2025年九年级中考数学一轮复习课件 -第四章 三角形-第四节 等腰三角形与直角三角形

第四章 三角形 第一部分 中考考点梳理 第四节 等腰三角形与直角三角形 2025年中考数学一轮复习 1 考点梳理 1.等腰三角形和等边三角形［重点］ 等腰三角形 等边三角形 性质 （1）两腰相等,两底角 ①______; （2）顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合 （简写成“三线合一”）; （3）是轴对称图形,有②____ 条对称轴. （1）三边都相等，三个内角都相 等,且都等于③_____; （2）每条边上的中线、该边上的 高和该边所对角的平分线互相重 合; （3）是轴对称图形,有④____条对 称轴. 相等 一 三 2 等腰三角形 等边三角形 判定 （1）有两条边相等的三角形是 等腰三角形. （2）有两个角相等的三角形是 等腰三角形. （1）三边都相等的三角形是等边 三角形. （2）三个内角都相等的三角形是 等边三角形. （3）有一个内角等于 的等腰 三角形是等边三角形. 面积 （为底边 上的高）. （为任意边 上 的高）. 3 【易失分点】 解决与等腰三角形有关的问题时的易错点 ①已知等腰三角形的一个角，求其他角的度数时，要对该角是顶角还是底角 进行分类讨论. ②求等腰三角形的一条边：当已知等腰三角形的两边时，除了要确定哪条边 作为腰或底边外，还要判断是否满足三角形的三边关系. 4 回练课本 1.（1）如图（1），为等边三角形，延长到点，使 ．延 长到点，使．连接，，则 的度数是( ) 图（1） B A. B. C. D. （2）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长为 ，则 这个等腰三角形的腰长为( ) D A. B. C.或 D. 5 图（2） （3）如图（2），在 中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交 ， 于，两点；②分别以点， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线 3 交于点，过点作交的延长线于点．若， ， 则 ___． 6 2.直角三角形［重点］ 直角三角形 等腰直角三角形 性质 （1）两锐角互余； （2）斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一 半； （4）勾股定理：直角三角形中两直角边 的平方和等于斜边的平方，即 （，为直角边， 为斜 边）. （1）两直角边相等； （2）两锐角相等且都等 于 ； （3）是轴对称图形，有 一条对称轴. 7 直角三角形 等腰直角三角形 判定 （1）有一个角为 的三角形是 直角三角形； （2）勾股定理的逆定理：若三角 形的三边长,, 满足 ，则该三角形是直角 三角形. 【拓展】 如果三角形的一边上的 中线等于这条边的一半，那么这 个三角形是直角三角形. （1）顶角为 的等腰三角 形是等腰直角三角形； （2）有两个角是 的三角 形是等腰直角三角形； （3）有一个角是 的直角 三角形是等腰直角三角形； （4）两直角边相等的直角三 角形是等腰直角三角形. 8 直角三角形 等腰直角三角形 面积 （， 为直角边， 为斜边， 为斜边上的高）. （ 为直角边， 为斜边， 为斜边上的高）. 【解题通法】 解与直角三角形有关的计算题的常用思路 ①当出现<m></m> 角时,应想到<m></m> 角所对的直角边是斜边的一半. ②当出现斜边上的中线时,要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. ③作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数求线段长或角度. ④已知直角三角形的三边求斜边上的高时,用面积法求解. ⑤已知三角形为直角三角形,但没有明确直角顶点,则需要分类讨论. 9 图（1） 2.（1）如图（1），已知,边的长为4，以 为 边作正方形，设面积为.以为边作正方形 ， 设面积为.则 的值为____． 16 图（2） （2）如图（2），点在的边上，点是 的 中点,连接，，若,, , ,则 的长为____. 回练课本 10 图（3） （3）如图（3），在中，是 边上的点， ，，分别是,边的中点，若，则 的长为___. 3 图（4） （4）如图（4），已知 ，点在边 上， ，点，在边上，.若 ，则 的周长是____. 16 11 考法1 与等腰三角形有关的证明与计算 例1 在中， . （1）如图（1），若的顶点，分别在，上，且 . 图（1） ①当 ， 时， 的度数为_____； ②当 时， 的度数为_____. 12 图（2） （2）如图（2），若，该三角形的面积为15，点 是边上任意一点，则点到，边的距离之和 的 值为___. 5 图（3） （3）如图（3），若, ，点在 上，且 ，点为的中点，连接，则的长为____， 的周长为_________. 13 （4）如图（4），是边的中点，连接，平分交于点 ，过 点作交于点 . 图（4） ①若 ，则____ ； ②若,则 的长为___. 54 4 14 图（5） （5）如图（5），若是边上一点， ,将 沿翻折，点的对应点为点,连接,当 是以为底边的等腰三角形时， 的度数为________ ___. 或 15 [解析] 解法提示：, , .分两种情况讨论. ①当，且点在下方时，如图（1），设 ，则 , .又 , , , . 根据，可得 ， . 图（1） 16 ②当，且点在上方时，如图（2），设 ，则 , , , .根据，可得 ， . 图（2） 17 考法2 与直角三角形有关的证明与计算 例2 在中， . （1）当点为 的中点时, ①连接，若 ，则____ . ②如图（1）,若 ,,于点,则 的长为___． 55 1 图（1） 图（2） ③如图（2），若 ，点是 边的中点，连接，，是 中边上的中线， ，则 的长为_ __. 18 ④如图（3），过点作，垂足为，若，，则 的长为_ ___. 图（3） 19 考法2 与直角三角形有关的证明与计算 [解析] 解法提示： 方法一：在中， ，，， 由勾股定 理得是 的中点， .设 ，由勾股定理得 ，解得， ． 20 方法二：的面积.是 的中 点，的面积的面积. 在 中， ， ，， 由勾股定理得 ， ， ． 21 （2）如图（4），若,,点在边上，将沿 折叠得到 ,与边交于点.若为直角三角形,则 的长是______. 2或5 图（4） 22 解题指导 （2）当<m></m>为直角三角形,且直角顶点不确定时,需分情况讨论. 23 [解析] 解法提示：根据题意，易得.由折叠的性质可得 ， ．由题意知，可分两种情况讨论.①如图（1），当 时，过点作交的延长线于点，则四边形 为矩形．设，则，.在 中，，即，解得， （舍去），.②如图（2），当 时，点与点 重合． ，，．设，则 ．在 中，，即，解得 ， ．综上， 的长为2或5. 24 图（1） 图（2） 命题点1 与等腰三角形有关的证明与计算［8年6 考］ （第1题） 1.[2020福建中考，5] 如图,是等腰三角形 的顶角 平分线,,则 等于( ) B A.10 B.5 C.4 D.3 26 （第2题） 2.[2024龙岩质检] 如图，中，, 于点，点是的中点，连接 ，则下列结论不一定 正确的是( ) A A. B. C. D. 27 命题点2 与等边三角形有关的证明与计算［8年4 考］ （第3题） 3.[2018福建中考，5] 如图，等边三角形中, ,垂 足为点,点在线段上， ,则 等于 ( ) A A. B. C. D. 4.[2023南平质检] 在等边三角形中，点，分别是边， 的中点， 若的周长为12，则 的周长为( ) C A.3 B.4 C.6 D.9 28 5.[2024宁德质检] 如图，在等边三角形中，为的中点， 于 点，，则 的长是____． 20 （第5题） 29 6.[2023三明质检] 如图,为等边三角形,点在 边上. 30 （1）在内部求作点,使得是以 为底边的等腰直角三角形; （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） [答案] 如图（1），点 即为所求作的点. 图（1） 31 （2）在（1）的条件下,连接,,延长交于点,若 ,求证: . 图（2） 证明：如图（2）， 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ， , , , . 32 , , , , . ， , ， ． 图（2） 33 命题点3 与直角三角形有关的计算［8年6考］ 7.[2024宁德质检] 在中， ，，，则 的 长是( ) C A. B.11 C.13 D.17 （第8题） 8.[2022泉州质检] 如图，在矩形中，点在边 上，点 是的中点，，，则 的长为 ( ) C A. B. C. D. 34 （第9题） 9.[2024漳州质检] 如图,在和 中, ,,相交于点,,分别是 , 的中点,连接,,.若点为 的内心, ,则下面结论错误的是( ) D A. B. C. D. 35 新课标 新考向 【新课标·项目式学习】[2024滨州中考] 【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，，则有 ； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 ，即知 ．若把①中的替换为 ，还 能推出 吗？ 36 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出 ， 并分别提供了不同的证明方法． 小军 证明：分别延长，至， 两点，使得…… 小民 证明： ， 与 均为直角三角形, 根据勾股定理，得…… 37 【问题解决】 备用图 38 （1）完成①的证明； 证明： ， . 在和中， ， . 39 （2）把②中小军、小民的证明过程补充完整． [答案] 补充完整小军的证明过程如下： 分别延长，至，两点，使得， ，如图所示. ， ，即 . ， . 40 在和中， ， . ， ， ， . 又， ， . 41 补充完整小民的证明过程如下： ，与 均为直角三角 形， 根据勾股定理，得 ， ， ， . ， ， 42 ， ， ， . 又 ， ， ． 43 $$