2025年中考数学一轮复习 -第四章 三角形-第六节 锐角三角函数及其应用课件

第四章 三角形 第一部分 中考考点梳理 第六节 锐角三角函数及其应用 2025年中考数学一轮复习 1 考点梳理 1.锐角三角函数[基础点] 如图,在<m></m>中,<m></m> ,<m></m>为<m></m>中的一个锐 角,<m></m>,<m></m>,<m></m>的对边的长度分别是<m></m>,<m></m>,<m></m>,则: 的正弦: . 的余弦: . 的正切: . 2 回练课本 1.在中, ,,,分别为,, 的对边,下列各式 成立的是( ) B A. B. C. D. 3 2.特殊角的三角函数值[基础点] 三角函数 _ _ ①_ _ ②_ _ ③_ _ ④_ ⑤_ 1 4 2.计算: (1) . [答案] 原式 . (2) . [答案] 原式 . 回练课本 5 3.解直角三角形的常用关系[基础点] 三边关系 (勾股定理) _ 两锐角间的关系 ⑥_ 边角关系 ; ⑦_; ⑧_; ⑨_ 面积关系 6 3.已知在中,,,分别是,, 的对边. (1)若 ,,,则 的度数为_. (2)若 ,,,则 的值为_. 回练课本 7 4.锐角三角函数的实际应用[重点] (1)仰角、俯角:如图,在同一铅垂面内视线和水平线的 夹角中,视线在水平线上方的是仰角,视线在水平线下方 的是俯角. (2)坡度(坡比)、坡角:如图,坡面的垂直高度 和水 平宽度的比叫坡度(坡比),记作,即 ;坡面与水 平线的夹角 叫坡角,则 . 8 (3)方位角:一般指以观测者的位置为中心,将正北或 正南方向线作为起始方向,旋转到目标的方向线所成的角 (一般指锐角),通常表达成北(或南)偏东(或西). 如图,点在点的北偏西 的方向,点在点 的北偏东 的方向(或东北方向),点在点的南偏西 的方向. 9 图(1) 4.(1)如图(1),斜坡的长为10米,坡度 ,坡顶有一 棵竖直的树,在坡底点处测得树顶的仰角为 ,则树 的高度约为_米.(结果精确到0.1米.参考数据: ) 7.8 回练课本 10 (2)如图(2),海中有一个小岛.一艘轮船由西向东航行,在 点测得小 岛在北偏东 方向上;航行到达点,这时测得小岛 在北偏东 方向上.小岛到航线的距离是_ ,结果精确到 . 10.4 图(2) 11 考法 锐角三角函数的实际应用 例1 [2024江西中考] 图(1)是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术 中心主体建筑,其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图 (2),“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底 组成.已知 ,,是太阳光线,,,点,,, 在同一条直线上. 经测量,,,, . (结果精确到 ) 12 图(1) 图(2) (1)求“大碗”的口径 的长; 13 [答案] , , . 又 , 四边形 是平行四边形, . , , , , 即“大碗”的口径为 . 14 (2)求“大碗”的高度 的长. (参考数据:,, ) [答案] 如图,过点作于点 ,则 . 四边形 是矩形, , . , , 15 四边形 是矩形, ,, . , , , , 即“大碗”的高度约为 . 16 例2 [2024广东中考] 中国新能源汽车为全 球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大 贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区 增设了充电站,如图是矩形充电站的平面示意图,矩形 是其中一个 停车位.经测量, ,,, , 是另一个 车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题:(结果精确到,参考数据: ) 17 (1)求 的长; [答案] 四边形, 是矩形, , . 又 , , . 在中, , 18 . 在中, , . 在中, , , . 19 (2)该充电站有20个停车位,求 的长. [答案] 在中, , . 在中, , , . 20 图(1) 例3 [2024苏州中考] 图(1)是某种可调节支撑架, 为水平 固定杆,竖直固定杆,活动杆可绕点旋转, 为液 压可伸缩支撑杆,已知,, . (1)如图(2),当活动杆处于水平状态时,求可伸缩支撑杆 的长度 (结果保留根号); 图(2) 21 [答案] 如图(1),过点作,垂足为 . 由题意可知, . 又, 四边形 为矩形. ,,, . , , 在中, . 可伸缩支撑杆的长度为 . 图(1) 22 (2)如图(3),若活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度 ,且 ( 为锐角),求此时可伸缩支撑杆 的长度(结果保留根号). 图(3) 23 图(2) [答案] 如图(2),过点作,交 的延长线于 点,交于点 . 由题意可知,四边形为矩形, . 在中,, , . ,, , , , , , 在 中, . 此时可伸缩支撑杆的长度为 . 24 命题点 锐角三角函数的实际应用[8年4考] (第1题) 1.[2021福建中考,3] 如图,某研究性学习小组为测量学 校与河对岸工厂之间的距离,在学校附近选一点 ,利 用测量仪器测得 , , .据此, 可求得学校与工厂之间的距离 等于( ) D A. B. C. D. 25 (第2题) 2.[2022福建中考,9] 如图所示的衣架可以近似看成一 个等腰三角形,其中, , ,则高约为(参考数据: , , )( ) B A. B. C. D. 26 (第3题) 3.[2023宁德质检] 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意 图.自动扶梯的长为,倾斜角为 ,则自动扶梯 的垂直高度 等于( ) C A. B. C. D. 27 4.[2024福建中考,16] 无动力帆船是借助风力前行的.如图 是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与 风向所在直线的夹角为 ,帆与航行方向的夹角 为 ,风对帆的作用力为.根据物理知识, 128 可以分解为两个力与,其中与帆平行的力不起作用,与帆垂直的力 又 可以分解为两个力与,与航行方向垂直,被舵的阻力抵消; 与航行方 向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大 小,据此,建立数学模型:,则_. (单位: ) (参考数据:, ) 28 5.[2024厦门质检] 为创造美丽环境,某社区将辖区内一四边形闲置区域改造 为一个生态景观区,平面示意图如图所示.景观区建有一个四叶草形生态水 池及一座雕塑,水池内点处建有观景台,, 是两条通往观景台的步 行道,其中步行道与边 垂直,四边形内其他区域铺设草坪.观景台上 安装了一盏广角灯,四边形 是广角灯夜间开启时灯光所覆盖的区 域.小梧从该社区了解到,为了凸显景观的层次感和立体感,达到理想的光 影效果,对该广角灯的要求是:照射角为 .他想验证该广角灯是 否符合要求,于是利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量,所得数 据如下表所示. 29 备用图 所测的量 长度/ 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00 30 (1)步行道与边 是否也垂直?请说明理由. [答案] 与 也垂直. 理由:如图,连接 , 由测量数据可知, . . 又, , . . . 31 (2)根据所测得的数据,小梧能否完成验证?若能,请帮小梧完成验证; 若不能,请说明理由.(参考数据: ) [答案] 小梧可以完成验证,过程如下: 如图,过点作,垂足为点 . 在中,, , , . . 在中, , , , . 32 . 在与中, ,且 , , . . 即 . 由(1)可知, , . 故该广角灯符合要求. $$