第13讲 三角恒等变换的综合（七大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第13讲 三角恒等变换的综合 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 二、二倍角公式 （1） （2） （3） 三、公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 重难点01利用两角和与差的正余弦和正切公式求值 【解题必备】（1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式； （2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 例1． 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选:C. 例2．终边上一点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由终边上一点坐标为，则， 则. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，， 所以 ，故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选:BCD. 练习2． 【答案】/ 【详解】原式 . 故答案为：. 练习3．已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由，得，解得. 故选：B 练习4．已知角，则 . 【答案】 【详解】因， 去分母得，， 展开得，， 即， 整理得：. . 则，解得. 故答案为：. 重难点02和差公式的给值求值（角）型问题 【解题必备】①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 例3．已知角为锐角，角为钝角，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为锐角，，所以， 因为为钝角，所以. 若， 则，不符合题意， 所以，而， 又，所以，所以. 故选：D. 例4．若，，并且均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，易知得，， 则 又因为，所以. 故选：C 【跟踪练习】 练习1．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设知，又，即， 所以， 而. 故选：D 练习2．已知都是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是锐角，所以，所以， 因为，所以，所以. 因为是锐角，所以，所以， 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故选：B. 练习3．已知，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 所以. 故选：A 练习4．已知，，且，，求的值. 【答案】 【详解】∵，，∴. 又∵，， ∴，. ∴ ， ∴. 重难点03二倍角公式 【解题必备】（1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用； （2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 例5．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B 例6．若，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】  ，故， 可解得或.又，则，故， 故，故. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴. ∵，∴，，∴. 又，∴. 故选：A. 练习2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，所以， 所以， 所以. 故选：D. 练习3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 练习4．已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角函数定义，， 所以， 解得或（由为锐角知，舍）， 故选：D 重难点04二倍角公式的给值求值（角）型问题 【解题必备】（1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 例7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故选：C． 例8．若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．已知且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且可知为锐角，为钝角， 故， ， ， ， . 故选：B 练习2．已知，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 两边同除以可得，， 代入，可得， 故选：D 练习3．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，并且，均为锐角，且， 则有，， 得，， 则 ， 又因为，所以. 故选：C 练习4．已知，均为锐角，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，均锐角，则，, 因为，，则， ， , ， 则. 故答案为：． 重难点05辅助角公式及三角函数化简 例9．函数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由，可知， 可设， 则， 则原函数可化为， 所以当时，函数取最大值. 故选：C. 例10．已知 ． 【答案】/ 【详解】，即， ． 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．若锐角满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 因为是锐角，所以，， 所以 . 故选：B. 练习2．函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A．向左平移后的所得函数 B．向右平移后的所得函数 C．向左平移后的所得函数 D．向右平移后的所得函数 【答案】A 【详解】由题意可知：， 对于选项A：向左平移后的所得函数，为奇函数，故A正确； 对于选项B：向右平移后的所得函数，不为奇函数，故B错误； 对于选项C：向左平移后的所得函数，不为奇函数，故C错误； 对于选项D：向右平移后的所得函数，不为奇函数，故D错误； 故选：A. 练习3．已知函数. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)求函数在上的单调递增区间. 【答案】(1)对称轴为，对称中心为 (2)和 【详解】（1）， 由，得， 由，得， 所以的对称轴为，对称中心为； （2）， 由，得， 又， 当时，，当时，， 所以在上单调递增区间为和. 练习4．已知函数的一条对称轴为，则零点的最大负值为： . 【答案】 【详解】， ，由条件：（）， 所以：（），所以， ，（）， 故（），令：. 故答案为： 重难点06实际应用 例11．以正方形的边长为底，向外作4个等腰三角形，腰长为2，则该图的面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，是正方形，是等腰三角形，它们的底边为正方形相应的边，腰长均为2， 设等腰的底角，，则有等腰底边上的高为，底边， 于是得图形面积， 因，即，则当，即时，取最大值1，， 所以该图的面积最大为. 故选：C 例12．如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 【答案】(1)①，（）；②，（）. (2)E位于半圆上，且时，三角形木块的面积最大. 【详解】（1） ①设，则（），所以,,, 所以，（）. 即，（）. ②设，设，（），所以,,, 所以，（）. 所以，（）. （2）选择函数②：. 令， 则，在上单调递增， 所以当，即时，最大. 此时E位于半圆上，且. 【跟踪练习】 练习1．为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为，圆心角为的扇形空地（如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地，则该景观场地的面积最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：作于点，作于点， 则矩形的面积即等于平行四边形的面积， 设，， 则， ， 在中，， 所以， 所以矩形的面积 ， 因为，所以， 当即时，矩形的面积最大为， 所以该景观场地平行四边形的面积最大值为. 故选：A. 练习2．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图, 在 中, 设, 则,. 在 中, . . 设矩形的面积为, 则 故当 , 即时, . 故选：A 练习3．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知， 设圆的半径为r，依题意，有，即， 所以 所以． 故选：A 练习4．已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高） 【答案】33.40米. 【详解】如图设，由题可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即取等号，此时最大， 因为是锐角， 所以当时，最大，即球员沿边线带球进攻，他距离底线33.40米处射门对球门所张的角最大，命中率最高. 重难点07三角恒等变换的综合应用 例13．当时，曲线与曲线的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题得． 方法一：如图①，先画出函数的图象， 并将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象， 最后将函数图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变， 得到函数的图象如图①所示， 由图①可知，曲线与曲线的交点个数为4．    方法二：易知函数的最小正周期， 即在内，函数有2个周期， 又其值域为，且时，， 而函数的最小正周期为，值域为， 在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象如图②所示， 由图②可得，曲线与曲线的交点个数为4.    故选：B. 例14．关于的方程在上有（   ）个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：当时，，原方程化为. 令，， 则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数. 作出函数和的大致图象如图， 则在上单调递增，，，， 由图可知函数和在上有3个交点， 即原方程在上有3个实数根. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 即，即 设，则在上有实数根， 在上的图象有交点，如图 由于，由图象可知，，即． 故答案为： 练习2．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . ，由于在区间上有且只有一个零点， 所以， 而， 其中，而， 在区间上单调递增， 所以，解得， 则. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围. 练习3．如图，扇形的半径为，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为 .    【答案】 【详解】    如图所示， 过点作于点，交于点， 则. 设，，则， 又， 所以，， 由矩形可知， 在中，， 所以， 则. 又，则， 则当，即时，最大为， 故答案为：. 练习4．已知函数的图像过点和，若当时，，则的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题知，，解得，， 所以， 又因为当时，，则， 所以当时，，则，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，则，则， 综上，，所以的值可取，答案不唯一，满足均可． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第13讲 三角恒等变换的综合 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 二、二倍角公式 （1） （2） （3） 三、公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 重难点01利用两角和与差的正余弦和正切公式求值 【解题必备】（1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式； （2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 例1． 的值是（    ） A． B． C． D． 例2．终边上一点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 练习2． 练习3．已知，则（   ） A． B． C． D．2 练习4．已知角，则 . 重难点02和差公式的给值求值（角）型问题 【解题必备】①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 例3．已知角为锐角，角为钝角，且，，则（   ） A． B． C． D． 例4．若，，并且均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 练习2．已知都是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 练习3．已知，则（    ） A． B． C．3 D．4 练习4．已知，，且，，求的值. 重难点03二倍角公式 【解题必备】（1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用； （2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 例5．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 例6．若，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【跟踪练习】 练习1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 练习2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 练习3．若，则（    ） A． B． C． D． 练习4．已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 重难点04二倍角公式的给值求值（角）型问题 【解题必备】（1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 例7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例8．若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪练习】 练习1．已知且，则（   ） A． B． C． D． 练习2．已知，则（   ） A．3 B． C． D． 练习3．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知，均为锐角，，，则 ． 重难点05辅助角公式及三角函数化简 例9．函数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．4 例10．已知 ． 【跟踪练习】 练习1．若锐角满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 练习2．函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A．向左平移后的所得函数 B．向右平移后的所得函数 C．向左平移后的所得函数 D．向右平移后的所得函数 练习3．已知函数. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)求函数在上的单调递增区间. 练习4．已知函数的一条对称轴为，则零点的最大负值为： . 重难点06实际应用 例11．以正方形的边长为底，向外作4个等腰三角形，腰长为2，则该图的面积最大为（    ） A． B． C． D． 例12．如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 【跟踪练习】 练习1．为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为，圆心角为的扇形空地（如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地，则该景观场地的面积最大值为（ ） A． B． C． D． 练习2．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 练习3．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（    ） A． B． C． D． 练习4．已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高） 重难点07三角恒等变换的综合应用 例13．当时，曲线与曲线的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例14．关于的方程在上有（   ）个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪练习】 练习1．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 练习2．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．如图，扇形的半径为，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为 .    练习4．已知函数的图像过点和，若当时，，则的一个值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$