5.3 应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼 教学设计 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 3 应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼 一、教学目标 1.分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系. 2.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 3.在经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程中，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生抽象、概括、分析解决实际问题的能力. 4.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识. 二、教学重难点 重点：分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系. 难点：掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 四、教学过程设计 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 【知识回顾】 教师活动：教师提问让学生思考一下，回顾前面所学的内容，为本节课的学习作准备. 问题：回顾解二元一次方程组的方法有哪些？具体步骤是什么？ 解二元一次方程组的方法有代入法和加减法. 代入法的步骤： 1.变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数； 2.代：将新式子代入到另一个方程中得一元一次方程； 3.求：解一元一次方程进而求出两个未知数的值； 4.写：写出方程组的解. 加减法的步骤： 1.变形：将同一个未知数的系数化为相同或互为相反数； 2.加或减：将两个方程相加减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程进而求出两个未知数的值； 4.写解：写出方程组的解. 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，飘洋过海流传到了日本等国. 思考并举手回答. 复习回顾已学知识，为新课的学习做准备. 引入古算题“鸡兔同笼”，以此引发学生思考，提高学习的兴趣. 环节二 典例探究 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【引例】雉兔同笼题为： “今有鸡兔同笼,上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何? ” 教师活动： 问题1：题中有哪些等量关系呢？ 预设答案：鸡头+兔头＝35， 鸡脚+兔脚＝94. 问题2：你能解决这个有趣的问题吗？ 引导：你能根据得到的等量关系，用方程组解决这个问题吗？ 预设答案： 列出方程组： 问题3：你会计算这个方程组吗？ 预设答案： 解：设鸡为x只，兔为y只，则 解法一：(加减消元法) ①×2得： 2x+2y＝70， ③ ②-③得：2y＝24，y＝12. 把 y＝12 代入①，得：x＝23. 原方程组的解是 所以笼中有鸡23只，兔12只. 解法二：(代入消元法) 由①得：x ＝35-y . ③ 把③代入②，得：2(35- y)+4y＝94，y＝12. 把 y＝12 代入①，得：x＝23. 原方程组的解是 所以笼中有鸡23只，兔12只. 教师活动：也可以设兔为(35-x)只，然后可以列一元一次方程进行求解 解：设鸡为x只，兔为(35-x)只，则 2x+4(35- x)＝94. 解得2x＝46. 解得x＝23. 35-x＝12. 所以笼中有鸡23只，兔12只. 【例】以绳测井. 若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ 分析：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 问题：题中有哪些等量关系呢？，怎么解决这个问题呢？ 预设答案： 等量关系一：绳长的-井深＝5， 绳长的-井深＝1. 解：设绳长x尺，井深y尺. 根据题意，得 由①-②得：. 解得x＝48. 将x＝48代入①得：y ＝ 11. 所以绳长48尺，井深11尺. 等量关系二：(井深+5)×3＝绳长， (井深+1)×4＝绳长. 设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 解得： 所以绳长48尺，井深11尺. 教师活动：也可以直接列一元一次方程进行求解. 解：设井深x尺，则由题意得 3(x+5)＝4(x+1). 解得： x＝11. 3×(11+5)＝48. 所以绳长48尺，井深11尺. 【例】“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？” 题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”.2头牛、5只羊共价值8两“金”.每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两. 根据题意可得 由②×5-①×2得：21y＝20. 解得 所以每头牛值金两，每只羊值金两. 学生思考并举手回答. 学生计算、填表. 学生思考并举手回答. 学生抢答. 尝试用式子表示边的关系，并找到等量关系. 通过问题，激发学生的求知欲望，结合实际问题，引导学生认真思考，初步掌握列二元一次方程组解决问题的基本步骤. 鼓励学生通过独立思考,找到题中的 “等量关系”，然后列出方程组并解决，在解决实际问题中，引入用一元一次方程解决的方法，让学生切实体会二元一次方程组与一元一次方程之间的联系，提升学生解决问题的 能力. 环节三 总结归纳 【方法归纳】 通过上述例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨：如何找等量关系及列一元一次方程解实际问题的一般步骤. 问题：用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是什么？ 预设答案：审，设，列，解，检，答. ①审：通过审题找出等量关系； ②设：用字母表示题目中的两个未知数； ③列：依据找到的等量关系，列出方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤检：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，包括单位名称； ⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称. 独立思考，交流讨论. 明确如何根据题意列二元一次方程组解决实际问题的步骤. 环节四 巩固练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(1)班与(5)班得分比为6∶5；乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分．若设(1)班得x分，(5)班得y分，根据题意所列的方程组应为( ) A. B. C. D. 预设答案：D 2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为_________． 【解析】根据蛐蛐和蜘蛛共10只，可得x+y＝10；蛐蛐和蜘蛛共有68条腿，可得6x+8y＝68. 预设答案： 3.用一根绳子环绕一棵大树.若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺. 这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？ 解：设绳子长 x 尺，环绕大树一周需要y尺. 根据题意，得 由②-①得：y=7. 将y＝7代入①得：x＝25. 原方程组的解是 所以绳子长25尺，环绕大树一周需要7尺. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 环节六 布置作业 教科书第116页 习题5.4 第2、3题 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高. 学科网（北京）股份有限公司 $$