专题04 全等三角形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题04 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形中的手拉手 【解惑】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【融会贯通】 1．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 类型二、全等三角形的一线三等角 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 3．如图1，，过点的直线l不经过三角形的内部，过点、作，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，求图1中四边形的面积；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，求四边形面积；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 类型三、全等三角形的倍长中线法 【解惑】如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 类型四、全等三角形的最值 【解惑】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．4 B． C．5 D．6 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．如图，在中，，，于点，于点，．点，点分别在线段，上，，连接，．当取最小值时 ． 3．已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，连接、．求证：； (2)如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数； (3)如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________． (4)如图4，若，，，求的度数． 类型五、全等三角形的截长补短法 【解惑】如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 2．已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 3．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 类型六、全等三角形的动点 【解惑】如图①，，，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．       图①         图② (1)______（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (3)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到某处时，有与全等，求出相应的，的值． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 2．在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 3．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 类型七、全等中的无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积． (3)在图③中画，使，其中点F不与点A重合． 2．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图①，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使； (2)如图②，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的． (2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的． (3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等． 类型八、全等中的新定义 【解惑】定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 【融会贯通】 1．定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 2．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 3．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【一览众山小】 1．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 4．如图，在中，高，相交于点．若，，则的长为 ． 5．（1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的思路是延长到点G，使得，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论是 ．请你帮他完善证明过程． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O的北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心O的南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且两舰艇之间的夹角为（即），请直接写出甲、乙两舰艇之间的距离为 海里． 6．如图，与相交于点，，，cm，点从点出发，沿→→方向以的速度运动，点同时从点出发，沿→方向以的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在→运动时，＝_______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)当，，三点共线时，求t的值． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 8．已知在四边形中，，． 【初步探察】（1）如图1，若，、分别是边、上的点，线段、、FD之间的关系是________； 【灵活运用】（2）如图2，，、分别是边、上的点，，，．求的周长． 【延伸拓展】（3）如图3，，，、分别是边、延长线上的点，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形中的手拉手 【解惑】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④． 【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∵BE＋BF＞DE ∴BE＋DC＞DE，④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在CB上取一点G使得CG=CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证∠BDG=∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解题． 【详解】解：在CB上取一点G使得CG=CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDG是等边三角形， ∴CD=DG=CG， ∵∠BDG＋∠EDG=60°，∠EDC＋∠EDG=60°， ∴∠BDG=∠EDC， 在△BDG和△EDC中， BD=DE，∠BDG=∠EDC，DG=DC， ∴△BDG≌△EDC（SAS）， ∴BG=CE， ∴BC=BG＋CG=CE＋CD=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，本题中求证△BDG≌△EDC是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 类型二、全等三角形的一线三等角 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，于是得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据点，点，得到，于是得到结论． 【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 2．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 3．如图1，，过点的直线l不经过三角形的内部，过点、作，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，求图1中四边形的面积；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，求四边形面积；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，② (4)，或或 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． （1）由图可知； （2）利用可证； （3）①图1中，利用梯形面积公式可解；②图2中，同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）在坐标系内构造一线三垂直模型证明全等三角形，即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为：； （2）证明：，， ∴， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：①如图1，由（2）知， ，， ∴， 四边形的面积为：； ②如图2，同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：； （4）解：如图所示，作轴于点D， ，， ，， ，轴， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 类型三、全等三角形的倍长中线法 【解惑】如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形三边关系的应用．延长到，使，连接，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可求解． 【详解】解：延长到，使，连接，如图：   ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选： A． 2．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型四、全等三角形的最值 【解惑】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 在上取一点E，使，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为5， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，延长到E使得，连接，证明得到，则当三点共线且时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，，于点，于点，．点，点分别在线段，上，，连接，．当取最小值时 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、最短路径问题、三角形内角和定理，先证明， 全等三角形的性质得出，从而得出，推出当和共线时，和最小，此时与交于点，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当和共线时，和最小，如图，此时与交于点， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，连接、．求证：； (2)如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数； (3)如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________． (4)如图4，若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意得，再证明，即可得结论； （2）由（1）知，可得，，即可求出； （3）连接，证得，从而得出点E的运动轨迹，当垂直于该直线时，最小进而求得最小值． （4）将绕点A逆时针旋转到，连接，由得得到是等边三角形，由，得到，即可求出； 本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，                    ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 即，                            在和中， ∴， ∴； （2）由（1）知 ∴， ∵ ∴是等边三角形，                    ∴， ∵B、D、E三点共线， ∴， ∴，             ∴ ∵ ∴； （3）解：连接， 由（1）知， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点E在过点C且与垂直的直线上运动， ∴当垂直于该直线时，最小图中点，    ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2； （4）解：将绕点A逆时针旋转到，连接． ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，                  ∴， ∴． 类型五、全等三角形的截长补短法 【解惑】如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 2．已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 3．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型六、全等三角形的动点 【解惑】如图①，，，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．       图①         图② (1)______（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (3)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到某处时，有与全等，求出相应的，的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)速度为，时间为或速度为，时间为时，和全等 【分析】该题是全等三角形动点问题，主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是分类讨论． （1）根据点在线段上以的速度由点向点运动，可得，； （2）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （3）分类讨论：①，则有，，即，；②，则有，，即，，然后分别求出和即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，，， 故答案为：； （2）解：当时，，． 理由如下：当时，． ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，， ，， ∴和全等有以下两种情况： ①， 则有，， 即，， 所以，． ②， 则有，， 即，， 所以，． 综上所述：速度为，时间为或速度为，时间为时，和全等． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，，得出，，因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等且，所以证明，即可作答． （2）因为，所以，，因为点P在线段上以的速度由A向终点B运动，所以，．即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等且， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵点P在线段上以的速度由A向终点B运动， ∴，． 2．在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 (4)点的速度为或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 3．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】（1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 类型七、全等中的无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． 【详解】（1）解：如图①所示，为所求； （2）解：如图②所示，为所求； （3）解：如图③所示，射线为所求． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积． (3)在图③中画，使，其中点F不与点A重合． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了利用网格作图，三角形的高线、中线及性质，三角形的面积，全等三角形的判定． （1）根据三角形高的定义作出图形； （2）找到的中点，连接即为的中线； （3）取格点F，再连接、即可． 【详解】（1）解：如图①所示，线段即为所求； ； （2）解：如图②所示，线段即为所求； ； （3）解：如图③所示，即为所求； ． 2．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图①，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使； (2)如图②，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于，连接并延长交于，点即为所作； （2）连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于，点即为所作． 【详解】（1）解：如图①，连接交于，连接并延长交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点即为所作； （2）解：如图②，连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点即为所作． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的． (2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的． (3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的性质，寻找点D，使点D为线段的中点，连接即可； （2）仿照（1）的方法，利用网格线与三角形各边的交点找到三边的中点，再连接一个中点与三角形的顶点构成一条中线，连接另两个中点构成一条中位线，中线与中位线相交于点E，连接； （3）仿照（1）的方法，利用三角形的边与网格线的交点找到的中点，然后构造两条三角形的中线，两条中线的交点为F，连接． 【详解】（1）如图1中，点D即为所求．      图1 （2）如图2中，点E即为所求．       图2 （3）如图3，点F即为所求．        图3 【点睛】本题考查了利用网络线与三角形各边的交点寻找线段中点的方法，涉及三角形全等的判定与性质、中位线定理、三角形面积计算，解题的关键是能综合运用这些知识点． 类型八、全等中的新定义 【解惑】定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，构成三角形的条件： （1）根据三角形中线平分三角形面积可知当点P为的时，满足题意，据此可得答案； （2）延长到E，使得，连接，根据题意可得，则，证明，得到，根据，，，且，列出不等式组求解即可； （3）：如图，过点作，交的延长线于点，证明，得到，则可证明，再由与不全等，即可证明与为偏等积三角形． 【详解】解：（1）∵三角形中线平分三角形面积， ∴当点P为的时，与的面积相等， ∵， ∴， ∴与不全等， ∴当，与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）如图所示，延长到E，使得，连接， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 解得， 综上所述，； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴ 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵与不全等， ∴与为偏等积三角形． 【融会贯通】 1．定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①图见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①解：如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 2．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 3．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 【一览众山小】 1．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，延长至点，使得，连接，可证得到，，，进而由可得，即可证得，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 3．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围，即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 4．如图，在中，高，相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的思路是延长到点G，使得，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论是 ．请你帮他完善证明过程． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O的北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心O的南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且两舰艇之间的夹角为（即），请直接写出甲、乙两舰艇之间的距离为 海里． 【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析；（3）210 【分析】本题主要考查三角形的综合，全等三角形的判定及性质等知识； （1）延长到点G，使得，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使得，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后利用（2）的结论，列式得即可求出． 【详解】解：（1）他的结论是，理由如下： 延长到点G，使得，连接，如图1， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）结论是成立，理由如下： 延长到点G，使得，连接，如图2， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）连接，延长相交于点C， ∵， ， ∴， 又∵， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 6．如图，与相交于点，，，cm，点从点出发，沿→→方向以的速度运动，点同时从点出发，沿→方向以的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在→运动时，＝_______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)当，，三点共线时，求t的值． 【答案】(1) (2)证明见解析． (3)8或． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、代数式和解一元一次方程的知识，掌握以上知识并会用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得：，，，结合（2）可得和，由三点共线得，即可证明，得到，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点从点出发，沿→→方向以的速度运动，点同时从点出发，沿→方向以的速度运动，设点的运动时间为． 根据题意得： ，则， 故答案为：． （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． （3）解：根据题意得： ，， 则， ∵， ∴，， ∵，，三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得： ， 当时， ∴， 解得：， ∴综上所述，当、、三点共线时，t的值为8或． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ； 当点C在下方时； 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：   ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或． （3）①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 8．已知在四边形中，，． 【初步探察】（1）如图1，若，、分别是边、上的点，线段、、FD之间的关系是________； 【灵活运用】（2）如图2，，、分别是边、上的点，，，．求的周长． 【延伸拓展】（3）如图3，，，、分别是边、延长线上的点，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）14；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （3）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长至，使，连接， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 周长为 （3）如图3，，理由如下： 延长至，使，连接， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$