2025年中考数学一轮复习 -第三章 函数-第五节 二次函数的图象及其性质（二）课件

第三章 函数 第一部分 中考考点梳理 第五节 二次函数的图象及其性质（二） 2025年中考数学一轮复习 1 考点梳理 1.二次函数解析式的确定［重点］ 二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种,在确定二次函数的解析式 时,要根据题中不同的已知条件,设出相应的解析式,再利用待定系数法进行求解. 名称 解析式 图象 使用条件 一般式 （，， 为常数） ______________________________________ 已知抛物线上任意三 点的坐标 2 名称 解析式 图象 使用条件 顶点式 （，， 为常数） ______________________________________ 已知抛物线的顶点坐 标或对称轴、最值 其他一点的坐标 交点式 （为常数，, 为抛物 线与 轴的两个交点的横 坐标） 已知抛物线与 轴的 两个交点的坐标 其 他一点的坐标 【提分指南】 三种解析式之间的关系: 顶点式一般式 交点式 3 回练课本 1.（1）已知二次函数的图象经过与 两点，则这个 二次函数的表达式为_______________； （2）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点 ，则这个二 次函数的表达式为__________________； （3）已知二次函数的图象经过点，和 ，则这个二次函数的表 达式为_____________________. 4 2.二次函数图象的平移变换［重点］ （1）平移 平移前抛物线的 解析式 平移 个单位 长度 平移后抛物线的解析式 简记 向左 （ ） 左“ ”右“-” 向右 （ ） 向 上“ ”下“-” 向下 5 1.平移顶点法 （1）将抛物线的解析式化成顶点式，得到顶点 ； （2）将点平移，得到平移后抛物线的顶点 ； （3）平移后抛物线的解析式为 . 2.平移任意两点法 先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，再根据二次项系数不变，利用待 定系数法求出平移后抛物线的解析式. 【解题通法】 确定平移后抛物线的解析式的方法 6 3.直接法 针对一般式,直接进行“上加下减常数项,左加右减自变量”.如将抛物线 向下平移 个单位长度,得到抛物线 ;向右平移 个单位长度,得到抛物线 . 7 2.已知抛物线是由抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移4 个单位长度得到的. （1）抛物线 的解析式为_________________. （2）将抛物线 先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛 物线的解析式为______________. （3）将抛物线沿直线向上平移 个单位长度,得到的抛物线的解 析式为_________________. 回练课本 8 3.二次函数与一元二次方程的关系［重点］ （1）方程的解是二次函数 的图象与 ①_____的交点的横坐标. 轴 9 课标新增：知道二次函数和一元二次方程之间的关系. （2）判别式决定抛物线与 轴的交点个数. （ⅰ） ②___0时，抛物线与轴有两个交点，方程 有两个 不相等的实数根； （ⅱ） ③___0时，抛物线与轴有一个交点，方程 有两个 相等的实数根； （ⅲ） ④___0时，抛物线与轴没有交点，方程 没有实数根. 10 3.（1）二次函数的图象与 轴的交点有___个； （2）二次函数（为常数）的图象与 轴的交点有___个； （3）抛物线与直线 的交点坐标为_______________. 1 2 , 回练课本 11 4.二次函数与不等式的关系［重点］ 图象 不等式或等式 解集或解 _______________________________________ ⑤_______________ 或 ⑥____________ ____________________________________ ⑦______________ ⑧__________ ⑨___________ 或 或 或 12 4.如图所示，抛物线的对称轴为直线 ，与直线 交于点和 . （1）关于的一元二次方程 的解为_________________; （2）关于的一元二次方程 的解为______________; （3）关于的不等式 的解集为_____________; （4）关于的不等式 的解集为__________. ， , 或 回练课本 13 考法1 二次函数解析式的确定 例1 已知抛物线 . （1）若抛物线是由抛物线 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单 位长度得到的,则该抛物线的解析式为_________________; （2）若抛物线过点,， ，则抛物线的解析式为________ ___________； （3）若抛物线的顶点坐标为,且过点 ，则抛物线的解析式为 ________________； 14 （4）若抛物线经过点,,且顶点在 轴上,则抛物线的解析式为 ______________; （5）若抛物线的对称轴为直线,且过点,则与 满足的关系式为 _____________; （6）若抛物线与轴只有一个交点，且过点,则 的最小值为____； 15 （7）若抛物线经过点,,且对于抛物线上任意两点 , ,当时,总有；当 时, 总有 ，则抛物线的解析式为________________； （8）已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线过， 两 点，交轴于另一点，，且对于抛物线上任意两点 ， ，当时，总有 ，则抛物线的解析式为_________ _______________. 16 解题通法 巧设抛物线解析式的方法 1.若顶点在原点,可设为<m></m>; 2.若对称轴是<m></m>轴（或顶点在<m></m>轴上）,可设为<m></m>; 3.若顶点在<m></m>轴上,可设为<m></m>; 4.若抛物线过原点,可设为<m></m>; 5.若已知任意三个点的坐标,可设为<m></m>; 6.若已知顶点<m></m>,可设为顶点式<m></m>; 7.若已知抛物线与<m></m>轴的两交点坐标为<m></m>,<m></m>,可设为交点式 <m></m>. 17 考法2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例2 已知抛物线 . （1）若抛物线经过点,则 _______. （2）抛物线与 轴的交点坐标为____________. （3）不等式 的解集是_____________. 3或 , 或 （4）若直线与该抛物线交于,两点,则关于 的方程 的解是______________;关于的不等式 的 解集是__________. , 18 （5）将抛物线向上平移 个单位长度. ①若平移后的抛物线与轴没有交点，则 的取值范围为_______. 解法提示：根据题意,得平移后抛物线的解析式为 ， 平移后的抛物线与轴没有交点， 关于的方程 没有实 数根，，解得 . ②若平移后的抛物线与直线只有一个公共点,则 的值为___. 2 解法提示：根据题意,得平移后抛物线的解析式为 ，令 , 平移后的抛物线与直线 只有一个公共点，，解得 . 19 （6）如图,将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到 轴上方,得 到一个“”形状的新图象,若直线与新图象有两个公共点,则 的取 值范围为___________________. 或 [解析] 解法提示：抛物线与轴的交点分别为, .当直 线经过点时,；经过点时,.易知抛物线 位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方后对应的解析式为 .令 ,整理，得.当直线 与抛物线 没有公共点时,则有,解得, 结合函数 图象可知当直线与新图象有两个公共点时， 的取值范围为 或 . 20 提分特训 [2024安徽中考节选] 已知抛物线（ 为常数）的顶点横坐标比 抛物线 的顶点横坐标大1. （1）求 的值. [答案] 因为抛物线的顶点横坐标为, 的顶点横坐 标为1, 由条件得,解得 . 21 （2）点在抛物线上,点 在抛物线 上.若,且,,求 的值. [答案] 因为点在抛物线 上, 所以 . 又点在抛物线 上, 则 . 22 于是 , 整理得 . 因为,所以 , 整理得 . 又,,所以,故,从而 . 23 命题点 二次函数的综合应用［8年8考］ 1.[2024福州质检] 已知抛物线,, . （1）若抛物线经过点,,与轴的另一个交点是 . ①求抛物线的解析式; [答案] 将，分别代入 ，得 解得 抛物线的解析式为 . 24 ②过点作轴,垂足为.延长至点,连接,若,求点 的坐标. [答案] 将代入 ， 得 ， 解得或 ， ， . 根据题意，得，，， ， 25 ， . ， ， . 设，则， . 在中， ， ， 解得 ， . （2）当时,已知点,在抛物线上,直线与直线 交于点.若当,时,有 成立,直接写出 的取值范围. [答案] 或 . 27 解法提示：设直线的解析式为 ， 将，分别代入，得 解得 直线的解析式为 . 当时， ， 抛物线的对称轴为直线 . 由 可分以下两种情况进行讨论： 28 ①当，，即 时， ， ， . 又 ， 此时 . 当时，;当 时， . 若，则 解得 . 29 ②当，，即 时, ， ， . 又 ， 此时 . 当时，;当时， . 若，则 30 解得 . 综上所述，或 ． 2.[2024龙岩质检] 抛物线与轴的交点为, ， 顶点为，对称轴与轴的交点为 ． 32 （1）求抛物线的解析式； [答案] 方法一：把,分别代入 ，得 解得 抛物线的解析式为 . 方法二：抛物线与轴的交点为, ， 抛物线的解析式为 . （2）连接，点在线段上，若上存在点，使得 ，且 ，求点 的坐标； [答案] 抛物线的对称轴为直线 ， 顶点为 ， , . 如图（1），过点作于点，易知 . 由 ，可知 . 又， ， ， , . 图（1） 34 方法一：设，则 . ， ， ，即，解得 ， . 35 图（1） 方法二：设，则 ， 点的坐标为 . ， ， 用待定系数法求得直线的解析式为 . 将代入，得 ， 解得， . 36 （3）点是抛物线上的一个动点（不与点,,重合），直线, 分别与 抛物线的对称轴相交于点,，求证：与 的面积相等． 图（2） 证明：如图（2），设点 ， ，且 . 设直线的解析式为 ， 依题意得 解得 37 直线的解析式为 . 当时， ， 点的坐标为 ， . 同理可求直线的解析式为 . 当时， ， 点的坐标为 ， . 图（2） 设点到直线的距离为 ， 则， ， ， ，即与 的面积相等. 图（2） 新课标 新考向 【新考向·新定义】我们定义:若点在一次函数 的图象上, 点在反比例函数的图象上,且满足点与点关于 轴对称,则称 二次函数为一次函数与反比例函数 的“衍生 函数”,点称为“基点”,点 称为“靶点”. （1）若二次函数是一次函数与反比例函数 的“衍生函数”,则___,___, ___. 1 2 1 40 （2）若一次函数和反比例函数的“衍生函数”图象的顶点在 轴上,且“基点”的横坐标为1,求“靶点” 的坐标. [答案] 由题可知“衍生函数”的解析式为,且其图象的顶点在 轴上， . “基点” 的横坐标为1， . 41 点与点关于 轴对称， . 反比例函数的解析式为 ， ， ， “靶点”的坐标为 . 42 （3）若一次函数和反比例函数 的“衍生函数” 的图象经过点 . ①试说明一次函数 的图象上存在两个不同的“基点”; [答案] 由题可知“衍生函数”的解析式为 ,且其图象经过点 ， . ， ， . 43 设“靶点”,则“基点” ， ， 整理,得 ， ， 方程有两个不相等的实数根， 一次函数 的图象上存在两个不同的“基点”. 44 ②设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标分别为, ,求 的取值范围. [答案] 由①可知, ， , ， . ， ， . 45 $$