5.2.1三角函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 锐角三角函数 在初中，我们已经学习了锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数， 规定：在中， 课堂导入 高中角的概念推广之后,在弧度制下，角与实数之间建立了一一对应的关系. 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数该如何定义呢？ 课堂导入 思考：三角函数的研究对象是什么？ 周期现象 圆周运动 单位圆上点的旋转运动 简单化 本质化       如图，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学函数模型，刻画点的位置变化情况. 问题1：要完成这个任务，我们需要什么工具来研究？ ①建立函数模型,要利用直角坐标系. ②根据弧度制的定义，需要借助单位圆. 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y). 射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.       课堂导入 概念形成 追问位置的变化和哪些因素有关？ 角度 课堂导入 概念形成       追问当α=时，点P的坐标是什么？ A(1,0) P O x α M 方法:过点P向x轴做垂线，得到 RT∆OPM，可以用锐角三角函数求点P的坐标； A(1,0) P O x α A(1,0) P O x α 追问当α=时，点P的坐标又是什么？ 课堂导入 概念形成 追问一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 点P的坐标都是唯一确定的. 从特殊到一般 追问5回顾函数的本质，你能给出这里存在的函数关系吗？ 非空实数集和非空实数集之间的唯一对应的关系 课堂导入 概念形成 唯一确定       角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于角α的函数 当角α确定时 点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 课堂导入 概念形成 总结提升 8 设是一个任意角， ∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin, 即 y=sinα; (2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos, 即 x=cosα (3)把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做的正切函数,记作tan, 即 (x≠0) 注：当时，即时，无意义. 课堂导入 概念形成 角 实数 (角的弧度) 三角 函数值 课堂导入 概念形成 问题2： 以上三个三角函数的定义域分别是什么呢? 正弦函数：y=sinx, 余弦函数：y=cosx, 正切函数：y=tanx, x∈R x∈R 它们都是以角（弧度）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 一一对应 多对一 多对一 建构联系，深化认知 问题3：本节三角函数定义与初中锐角三角函数的定义有什么关系呢？ 课堂导入 概念形成 11 课堂导入 概念形成 典例精讲 画终边 写坐标 计算函数值 例1. 解： 例2.如图，设一个任意角，它的终边上任意一点的坐标为点原点的距离为求证: . 课堂导入 概念形成 典例精讲 ┌ ┌ 解：如图：设角终边与单位圆相交于点轴的垂线，垂足分别为则 于是 课堂导入 概念形成 典例精讲 ┌ ┌ 即 因为，所以 即 同理可得 课堂导入 概念形成 典例精讲 建构联系，深化认知 问题4： 请观察右图r与x,y的关系是什么？ M r |x| |y| 追问：通过动画演示，任意角α 的三角函数值与什么相关？ 拓展提升 16 设角是一个任意角，P(x,y)是角终边上的任意一点，点P与原点的距离为 任意角α的三角函数值仅与α的终边位置有关，而与点P在角的终边上的位置无关. 拓展提升 只要知道角α终边上任意一点P的坐标，就能求角α的各个三角函数值 思考：我们发现三角函数值有正有负，那么三角函数值的正负与什么有关系？又何时为正，何时为负呢？ 余弦函数 正弦函数 正切函数 + + + + + + - - - - - - 课堂导入 概念形成 课堂探究 典例精讲 思考：我们发现三角函数值有正有负，那么三角函数值的正负与什么有关系？又何时为正，何时为负呢？ 余弦函数 正弦函数 正切函数 + + + + + + - - - - - - 课堂导入 概念形成 课堂探究 典例精讲 “一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 例3.求证：角θ为第三象限角的充要条件为   【证明】首先证明充分性：即如果①②都成立，那么θ为第三象限角. 因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y轴的负半轴重合； 又因为tanθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限； 综合可知：θ为第三象限角． 课堂导入 概念形成 课堂探究 典例精讲 20 再证明必要性：即如果θ为第三象限角，那么①②都成立. 因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， tanθ＞0，所以必要性成立， 综上可知，充要性成立． 课堂导入 概念形成 课堂探究 典例精讲 例3.求证：角θ为第三象限角的充要条件为   21 思考:如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同 终边与单位圆交点坐标相同 角的同一三角函数值相同 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 课堂导入 概念形成 课堂探究 典例精讲 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 公式一（弧度制） 公式一（角度制） 作用：将求任意角的三角函数值，转化为 求0～2π(或~)的角的三角函数值. 例4. 确定下列三角函数值的符号. (1) (2) (3) (4) 例5. 求下列三角函数的值. (1) (2) 课堂导入 概念形成 课堂探究 典例精讲 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 常见角的三角函数值                             无                   牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！ 今天我们学习了哪些内容？ 课堂小结 三角函数的定义域和函数值的符号                                                   [-1,1] [-1,1] 对锐角三角函数的理解： y=sinx x∈(0 ,), y=cosx x∈(0 ,), y=tanx x∈(0 ,), $$