精品解析：江苏省连云港市海州区2024-2025学年上学期期中学业质量调研九年级数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业质量调研 九年级数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，满分24分．每题只有一个正确答案，请把答案写在答题纸上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 3. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 4. 如果关于的一元二次方程 没有实数根，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 A. 25π B. 65π C. 90π D. 130π 8. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程 的一次项系数是__________． 10. 如图， 是外接圆， ， 则的大小是____________°． 11. 在某校九年级安全疏散演习中,各班疏散的时间分别是3分,2分40秒,3分20秒,3分30秒,2分45秒,这次演习中,疏散时间的极差为____秒. 12. 如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度． 13. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按2：3：5的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的上述成绩分别为95分、80分、82分，则小明这学期的英语成绩是______分． 14. 若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则2a2+2a+1的值为_____． 15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________． 16. 如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是_______ 三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17. 解下列方程 （1）4x2﹣1=0 （2）x2﹣4x+3=0（配方法） （3）2x2+x﹣1=0（公式法） 18. 甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均/环 中位数/环 众数/环 甲 7 b 7 乙 a 7.5 c （1）写出表格中的a、b、c的值； （2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定． 19. 如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）画出的外接圆圆心． （2）连结， ， 则的长为 ． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…① （1）若x＝﹣1是方程①一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①根的情况，并说明理由． 21. 已知：如图，直线l和直线外一点P，求作：过点作直线，使得． 作法：①在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点； ②连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； ③作直线． 直线即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：连接． ， 　　． ∴∠ （ ） （填推理依据）． 直线直线. 22. 旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准： 一单位组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费元． 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加人，人均收费降低元，但人均收费不低于元 请问： （1）该单位去该风景区旅游的人数是否超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？ 23. 阅读下面例题：解方程 解：当时，原方程化为 解得： (不合题意，舍去)； 当时，原方程化为 解得： (不合题意，舍去)， ∴原方程的根是． （1）已知方程 则此方程的所有实数根的和为 ； （2）解方程 24. 已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连结CD并延长交BE的延长线于点A． （1）证明：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长． 25. 如图，等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相等的速度作直线运动．已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点． （1）当时， ； （2）当长为何值时，与的面积相等？ （3）作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？ 证明你的结论． 26. 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中学业质量调研 九年级数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，满分24分．每题只有一个正确答案，请把答案写在答题纸上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程整理，得：，不含有二次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可判断． 【详解】∵小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩， 由此可得所用的统计量是中位数； 故选A． 【点睛】此题主要考查中位数的意义，解题的关键是熟知中位数的定义． 3. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r, ∵d=OA=3, ∴d<r， ∴点A在圆内， 故选：B． 4. 如果关于的一元二次方程 没有实数根，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据方程没有实数根，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 5. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 6. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】B 【解析】 【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断． 【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角． 故选B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键． 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 A. 25π B. 65π C. 90π D. 130π 【答案】B 【解析】 【详解】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5， ∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π． 故选B． 8. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再利用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1、图2可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形面积为： ． 故选：B． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程 的一次项系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则一次项系数为． 故答案为：． 10. 如图， 是的外接圆， ， 则的大小是____________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．由是的外接圆，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：是的外接圆，， ． 故答案为：． 11. 在某校九年级安全疏散演习中,各班疏散的时间分别是3分,2分40秒,3分20秒,3分30秒,2分45秒,这次演习中,疏散时间的极差为____秒. 【答案】50 【解析】 【分析】根据极差的公式计算即可． 【详解】数据中最大的值3分30秒=210秒，最小值2分40秒=160秒，所以疏散时间的极差=210﹣160=50（秒）． 故答案为50． 【点睛】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 注意：（1）极差的单位与原数据单位一致； （2）如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确． 12. 如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度． 【答案】35 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可求解． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠C=90°， ∵， ∴∠BAC=55°， ∵AD与相切， ∴AB⊥AD，即∠BAD=90°， ∴∠CAD=90°-∠BAC=35°． 故答案为：35 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 13. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按2：3：5的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的上述成绩分别为95分、80分、82分，则小明这学期的英语成绩是______分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数（其中． 根据加权平均数的公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分． 答：小明这学期的英语成绩是84（分）． 故答案为：84． 14. 若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则2a2+2a+1的值为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】把x＝a代入已知方程，求得（a2+a）的值，然后将其代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：根据题意，得 a2+a﹣5＝0，即a2+a＝5 则2a2+2a+1＝2（a2+a）+1＝2×5+1＝11． 故答案是：11． 【点睛】考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图：由旋转可得： ∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2， S扇形ACA′==， S扇形BCB′==， 则线段AB扫过的图形的面积为=， 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键． 16. 如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，如图过点作于，延长交于．点与重合时，的面积最大，求出、的值即可解决问题． 【详解】解：如图过点作于，延长交于． 直线的解析式为 点的坐标为，点的坐标为， 即，，由勾股定理得：， 过作于，连接， ： ， ， 圆上点到直线的最大距离是， 面积的最大值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17. 解下列方程 （1）4x2﹣1=0 （2）x2﹣4x+3=0（配方法） （3）2x2+x﹣1=0（公式法） 【答案】（1）x=±；（2）x1=3，x2=1；（3）x1=，x2=﹣1； 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可． 【详解】解：（1）方程整理得： 开方得： （2）方程整理得：x2﹣4x=﹣3， 配方得：x2﹣4x+4=1，即（x﹣2）2=1， 开方得：x﹣2=1或x﹣2=﹣1， 解得：x1=3，x2=1； （3）这里a=2，b=1，c=﹣1， ∵△=1+8=9， ∴ 解得： 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 18. 甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均/环 中位数/环 众数/环 甲 7 b 7 乙 a 7.5 c （1）写出表格中的a、b、c的值； （2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定． 【答案】（1）a＝7，b＝7，c＝8；（2）甲队员的射击成绩较稳定 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的计算公式、中位数、众数的概念解答； （2）利用方差的计算公式求出S甲2，根据方差的性质判断即可． 【详解】解：（1）a＝（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）＝7，b＝7，c＝8； （2）S甲2＝×[（5﹣7）2×1+（6﹣7）2×2+（7﹣7）2×4+（8﹣7）2×2+（9﹣7）2×1]＝1.2， 则S甲2＜S乙2， ∴甲队员的射击成绩较稳定． 故答案为（1）a＝7，b＝7，c＝8；（2）甲队员的射击成绩较稳定. 【点睛】本题考查的是加权平均数、方差的计算，掌握加权平均数的计算公式、方差的计算公式是解题的关键． 19. 如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）画出的外接圆圆心． （2）连结， ， 则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的外心，勾股定理与网格，求弧长； （1）作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求解； 【小问1详解】 解：如图，点即所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…① （1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 【答案】（1）m=1，方程另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根； （2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． 【详解】解：(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1， ∴x2﹣x﹣2＝0． 解得， ∴另一根是2； (2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系和熟练地解方程． 21. 已知：如图，直线l和直线外一点P，求作：过点作直线，使得． 作法：①在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点； ②连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； ③作直线． 直线即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：连接． ， 　　． ∴∠ （ ） （填推理依据）． 直线直线. 【答案】（1）见详解 （2），，同弧或等弧所对的圆周角相等 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，圆周角定理等知识， （1）根据要求画出图形即可． （2）连接，只要证明即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作． 【小问2详解】 证明：连接． ， ， （同弧或等弧所对的圆周角相等）， 直线直线． 故答案为：，，同弧或等弧所对的圆周角相等． 22. 旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准： 一单位组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费元． 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加人，人均收费降低元，但人均收费不低于元 请问： （1）该单位去该风景区旅游的人数是否超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？ 【答案】（1）单位去风景区旅游人数超过人 （2）该单位去风景区旅游人数为人 【解析】 【分析】本题考主要查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算； （1）求出当人时的旅游费用，再比较即可； （2）设该单位去风景区旅游人数为人，则人均费用为元，根据共支付给旅行社旅游费用元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：当人时，旅游费用为：元， ， 该单位去风景区旅游人数超过人； 【小问2详解】 设该单位去风景区旅游人数为人，则人均费用为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去； 当时，人均旅游费用为，符合题意； 答：该单位去风景区旅游人数为人． 23. 阅读下面的例题：解方程 解：当时，原方程化为 解得： (不合题意，舍去)； 当时，原方程化为 解得： (不合题意，舍去)， ∴原方程的根是． （1）已知方程 则此方程的所有实数根的和为 ； （2）解方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、一元二次方程的解及解一元二次方程； （1）根据题意，对的正负进行分类讨论即可解决问题． （2）根据题意，对的正负进行分类讨论即可解决问题． 【小问1详解】 解：当时， 原方程化为， 解得不合题意，舍去； 当时， 原方程化为， 解得不合题意，舍去， 所以原方程的根是， 所以此方程的所有实数根的和为． 故答案为：． 【小问2详解】 当，即时， 原方程化为， 解得，都不合题意，舍去． 当，即时， 原方程化为， 解得， 所以原方程的解为． 24. 已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连结CD并延长交BE的延长线于点A． （1）证明：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）连接OD，通过证△CBO≌△CDO来得到∠CDO ＝∠CBO，由于BC且⊙O于B，根据切线的性质知∠CBO＝90°，从而得到∠CDO ＝90°，问题得到证明； （2）根据切割线定理可求得AB的长，然后设CD＝BC＝x，则可得AC＝2＋x，然后根据勾股定理列方程进行求解即可得． 【详解】解：（1）连接OD， ∵ED∥OC， ∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO， ∵OD＝OE， ∴∠DEO＝∠EDO， ∴∠COB＝∠COD， 在△BCO和△DCO中，， ∴△BCO≌△DCO（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO， ∵BC为圆O切线， ∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°， ∴∠CDO＝90°， 又∵OD为圆的半径， ∴CD为圆O的切线； （2）∵CD，BC分别切⊙O于D，B， ∴CD＝BC， ∵AD是切线，AB是割线， ∴AD2＝AE•AB，即22＝1•AB， ∴AB＝4， 设CD＝BC＝x，则AC＝2＋x， ∵AC2＝AB2＋BC2 ∴（2＋x）2＝42＋x2， 解得：x＝3， ∴CD＝3 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及全等三角形的判定和性质，切线的判定，切割线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键． 25. 如图，等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相等的速度作直线运动．已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点． （1）当时， ； （2）当的长为何值时，与的面积相等？ （3）作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？ 证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）线段的长度不会改变， 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识， （1）根据勾股定理即可求出答案； （2）先计算出的面积，都是以为底，为高，分两种情况进行讨论：①当在线段上；②当在延长线上．根据三角形的面积公式即可得出所求的的长． （3）本题要分两种情况进行计算：①当在线段上时，当点在线段上时，过作，交直线于点，那么不难得出，因此，，即可得出的长．②当在线段延长线上时，同理可得．然后比较①②的的长是否相等即可判断出线段的长度是否改变． 【小问1详解】 解：∵等腰的直角边， ∴， ， ，， 在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 ． ①当点在线段上时（如图， 设的长为，则，． ， 令，即，此方程无解； ②当点在延长线上时（如图， ． ，． ， 令，即，解得（负值舍去）． 故当的长为时，； 【小问3详解】 线段的长度不变， 理由如下：如图，当点在线段上时，过作，交直线于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，如图所示， 同理可得， ，， 同理可得， ， 综上所述：线段的长度不会改变，． 26. 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1），理由见详解；（2）；（3）的值最大是；（4）的最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图，连接，根据等边三角形的性质可证，由此即可求解； （2）根据题意可得的最大值即为的最大值，当点三点共线时，的值最大，由的半径为1， 点，得到的最大值为，由此即可求解； （3）根据题意，将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，得到，，则是等腰直角三角形，则有的最大值即为的最大值，当点三点共线时，，即最大值为，分别求出，的值即可求解； （4）根据题意，分类讨论：以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最大值即为的最大值，当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大；当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最小值即可为的最小值，当时，的值最小；根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）与相等的线段是，理由如下， 根据题意，，是等边三角形，作图如下，连接， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的上， ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与相等的线段是， 故答案为：； （2）∵， ∴的最大值即为的最大值， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，的值最大， ∵的半径为1， 点， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）∵， ∴将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，则， ∴，，则是等腰直角三角形， ∴的最大值即为的最大值， ∵， ∴当点三点共线时，，即最大值为， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的值最大是， ∴的值最大是； （4）如图所示，以为边等边在左侧时，以为边作等边，连接， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值即为的最大值， ∵点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点， ∴当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大，如图所示，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； 如图所示，当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值即可为的最小值，当时，的值最小， 同理，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 综上所述，的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查坐标于图形，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识的综合运用，掌握圆的基础知识，正确作出辅助线，构造三角形全等，数形结合分析思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$