精品解析：安徽省滁州市第三中学2024-2025学年九年级上学期第三次数学练习

九年级第三次数学练习 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时y随x增大而增大 C. 对称轴为 D. 当时y随x增大而增大 2. 把二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A. 1：3 B. 1：8 C. 1：9 D. 1：4 7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m 9. 如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号的长为半径在右侧作弧，两弧交于点G，③射线交于点F．若，则的值为( ) A. B. C. D. 10. 函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 反比例函数的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是_______． 12. 已知中，，，则______． 13. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为__________ 14. 如图，折叠矩形ABCD的∠B，使得点B的对应点E落在对角线AC上，折痕为MN，点M，N分别在边AB，BC上． （1）若∠AME=90°，则四边形MBNE的形状是______； （2）过点E作EF⊥AD，垂足为点F，若AB=1，BC=2，∠AEM=90°，则EF=______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算 16. 如图，的三个顶点坐标分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标． （2）的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3] （1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ． （2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 18. 如图，E为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 20. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统，它极大的方便了航海时轮船的定位． 如图，灯塔B位于港口A的北偏东方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为9km． 一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，） 六、（本题满分12分） 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 八、（本题满分14分） 23. 【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次数学练习 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时y随x增大而增大 C. 对称轴为 D. 当时y随x增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴，逐一判断即可． 【详解】二次函数顶点式解析式为：， 抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， A、C选项不符合题意； 抛物线的对称轴为， 当时y随x增大而增大，故B选项符合题意； 当时y随x增大而减小，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 把二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”即可作答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位的二次函数表达式是， 故选：C． 3. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式的特征直接解答即可．此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的解析式可知顶点是， ∵函数开口向上， ∴函数有最小值是． 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C 【详解】∵函数与的图像交于点P(，)， ∴，，即，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 5. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°， ∵OA⊥OB，tan∠BAO=2， ∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∴， ∵，， ∴，∴， ∵k＜0， ∴k=﹣8． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A. 1：3 B. 1：8 C. 1：9 D. 1：4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答． 【详解】∵S△EFC＝3S△DEF， ∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比）， ∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴DE：BC＝DF：FC＝1：3 同理△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC＝1：9， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方． 7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案． 【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB， ∴DF∥AC， ∵AF∥EB， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDF是矩形， ∴DF＝AC， 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°， ∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m）， ∴DF＝AC＝1.12（m）， 在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°， ∴tan∠PEB＝≈0.4， ∴DE≈＝2.8（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键． 9. 如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号的长为半径在右侧作弧，两弧交于点G，③射线交于点F．若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，证明是菱形，再根据勾股定理可得，即可解得． 【详解】∵以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E， ∴， ∵分别以点B，E为圆心，以大于号的长为半径在BE右侧作弧，两弧交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴，即， ∵， ∴， 根据勾股定理可得， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了基本作图-作角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数，解题的关键是熟悉菱形的性质． 10. 函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先补全函数图象，再根据图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，补全后的函数图象如下图所示： 由图可知，函数图象关于轴对称，故①正确； 函数有最大值，没有最小值，故②错误； 当时，随的增大而增大，故③正确； 当时，直线与函数图象有4个交点，因此关于的方程有4个实数根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④，共3个， 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 反比例函数的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象的一个分支在第三象限，可得，解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象的一个分支在第三象限， ， 解得， 故答案为：． 12. 已知中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，设，则．根据勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为__________ 【答案】5米 【解析】 【分析】作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F，不难证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的相似比等于高之比列方程，求出AH的长度即可. 【详解】作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F， 由题意得，AF=0.1，BC=0.038，DE=1.9， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴==， ∴=， ∴AH=5. 故答案为5米. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比等于高之比列方程是解题的关键. 14. 如图，折叠矩形ABCD的∠B，使得点B的对应点E落在对角线AC上，折痕为MN，点M，N分别在边AB，BC上． （1）若∠AME=90°，则四边形MBNE的形状是______； （2）过点E作EF⊥AD，垂足为点F，若AB=1，BC=2，∠AEM=90°，则EF=______． 【答案】 ①. 正方形 ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，结合已知条件和正方形的判定即可得出结论； （2）结合已知条件得出A、E、N三点共线，先根据勾股定理得出AC的长，再根据△AEF∽△CAB，从而得出比例式，即可得出EF的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， 由折叠的性质可得：∠MEN=∠B=90°，BM=EM； ∵∠AME=90°， ∴∠BME=90°， ∴四边形MBNE是矩形， ∵BM=EM， ∴四边形MBNE是正方形， （2）∵∠AEM=90°，∠MEN=∠B=90°， ∴A、E、N三点共线，如图，C、N两点重合 在Rt△ABC中，AB=1，BC=2， ∴； 由折叠的性质可得：CE=BC=2， ∴ ∵EF⊥AD， ∴∠EFA=∠B=90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB ∴△AEF∽△CAB， ∴ ∵，，AB=2； ∴， 故答案为：正方形， 【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，得出A、E、N三点共线是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角形函数的混合运算、零次幂、乘方，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用特殊角的三角函数值、零次幂、乘方化简，然后再计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，的三个顶点坐标分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标． （2）的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？ 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，能根据位似中心找到位似图形中对应点的位置是解题的关键． （1）依据位似中心及位似比的大小即可作出； （2）根据位似比和位似图形的位置即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵与的位似比为，在y轴左侧， ∴的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3] （1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ． （2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 【答案】（1）[，−1，−1]；（2）m1＝−1，m2＝. 【解析】 【分析】（1）利用“图象数”的定义求解； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，然后根据判别式的意义得到△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，从而解m的方程即可． 【详解】解：（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[，−1，−1]； 故答案为[，−1，−1]； （2）二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1， 根据题意得：△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0， 解得：m1＝−1，m2＝． 【点睛】本题考查了新定义及抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． 18. 如图，E为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，由（1）知，，从而得到，可证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， 由（1）知，， ． 又， ， ， 即， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数求函数解析式、反比例函数的几何意义； （1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求； （2）根据函数图象，写出反比例函数在直线上方的自变量的取值范围，即可求解． （3）根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点， ∴，解得，． ∴反比例函数的解析式为． ∵直线过点，， ∴，解得，． ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数与反比例函数的交点为， 根据函数图象可得当时，或 【小问3详解】 解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别， ∵，， ∴， ∵反比例数， ∴ 又∵ ∴． 20. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统，它极大的方便了航海时轮船的定位． 如图，灯塔B位于港口A的北偏东方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为9km． 一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，） 【答案】32km 【解析】 【分析】延长交直线于点E，则，解直角三角形，求出，可得，解直角三角形，求出，进而可得结果． 【详解】解：延长交直线于点E，则， 在直角三角形中，， ∴，， ∵， ∴， 则在直角三角形中，∵， ∴， ∴km； 答：D处距离港口A32km． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键． 六、（本题满分12分） 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【答案】（1）20元 （2）15元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）根据商场平均每天盈利元，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出利润与降价之间的函数关系式，然后再根据每件盈利不少于元，可以得到降价的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到降价多少元时，平均每天盈利最大． 【小问1详解】 解：设若商场平均每天盈利元，则每件衬衣应降价元， ， 解得 ∵扩大销售， ∴， 答：若商场平均每天盈利元，则每件衬衣应降价元； 【小问2详解】 解：设利润为元，降价元， 由题意可得： ∵要求每件盈利不少于20元， ， 解得 ∴当时，取得最大值，此时， 答：降价元时，平均每天盈利最大． 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；②石块能飞越防御墙； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 【答案】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论； （2）先证明，得，进而即可求解； （3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）如图，在上取一点F，使得，连结． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $