21.2.3因式分解法 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 21.2.3 因式分解法 博雅君子，知行合一 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 博雅君子，知行合一 我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？ 复习导入 第一学程：用因式分解法解一元二次方程 例1 解下列方程： 自学学法指导： 1、方程的右边要化为0的形式？ 2、将方程左边化为两个一次式是怎样的？ 3、两个一次式什么情况下相乘为0？ 自学要求： 独立思考，保持安静 第一学程：用因式分解法解一元二次方程 主问题1： 解下列方程： 互学学法指导： 1、方程的右边要化为0的形式？ 2、将方程左边化为两个一次式是怎样的？ 3、两个一次式什么情况下相乘为0？ 互学要求： 组长做好分配任务，按4号、3号、2号、1号的顺序依次分享，交流自己的心得。 第一学程：用因式分解法解一元二次方程 解下列方程： 展学法指导： 1、方程的右边要化为0的形式？ 2、将方程左边化为两个一次式是怎样的？ 3、两个一次式什么情况下相乘为0？ 展学要求：上台展示的同学抬头挺胸，大方得体， 声音洪亮，语言流畅，手势运用得体； 小组汇报后，师生共同质疑，进行补充。 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, (x－2)(x＋1)=0. 师生展导 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 师生展导 下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (1) x1=0,x2=2； (2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2,x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0,x2=1. 阶段测试 主问题2： 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 第二学程：用适当的方法解方程 自学学法指导： 1、右边式子化为0； 2、尝试利用平方差和完全平方和平方差进行化简。 自学要求： 独立思考，保持安静 主问题2： 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 第二学程：用适当的方法解方程 互学学法指导： 1、右边式子化为0； 2、尝试利用平方差和完全平方和平方差进行化简。 互学要求： 组长做好分配任务，按4号、3号、2号、1号的顺序依次分享，交流自己的心得。 主问题2： 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 第二学程：用适当的方法解方程 展学学法指导： 1、右边式子化为0； 2、尝试利用平方差和完全平方和平方差进行化简。 展学要求：上台展示的同学抬头挺胸，大方得体， 声音洪亮，语言流畅，手势运用得体； 小组汇报后，师生共同质疑，进行补充。 主问题2： 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= 师生展导 各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 师生展导 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 解法选择基本思路 师生展导 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 当堂检测 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ① 由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4. 当堂检测 17 3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= . x2+x－2=0 －2 1 当堂检测 18 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 4.解方程： 当堂检测 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 课堂小结 5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课后作业 21 $$