2025年九年级中考数学一轮复习课件 -第六章 圆-第一节 与圆有关的概念及性质

第六章 圆 第一部分 中考考点梳理 第一节 与圆有关的概念及性质 2025年中考数学一轮复习 1 考点梳理 1.与圆有关的概念［基础点］ 圆 在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋 转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆. ___________________________________ 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的 图形. 圆心角 顶点在①______的角叫做圆心角，如 . 圆心 2 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周 角，如 . ___________________________________ 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如弦 .经过圆 心的弦叫做②______，如 . 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆 的弧叫做③______，如 ；小于半圆的弧叫做 ④______，如 . 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 直径 优弧 劣弧 3 【提分指南】 .不在同一直线上的三点可以确定一个圆. .圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在的直 线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心. .圆的旋转不变性:将圆绕它的圆心任意旋转一个角度,都能与原来的圆重合. 4 回练课本 1.（1）下列图形中的角不是圆周角的是__________（填序号）. ①②④⑤ 5 （2）在中， .求证：,,三点在以 为直径的圆上. 证明：如图（1），取的中点,连接 . 为的中点， , ,即 , ,,三点在以为圆心、为半径的圆上，即,,三点在以 为直径 的圆上. 图（1） 6 （3）求证：直径是圆中最长的弦. 证明：如图（2），点,在以为直径的上，且,, 三点不共线， 则 . ,,是的三边， , ，即直径是圆中最长的弦. 图（2） 7 2.弦、弧、圆心角之间的关系［重点］ （1）定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. （2）推论: .在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角⑤______,所对的 弦⑥______. .在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角⑦______,所对的 优弧和劣弧分别⑧______. 相等 相等 相等 相等 【提分指南】 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦 心距,如果其中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 8 2.如图，四边形内接于， .有如下结论： ;平分;的垂直平分线经过点 ;④ 连接，，，若，则 ;⑤若 ，的半径为5，则 .则正确的结论为 ________.（填序号） ①②③ 回练课本 9 3.圆周角定理及其推论［重点］ 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 __________________________ ________________________ _________________________ 结论 推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角⑨______. （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对 的弦是直径. 相等 10 图（1） 3.（1）如图（1）,是的内接三角形, ,连接 ，,则_____ . 图（2） （2）如图（2），是的直径，，是 的两条弦， 且，则 所对的圆周角的度数为_____. 回练课本 50 11 4.垂径定理及其推论［基础点］ （1）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. （2）推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 课标新变化：探索并证明垂径定理由选学内容调整为考查内容. 【拓展】 <m></m>.平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条 弧； <m></m>.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； <m></m>.利用垂径定理及其推论解题时，常过圆心向弦作垂线，在计算时，常涉及 半径<m></m>，弦长<m></m>，弦心距<m></m>（圆心到弦的距离），它们之间的关系是 <m></m>. 12 【解题通法】 利用垂径定理及其推论解题时常用的辅助线作法 利用垂径定理及其推论解题时,常通过添加辅助线,构造直角三角形,结合勾股 定理或锐角三角函数进行解题.常用辅助线作法:①过圆心作弦的垂线;②连接 圆心和弦的一端（即作半径）;③当条件中有弦的中点（或弦所对弧的中点） 时,连接圆心与弦（或弧）的中点. 13 4.如图是一款拱门屏风的示意图（以点 为圆心的圆的一部分）， 其中拱门屏风最下端分米，为的中点， 为拱门屏 风最高点，圆心在线段上， 分米，则拱门屏风所在 圆的半径是____分米． 15 回练课本 14 5.圆内接四边形的概念和性质［重点］ 概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫 做圆内接四边形. _______________________________ 性质 圆内接四边形对角互补. ⑩______ ⑪______ 15 图（1） 5.（1）如图（1），四边形内接于， 为直径， ，连接．若 ，则 的度数为______. 回练课本 （2）如图（2），四边形内接于，若 ，则 _____ ． 140 图（2） 16 考法1 圆周角定理及其推论 例1 已知：点，，，在 上. 图（1） （1）若是的直径，点，是 两侧的两点,如图（1）， 若 ,则 的度数为_____. 图（2） （2）如图（2），若直线,交于外点 ， ， ，则 的度数为_____. 17 （3）如图（3），若是的直径，弦交于点， ， ，，则 的长为_ ___． 图（3） 18 解法提示：如图，连接,是 的直径， ， .过点 作 于点，如图，则 . ，， ， ，. , ，，，即 ， ． 19 考法2 垂径定理及其推论 例2 已知，点，，，是 上的点. （1）如图（1），， ，则 的度数是_____． 图（1） 20 （2）若为的直径，弦，垂足为点 . ①如图（2），若，，则 的半径为___． 3 图（2） 21 图（3） ②如图（3），若点为上一点，且， ， ，则弦 的长为___． [解析] 解法提示：连接交于点.设的半径为 ，则 ,，.在 中，由勾股定理，得，即 ，解得 ，.连接，，，垂直平分 ， ， , ， ，即，， . 22 考法3 圆内接四边形的性质 例3 已知：四边形内接于 . 图（1） （1）如图（1），,且，连接 .若 ,则 的度数为_____. 解法提示：, ， ， , ， , ， , . 23 （2）如图（2），是的直径，连接．若 ，则 的度数为_____. 图（2） 解法提示： 四边形是 的内接四边形， .又，是 的直径， ， . 24 图（3） （3）如图（3），若 ， ， ， ，则 的长为________. 解法提示：如图，延长，交于点 四边形 是的内接四边形， ， ， ， , ， .在中， .在 中，， ． 25 命题点1 圆周角定理及其推论［8年8考］ （第1题） 1.[2024泉州质检] 如图，等边三角形和正方形 均内 接于，若，则 的长为( ) D A. B. C. D. （第2题） 2.[2024福州质检] 如图,是半圆的直径,点 （不与点重合）在上.过点作交半圆 于点 ,连接,,.过点作于点.设 , ,则图中长度一定等于 的线段是____. 26 3.[2023福州质检] 如图,是半圆的直径,,是 上一点,,是的中点,连接,, . （1）求 的大小; [答案] ， , 是等边三角形， . 27 （2）求证: . 证明：如图，连接 . ， . ， ，即 . 28 是 的中点， . 由（1）知 ， 是 的垂直平分线， ， ． 29 4.[2024福建中考，25] 如图，在中， , ,以为直径的交于点,,垂足为, 的延长线交于点 . （1）求 的值； [答案] ,且是的直径， . , 在中， . , 在中， , ， . 30 （2）求证： ; 图（1） 证明：如图（1），过点作,交的延长线于点 . , . ,,, . ， , 31 , , , . , , , , , . 图（1） 32 （3）求证：与 互相平分. 图（2） 证明：如图（2），连接, . 是的直径， , . , ,, . 33 由（2）知， , ， ， , , , , . 图（2） 34 由（2）知， , . , , , 四边形 是平行四边形， 与 互相平分. 图（2） 35 命题点2 圆内接四边形的性质［8年2考］ （第5题） 5.[2024漳州质检] 如图,是四边形 的外接圆,连接 ,,若 ,则 的大小为( ) D A. B. C. D. 36 （第6题） 6.[2023莆田质检] 如图，在中， ，点 在上，连接，，过点作的延长线于点 ， 则点从点运动到点的过程中， 的度数( ) C A.先增大后减小 B.先减小后增大 C.保持不变 D.一直减小 37 7.[2023莆田质检] 如图，内接于，的延长线交于点 ，交 于点，过点作交于点，连接， ． 38 （1）若，求证： ； 证明：由题可知四边形内接于 ， ． ， ， 四边形 为平行四边形， , , ， ． 39 （2）求证：点到的距离等于 的长． 证明：如图，过点作，交于点，连接 , 则 ． 是 的直径， , ， ， ， 40 ． ， ， ， 所对的圆心角相等， ， ，即点到的距离等于 的长． 41 $$