精品解析：四川省宜宾市龙文学校2024—2025学年上学期八年级数学半期考试试题

四川省宜宾市龙文学校2024年秋期八年级联考试题 数 学 （考试时间：120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、考号填写在答题卡上相应的位置． 2.答选择题时请使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，将答案书写在答题卡相应的位置，答在试卷上无效，在答题卡以外的地方答题无效． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义，解题的关键在于熟练掌握算术平方根的定义． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 2. 在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答． 【详解】， 在，3.14，，，，，中 无理数有：，，，共3个， 故选择：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识，解题的关键是熟记法则与公式． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ）． A. 同角的余角互补 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，余角，同位角，线段的性质，三角形外角等知识，根据其概念和性质进行判断即可． 【详解】解：A．同角的余角相等，故原命题是假命题，不符合题意； B．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题是假命题，不符合题意； C．两点之间线段最短，故原命题是真命题，符合题意； D．两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 当时，可以证明；故选项A不符合题意； 当时，不能判定；故选项B符合题意； 当时，可以证明；故选项C不符合题意； 当时，可以证明；故选项D不符合题意； 故选B． 6. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交于点D．若，，则的周长为 （　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图可得，再结合和平行线的性质可得，最后计算的周长即可． 【详解】解：由作图方法可得是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 的周长为9． 故选：A． 7. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知证明，得出，根据邻补角定义得出 ，即可求出结果； 本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角定义，熟悉网格结构，通过观察网格证明是解题的关键． 【详解】解：在与中， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：A． 8. 关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式进行计算，根据题意令项的系数为0，且常数项为，得出m，n的值，进而即可求解． 【详解】解：， ∵结果中不含x的二次项，且常数项为， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 9. 如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　） A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质有，由等腰三角形的性质有，推出，于是得出结论． 【详解】∵， ∴． ∵点M在PA的中垂线上，点N在PC的中垂线上， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和，等腰三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，能够利用等量代换得出是解题的关键． 10. 如图，已知的面积为14，平分，且于点P，则的面积为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于D，证明得到，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中线平分三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】解：如图所示，延长交于D， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选： C． 11. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D, 且AB+BD=DC，则∠C的大小为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】在DC上取DE=DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD=ED，AD=AD．证明△ABD≌△AED即可求解； 【详解】 如图，在DC上取DE=DB.连接AE， 在Rt△ABD和Rt△AED中， ∴△ABD≌△AED. ∴AB=AE，∠B=∠AED. 又∵AB+BD=CD. ∴EC=CD−DE=CD−BD=(AB+BD)−BD=AB=AE， 即EC=AE， ∴∠C=∠CAE, ∴∠B=∠AED=2∠C, ∵∠B+∠C=180°−∠BAC=60°, ∴∠C=20°， 故选A. 【点睛】本题考查三角形内角和定理, 等腰三角形的性质，掌握三角形内角和定理, 等腰三角形的性质是解题的关键. 12. 如图，在第1个中，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，，按此做法继续下去，则第2024个三角形中以为顶点的内角度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质，由，得那么，由，得 ，根据三角形外角的性质，由，得，以此 类推得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得∶． 以此类推，以为顶点的内角度数是； ∴以为顶点的内角度数是． 故选：C． 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)．请把答案直接填写在对应题中横线上． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法逆用，积的乘方的逆用，根据积的乘方运算的逆运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 已知，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘法则．先把27和81写成底数是3的幂，然后把已知等式的左边按照幂的乘方法则和同底数幂相乘法则进行计算，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：4． 15. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角， 此逆命题为假命题． 故答案为：假． 16. 已知，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先根据完全平方公式将原式整理成，再代入求解即可． 【详解】解： 故答案为：10． 17. 如图，的面积为8，，，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 连接，由的面积为8，，，可得，再根据是线段垂直平分线，可推出的长为的最小值，从而得出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：9． 18. 如图，在中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；．其中正确的结论序号有_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力． ①由等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得则得到，可判断为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出证，即可判断②③；只要证明，即可推出，由此可知④正确． 【详解】∵等腰中，， ∴， ∵平分， ， ∴为等腰三角形，所以①正确； 由①得， 又M为的中点， 在和中 ∴， ∴， ∴②③正确； 如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为①②③④． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 19. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数得混合运算，因式分解； （1）先进行根式化简，乘方运算，平方差运算，再算除法，最后计算加减法即可； （2）先对多项式进行化简，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 20. 化简求值：，其中 【答案】，2020 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算化简求值，非负性等知识；先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负性求出x，y的值，最后代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 解得：， ， ∵， ∴原式． 21. 如图，已知点C，D都在线段上，， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得出，再根据即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出对应角相等，再根据平行线的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，是的外角的平分线． （1）用直尺和圆规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 过点作，垂足为点； 作的平分线，与交于点； （2）在的条件下，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】（1） ①如图： ②如图： （2） 解：， 理由如下： ， ， 是的外角， ， 平分， ， ， 平分， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形外角与内角的关系． （1）①根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作； ②根据作已知角的平分线的方法作平分； （2）首先根据等边对等角可证，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和可得，根据角平分线的定义可知，从而可证，再根据角平分线的定义和平行线的性质可证． 【小问1详解】 解：①如下图所示，分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧， 两弧交于点，连接交于点， 则有垂足为点； ②如下图所示，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 连接并延长交于点，则为的平分线； 【小问2详解】 略 23. 《2022年义务教育数学课程标准》关于核心素养之运算能力的描述为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”．下面请阅读理解并运算： 【理论依据】当我们学习乘方运算后，我们知道所以若，则； 当我们会运用整体思想后，可以解决这样的问题： 若， 所以， 所以或， 所以或； 当我们学习完全平方公式后，可以继续解决这样的问题： 若， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或． 【实际应用】请仿照上面的方法解决下面的问题： （1）解关于x的方程； （2）解关于x的方程； （3）关于x的方程（其中、、为常数，且，）；请直接写出方程的解 ． 【答案】（1）或8 （2）1或2 （3） 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式，配方解一元二次方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）先移项，再配方，利用完全平方差公式变形后直接开平方即可得到答案； （2）先移项，再配方，利用完全平方差公式变形后直接开平方即可得到答案． （3）先移项，再配方，利用完全平方差公式变形后直接开平方即可得到答案． 【小问1详解】 或 即 【小问2详解】 ， 或 即 【小问3详解】 ， ， ， 故答案为： 24. 已知，是实数，定义关于“Δ”的一种运算如下：Δ． （1）Δ= ，Δ=　　； （2）利用以上信息计算： ①若Δ，，则 ， ； ②若，求的值； （3）请判断等式是否成立？并说明理由． 【答案】（1）， （2）①26，；②25 （3） 成立， 理由如下： ∵， ， 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用所给公式结合完全平方公式计算，然后化简即可； （2）①利用（1）所给规律分别进行计算即可； ②利用，代入即可得解； 【小问1详解】 由新定义运算可知： Δ． Δ=， 故答案为：， 【小问2详解】 ①∵Δ 即， 又， ， 又， ， 故答案为： ②， 又， ∴上式 【小问3详解】 略 25. （1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的思路是延长到点G，使得，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论是 ．请你帮他完善证明过程． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O的北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心O的南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且两舰艇之间的夹角为（即），请直接写出甲、乙两舰艇之间的距离为 海里． 【答案】（1）他的结论是，理由如下： 延长到点G，使得，连接，如图1， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）结论是成立，理由如下： 延长到点G，使得，连接，如图2， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）210 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的综合，全等三角形的判定及性质等知识； （1）延长到点G，使得，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使得，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后利用（2）的结论，列式得即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接，延长相交于点C， ∵， ， ∴， 又∵， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宜宾市龙文学校2024年秋期八年级联考试题 数 学 （考试时间：120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、考号填写在答题卡上相应的位置． 2.答选择题时请使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，将答案书写在答题卡相应的位置，答在试卷上无效，在答题卡以外的地方答题无效． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ）． A. 同角的余角互补 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等 5. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交于点D．若，，则的周长为 （　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 7. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　） A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 10. 如图，已知的面积为14，平分，且于点P，则的面积为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D, 且AB+BD=DC，则∠C的大小为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 12. 如图，在第1个中，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，，按此做法继续下去，则第2024个三角形中以为顶点的内角度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)．请把答案直接填写在对应题中横线上． 13. 计算：______． 14. 已知，则_________． 15. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 16. 已知，，则________． 17. 如图，的面积为8，，，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为________． 18. 如图，在中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；．其中正确的结论序号有_________． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 19. （1）计算： （2）因式分解： 20. 化简求值：，其中 21. 如图，已知点C，D都在线段上，， （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，在中，，是的外角的平分线． （1）用直尺和圆规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 过点作，垂足为点； 作的平分线，与交于点； （2）在的条件下，试判断与的关系，并说明理由． 23. 《2022年义务教育数学课程标准》关于核心素养之运算能力的描述为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”．下面请阅读理解并运算： 【理论依据】当我们学习乘方运算后，我们知道所以若，则； 当我们会运用整体思想后，可以解决这样的问题： 若， 所以， 所以或， 所以或； 当我们学习完全平方公式后，可以继续解决这样的问题： 若， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或． 【实际应用】请仿照上面的方法解决下面的问题： （1）解关于x的方程； （2）解关于x的方程； （3）关于x的方程（其中、、为常数，且，）；请直接写出方程的解 ． 24. 已知，是实数，定义关于“Δ”的一种运算如下：Δ． （1）Δ= ，Δ=　　； （2）利用以上信息计算： ①若Δ，，则 ， ； ②若，求的值； （3）请判断等式是否成立？并说明理由． 25. （1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的思路是延长到点G，使得，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论是 ．请你帮他完善证明过程． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O的北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心O的南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且两舰艇之间的夹角为（即），请直接写出甲、乙两舰艇之间的距离为 海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $