精品解析： 上海市建平实验中学2023-2024学年九年级数学上学期10月月考试题

上海市建平实验中学2023学年第一学期阶段练习（1） 初三数学 一、选择题 1. 如果，那么等于(　 　) A. 3∶2 B. 2∶3 C. 3∶5 D. 5∶3 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】用参数法，由可设a=3k,b=2k,代入即可. 【详解】由可设a=3k,b=2k,（k≠0） 所以，= 故选C 【点睛】本题考核知识点：求比值. 解题关键点：运用参数法. 2. 已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（ ） A. 3∶2 B. 3∶5 C. 5∶2 D. 5∶3 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的合比性质直接求解即可． 【详解】解：由题意AP∶PB=2∶3， AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3； 故选择：D. 【点睛】本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答． 3. 下列两个三角形不一定相似的是 A. 两条直角边的比都是的两个直角三角形 B. 腰与底的比都是的两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个直角三角形 D. 有一个内角为的两个等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解． 【详解】解：A. 两条直角边的比都是的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意； B. 腰与底的比都是的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意； C. 有一个内角为的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意； D. 有一个内角为的两个等腰三角形，内角是的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似. 故选：D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 4. 如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两边成比例且夹角相等证明，即可判断A、B、D选项，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； C．无法推出， 故选项错误，符合题意； D．∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意， 故选：C． 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加后，能确定； B、添加后，仍不能确定； C、添加后，能确定； D、添加后，能确定． 故选：B． 6. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（　　） A. 15 B. 10 C. 7.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积． 【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∵AC＝2AD， ∴， ∴， ∵△ACD的面积为15， ∴△ABD的面积＝×15＝5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 二、填空题 7. 已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是____厘米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 8. 在比例尺为1:8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为____________千米 【答案】320 【解析】 【分析】根据比例尺=代入数据计算即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm， ∵比例尺=， ∴1：8000000=4：x， ∴x=32000000， ∴甲、乙两地的实际距离为是320km. 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=是解题的关键． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点，掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可求出结论． 【详解】解：根据黄金分割的定义， ∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于_____． 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：设△DEF的周长别为x， △ABC的三边长分别为4、5、6， ∴△ABC的周长＝4＋5＋6＝15， ∵△ABC∽△DEF， ∴， 解得，x＝45， 故答案为45． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 11. 两个相似三角形的周长比是，则它们的面积之比是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，即可获得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比是． 故答案为：． 12. 如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例的性质得到，从而可计算出DE的长． 【详解】解：， ∴，即， ，即， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 13. 如图，在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，利用三角形重心的性质得到，再根据平行判断然后利用相似比可求出的长是解题的关键． 【详解】延长交于，如图, ∵点是的重心， ， ， ， 而 ， ， ， ， ， 故答案为． 14. 如图，在中，，分别交于点E、交的延长线于点F，且，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得，可得，即可求的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，先由勾股定理求出，再过点作于，由的比例线段求得结果即可，正确把握相关性质是解题的关键． 【详解】如图所示，过作于点， 由题意可得：，， 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点、分别在边、上，已知，△ABC的高，则正方形的DEFG边长为____. 【答案】2. 【解析】 【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，所以AM=3-x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到，然后根据比例的性质求出x即可． 【详解】高AH交DG于M，如图， 设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x， ∴AM=AH-MH=3-x， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即， ∴x=2， ∴正方形DEFG的边长为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质． 17. 我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中的中线互相垂直于点，如果，，那么两点间的距离是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】连接DE，设BD、CE交于点G，证明DE是△ABC的中位线，得出DE=BC，DE∥BC，证明△GDE∽△GBC，得出，求出GC=8，GE=6，由勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】连接DE，设BD、CE交于点G，如图所示： ∵△ABC的中线BD、CE互相垂直， ∴DE是△ABC的中位线，∠BGC=90°， ∴DE=BC，DE∥BC， ∴△GDE∽△GBC， ∴， ∴，， ∴， ∴DE=5； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝4，根据勾股定理得到BD＝，DE＝，过B作BF⊥DD1于F，根据相似三角形的性质得到EF＝，求得DF＝，根据旋转的性质得到BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴AB＝AD＝4， ∴BD＝AB＝4， ∵点E为边AB的中点， ∴AE＝AB＝2， ∵∠EAD＝90°， ∴DE＝， 过B作BF⊥DD1于F， ∴∠DAE＝∠EFB＝90°， ∵∠AED＝∠BFE， ∴△ADE∽△FEB， ∴EF＝， ∴DF＝， ∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1， ∴BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE， ∴DD1＝2DF＝，△D1BD∽△E1BE， ∴， ∴， ∴EE1＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 19. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 20. 在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则 的边长为多少？ 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得是解答此题的关键．由，可证得；可用等边三角形的边长表示出的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】是等边三角形， ， , , ， 设， ， ， 解得：， 即, 故的边长为9 21. 已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点． （1）求证：是和的比例中项； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵在平行四边形中，， ∴， ∴ ① ∵在平行四边形中，， ∴， 得 ．② 由①②得 即 ． 所以是和的比例中项． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据平行四边形对边平行证明，，进而可得，从而得出结论； （2）证明，根据由相似三角形的面积比等于相似比的平方即得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在平行四边形中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得 ． 22. 如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 【答案】FN：ND=2：3． 【解析】 【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可． 【详解】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E， ∴， ∵AF：BF=1：2， ∴=， ∴， 即FE=BC， ∵BC：CD=2：1， ∴CD=BC， ∵FE∥BD， ∴． 即FN：ND=2：3． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目． 23. 如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且． （1）求证：； （2）当E为的中点时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由，推出，由，可得，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点． （1）求出点，点的坐标； （2）如果，求点坐标； （3）若为轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）在一次函数中，令，求出，即可求得点的坐标；令，求出，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：设，由题意可证得，再根据相似的性质可得，根据两点间距离公式列出等式即可求解；设，由题意可得，根据两点间距离公式列出等式即可求解； （3）分两种情况讨论：当时；当时，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，， 令，得，令，得， ，； 【小问2详解】 解：根据题意，有两种情况，如图，分别设为，， ，， ， ， ， 由（1）知，， 又， ，， ， 设， ， 化简得：， 解得：或， 在第一象限，， ， ； 设， ， ， 又，， ， ， 化简得：， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点坐标为或； 【小问3详解】 解：由题意得点应位于点左侧， 当时，如下图所示，设， ， ， 由（2）知， 又，， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 当时，如下图所示，设， ， 又， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 25. 如图，在中，已知，点P是边上的一个动点，联结，过点B作，垂足为D． （1）如图1，当经过的重心时，求证：； （2）如图2，若，点P从点A向点B运动（不与点A，B重合），点P的速度是，设点P运动的时间为，的面积为，求出y关于t的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如图3，在第（2）小题的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的面积． 【答案】（1） 证明：经过的重心， 是中线，P是的中点， ， ， ， 又， ； （2） （3）为或 【解析】 【分析】（1）根据重心定义可得到是中线，P是的中点，再根据等腰三角形的判定与性质得到，结合已知即可得出结论； （2）过点C作，垂足为点E，根据相似三角形的性质和勾股定理得出的长，再表示出，利用相似三角形性质求和勾股定理得出，利用表示出即可得出结果； （3）分情况①若，则，即；②若，则，即，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点C作，垂足为点E, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①若，则，即， 解得，（舍），， 将入，得， ②若，则，即， 解得，， 将入，得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的几何应用，二次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建平实验中学2023学年第一学期阶段练习（1） 初三数学 一、选择题 1. 如果，那么等于(　 　) A. 3∶2 B. 2∶3 C. 3∶5 D. 5∶3 2. 已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（ ） A. 3∶2 B. 3∶5 C. 5∶2 D. 5∶3 3. 下列两个三角形不一定相似的是 A. 两条直角边的比都是的两个直角三角形 B. 腰与底的比都是的两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个直角三角形 D. 有一个内角为的两个等腰三角形 4. 如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（　　） A. 15 B. 10 C. 7.5 D. 5 二、填空题 7. 已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是____厘米． 8. 在比例尺为1:8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为____________千米 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______ 10. 如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于_____． 11. 两个相似三角形的周长比是，则它们的面积之比是______． 12. 如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______． 13. 如图，在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为______． 14. 如图，在中，，分别交于点E、交的延长线于点F，且，则的长为______ 15. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_____． 16. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点、分别在边、上，已知，△ABC的高，则正方形的DEFG边长为____. 17. 我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中的中线互相垂直于点，如果，，那么两点间的距离是__________. 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为______． 三、解答题 19. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 20. 在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则 的边长为多少？ 21. 已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点． （1）求证：是和的比例中项； （2）若，求的值． 22. 如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 23. 如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且． （1）求证：； （2）当E为的中点时，求证：． 24. 如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点． （1）求出点，点的坐标； （2）如果，求点坐标； （3）若为轴上一点，且与相似，求点的坐标． 25. 如图，在中，已知，点P是边上的一个动点，联结，过点B作，垂足为D． （1）如图1，当经过的重心时，求证：； （2）如图2，若，点P从点A向点B运动（不与点A，B重合），点P的速度是，设点P运动的时间为，的面积为，求出y关于t的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如图3，在第（2）小题的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $