用角的直角三角形的性质求出,再由勾股定理求出的长． 【详解】解：连接， 则，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴， 又∵是切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 利用因式分解把方程的左边化为两个一次因式的积的形式，得到两个一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解： 或 ∴， 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕原点O逆时针旋转后的． 【答案】（1） 如图，为所求，． （2） 如图，为所求： 【解析】 【分析】此题主要考查了网格作图．熟练掌握关于原点中心对称变换性质，旋转变换性质，是解题关键． （1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形： （1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论； （2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴， ∵ ∴， 又∵在中， ， ∴． 20. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，面积相等． （1）通过证明，即可求证； （2）先求出，在根据勾股定理求出，由全等的性质得出，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，为250元， 答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元． 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为 （3）存在，M点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，过点P作轴交BC于G，设，则，表示的面积，运用二次函数的性质求出最大值即可； （3）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；进而得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 令，则， 解得或， ∴， 设直线BC的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过点P作轴交BC于G， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为32； 【小问3详解】 ①存在点M，使得为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设， ∴，，， 当时，， 解得（舍）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 当时，， 解得， ∴； 综上所述：M点坐标为或或或； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合－面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 23. 阅读下列材料，然后解答问题． 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为． （1）当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）； （2）当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)； （3）当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可知，，则根据计算即可得出答案； （2）由正方形的性质可知四边形也是正方形，且其面积，则根据即可得出、、之间的关系； （3）由可得，过点作，，垂足分别为、，易证四边形为正方形，于是可得，，利用可证得，于是可得，进而可得，易证，则，然后根据即可得出结论． 【小问1详解】 解：当经过点时，由正方形的性质可知： ，， ； 【小问2详解】 解：当于时，由正方形的性质可知： 四边形也是正方形，且其面积， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： ， ， 如图，过点作，，垂足分别为、， 易证四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 易证， ， ． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，三角形的面积公式，列代数式，正方形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次阶段考四校联考 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 注意事项： 1.本试卷共1张，共4页． 2.将答案填写在答题卡上，在本试卷作答无效． 3.若试卷印刷不清晰或者单面，及时更换试卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 6. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 10. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是____________ ．（用“”连接） 13. 若是方程的一个根，求的值_________ ． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面半径r为_______． 15. 如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为_____． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕原点O逆时针旋转后的． 18. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求的长． 20. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 21. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 阅读下列材料，然后解答问题． 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为． （1）当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）； （2）当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)； （3）当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $