2025年九年级中考数学一轮复习课件 -第三章 函数-第六节 二次函数的应用

第三章 函数 第一部分 中考考点梳理 第六节 二次函数的应用 2025年中考数学一轮复习 1 考法1 抛物线形问题 例1 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球 比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点，在 轴上，球 网与轴的水平距离， ，击球 点在轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足一次函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离近似满足二次函数关系 ． 2 （1）求点的坐标和 的值． [答案] 依题意知,点为直线与 轴的交点. 当时, , 点的坐标为 . 抛物线经过点 , , 解得 . 3 （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． [答案] , , . 若选择扣球,当时,得 , 解得 , 此时,球的落地点到点的距离为 . 4 若选择吊球,由（1）知, . 当时,得 , 解得, （舍）, 此时球的落地点到点的距离为 . , 应选择吊球. 5 考法2 最值问题 例2 [2024广东中考] 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年 农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的 价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场 调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能 使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.（题中“元”为人民币） 6 [答案] 答案一：设售价为万元/吨，每天的销售收入为 万元， 则 ， 当售价为3.5万元/吨时，每天的销售收入最大，最大为612.5万元. 答案二：设售价为万元/吨，每天的利润为 万元， 则 ， 当售价为4.5万元/吨时，每天的利润最大，最大为312.5万元. 7 例3 综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为的墙 ，研究小组想利 用墙和长为 的篱笆围出一个面积最大的 矩形种植园．假设矩形一边 ，矩形种 植园的面积为 ． __________________________________________ 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边 用含 的代数式表示，从而得到关于 的函数表达 式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数的 性质求出最值． 8 矩形种植园最大面积探究 探究 方案一：将墙 的一部分用来替代篱笆. 按图（1）的方案围成矩形种植园（边 为墙 的一部分）． __________________________________________ 方案二：将墙 的全部用来替代篱笆. 按图（2）的方案围成矩形种植园（墙 为边 的一部分）． 9 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的 的最大值；比较并判断矩形种植园 面积的最大值为多少． [答案] 方案一：，篱笆总长为，墙长为 ,四边形 为矩形， ， ， 当时，随 的增大而增大. ， 当时，有最大值，最大值为 . 10 方案二：，篱笆总长为，墙长为,四边形 为 矩形， ， . 易知 ， 当时， 有最大值，最大值为169. ， 矩形种植园的最大面积为 . 11 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为 ，其余条件不变，请在图（3）中画出矩形种 植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 图（3） [答案] 示意图如下. 12 [解析] 解法提示： 方案一：由，可得 ， ， 当时， 有最大值，最大值为50. 方案二：由，可得 ， . 易知，当时，随 的增大而减小， 当时， 有最大值，最大值为48． 综上所述，方案一能使矩形种植园面积最大，此时 ， ． 13 命题点 二次函数的实际应用［8年1考］ 1.[2024厦门质检] 某盆景园艺租赁公司有某种盆栽供顾客租用．该种盆栽每 盆租金现为15元，每天可租出95盆．市场调查反映：该种盆栽每盆租金每上 涨1元，每天会少租出5盆． （1）设该种盆栽每盆租金上涨元，请用含 的式子表示该种盆栽每天租出 的数量； [答案] 由题意得，该种盆栽每天租出的数量为 盆． 答：该种盆栽每天租出的数量为 盆. 14 （2）判断随着该种盆栽每盆租金的上涨，该公司每天租出该种盆栽的总收 益的增减情况，并说明理由． [答案] 设该公司每天租出该种盆栽的总收益为 元， 由题意得 ． 由题可知， ． 15 ， 当时， 有最大值． 当时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减 小． 答：当该种盆栽每盆租金上涨0到2元时，该公司每天租出该种盆栽的总收益 随着租金的上涨而增加；当该种盆栽每盆租金上涨2到19元时，该公司每天 租出该种盆栽的总收益随着租金的上涨而减少． 16 2.[2024宁德质检] 蹦床是一项运动员利用蹦床的 反弹在空中表现杂技技巧的竞技运动，有“空中芭 蕾”之美称．甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过 程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动， 乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不 计．图（1）是甲、乙两位运动员的运动高度与运动时间 的二次函 数图象，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，且所 有二次函数图象开口大小相同． 17 （1）求甲运动员在这次训练中运动的最大高度. [答案] 结合图象，设乙运动员第一次的运动高度与运动时间的二次函数解析 式为，将，分别代入 ， 得解得 . 18 甲、乙两位运动员的运动高度与运动时间的二次函数图象开口大小相同， 可设甲运动员的运动高度与运动时间的二次函数解析式为 . 将代入，得，解得 ， ， 甲运动员在这次训练中运动的最大高度是 ． 19 （2）图（2）是教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都 在直线上，直线与水平线的夹角为 ． ①若甲、乙两位运动员在时运动高度相同，求直线 的解析式； [答案] 当时， . 设乙运动员第二次的运动高度与运动时间的二次函数解析式为 ， 甲、乙两位运动员在 时运动高度相同， 抛物线过点 . 将，分别代入 ， 20 得解得 , 点的坐标为 . 设直线的解析式为，将，分别代入 ， 得解得 直线的解析式为 . 21 ②当 时，求乙运动员在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范 围．，， [答案] 如图，设直线与轴交于点，过点作于点 ， 点的坐标为， 直线的解析式为， 点 的坐 标为 . 22 设点的坐标为 , ， . 在中， ，则 ， . ， . 当时，直线的解析式为 ， 设点的坐标为 ， 乙运动员第二次的运动高度与运动时间的二次函数解析式为 ， 将代入 ， 得 ， 解得， （不合题意，舍去）. , 乙运动员在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围是 . 新课标 新考向 【新课标·应用意识】乒乓球被誉为国球.如图是乒乓球台的截面示意图，一 运动员从球台边缘正上方高的位置（击球高度 ），将乒乓球向正 前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 25 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ），测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 26 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并 画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象. [答案] 如图所示. 27 （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是____ ；当乒乓球落 在对面球台上时，到起始点的水平距离是_____ . 49 230 ②求满足条件的抛物线的函数表达式. [答案] 设抛物线的表达式为 ， 将代入，得 ， 解得 ， 抛物线的表达式为 . 28 （3）技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变， 那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 的取 值范围，以便有针对性地训练，如图，乒乓球台长为，球网高 为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 的值约为 ，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）. 29 [答案] 当 时， 抛物线的表达式为 ， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为 ，则平 移距离为 ， 平移后的抛物线的表达式为 ， 依题意，当时， ， 即 ， 解得 ． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度 的值为 ． 30 $$