专题04 全等三角形（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题04 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形的概念与性质 【解惑】如图，，若cm，cm，则下列判断错误的是（      ） A． B． C． D．cm 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定的应用，能正确运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据全等三角形的性质得出，，，求出，，即可判断各个选项． 【详解】解：， ，，， ，， 即， cm，cm， cm， ， 即只有D选项错误， 故选D． 【融会贯通】 1．下列说法：①全等图形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等图形的周长相等，面积相等；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（  ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的概念及性质，根据全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案． 【详解】①全等图形的形状相同，大小相等，该说法正确； ②全等三角形的对应边相等，该说法正确； ③全等图形的周长相等，面积相等，该说法正确； ④面积相等的两个三角形全等，该说法错误， 故选：A． 2．如图，，，，，则的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得再利用三角形内角和定理求得的度数，然后根据即可得解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， ，， 故答案为： 类型二、全等三角形的性质与判定(SAS) 【解惑】如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，证明，则，得到，再利用角的和差即可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【融会贯通】 1．如图是某太阳伞截面示意图，平分，．若需要安装支杆，则支杆的长度应与哪条线段长度相等（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，点、、、在同一条直线上，，，，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质可得：，，证明，得到，推出，再结合，，即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：． 3．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键． （1）由题意可得，，由，可得到，从而可证； （2）由（1）可得，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴． 类型三、全等三角形的性质与判定(ASA) 【解惑】要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，使、、在同一条直线上，如图，可以证明，得到，因此测得的长就是的长，判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，对顶角相等，进而根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A． B． C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长、交于点，由题意证得，证得，，即可证得，，利用即可求得结果． 【详解】解：延长、交于点， 平分，且于点， 在和中， ， ， ，， ，， 的面积为40， ， ． 故选：C． 2．如图，已知是的中线，是的中线，交的延长线于点E．若的面积为3，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查全了等三角形的判定和性质, 平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，根据平行线的性质得出，利用证明，再利用三角形的中线的性质得出面积关系，解答即可，关键是根据平行线的性质得出，利用证明． 【详解】∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中 ， ∴， ∴的面积的面积， ∵是的中线， ∴的面积， ∵是的中线， ∴的面积， 故答案为：12． 3．如图，已知，，E、F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可得出，从而可由证明； （2）根据三角形外角的性质得出，再根据全等三角形的性质即得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 类型四、全等三角形的性质与判定(AAS) 【解惑】如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．由题意易得，则有，进而问题可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 由，，，可得到，而，，由此可得，所以，；同理证得，所以，．则，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】解：，，， ． ， ． ， ． ，， ． ，． ，，． ， ． ， ． ，， ． ，． 则． ，， 梯形的面积为：． 阴影部分面积为∶ 梯形的面积 ， 故答案为∶． 2．如图，在中，，，E是上一点，交于点F，当时，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】144 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、三角形的面积计算方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，则，再利用割补法即可得到阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴图中阴影部分面积． 故答案为：144． 3．已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型五、全等三角形的性质与判定(SSS) 【解惑】如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】B 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 由判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得是的平分线． 【解答】解：在和中， ∴ ∴， ∴是的平分线， ∴依据的数学原理是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【详解】解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，点，分别为边，上的点，且，，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过证明得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动2中有这样一段描述：我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个等形，其中，，猜想筝形的对角线有什么性质（写出一条即可）．并用全等三角形的知识证明你的猜想． 【答案】，．（写出一个即可），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 证，得，再证，得，，得，即可证明． 【详解】解：猜想：，．（写出一个即可） 证明：在和中， ， ． 在和中， ， ，， ， ． 类型六、全等三角形的性质与判定(HL) 【解惑】如图，在中，，E是上一点，且，过点E作交于点D，连接，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．利用证明，利用全等三角形对应边相等得到，根据，等量代换即可确定出的长． 【详解】解∶ ， 在和中 ， 故选∶B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明得到，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴，． ∵， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：5． 3．如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据，得出，求出，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 类型七、格点三角形 【解惑】在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），请在下面每个网格内画出与有一条公共边且全等（不含）的一个格点三角形（不能重复）．        【答案】见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【融会贯通】 1．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中画出一个与全等的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点N，作直线即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，高线即为所求； （2）解：如图所示，取格点N，作直线，直线即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 2．如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图： (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，找到格点，使得与全等（标出一个即可）； (3)在图3中，仅用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了三角形的中线、高、全等三角形的判定等知识． （1）根据三角形中线的定义进行作图即可； （2）根据网格的特征构造全等三角形即可； （3）根据三角形的三条高相交于一点进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求， （3）如图，即为所求， 3．如图，在的正方形网格中，点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中过点画出的平行线，并标出格点； (2)在图2中过点画出的垂线，并标出格点； (3)图3中，在网格内与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）的个数是___________．（不用画图，直接写出结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）通过构造作图即可； （2）通过构造，得出，进而可得，则，即； （3）根据全等三角形的判定结合网格特点作出所有符合题意的三角形，然后可得答案． 【详解】（1）解：如图1，的平行线，格点即为所求； 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴；    （2）解：如图2，的垂线，格点即为所求； 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；    （3）解：如图3，， 即在网格内与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）的个数是5， 故答案为：5．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握网格特点，学会构造全等三角形是解题的关键． 类型八、尺规作图 【解惑】如图，有一长方形木板，要在木板上截一个平行四边形（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形），使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为． (1)请过C点画出与平行的另一条边．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的结果中，若，则___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查基本作图、平行线的性质和判定等知识． （1）过点C作一个角等于，一边在射线上，另一边与长方形的边交于点D即可； （2）根据平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）由作图可知，， ∴， 故答案为： 【融会贯通】 1．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】（1）B；（2）见解析 【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． （2）本题考查将军饮马模型，作关于直线a的对称点，连接与直线a交于点,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到最短． 【详解】（1）解：根据做法可知：，，， ∴， 故选：B． （2）解：点O的位置如图所示： 2．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 3．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【答案】(1)见解析 (2)2，； (3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据所画图形填空即可； （3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等， 故答案为：2，； （3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，要使还需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等．根据题目条件可知证明的条件已经具备“一组边相等”和“一组对应角相等”，所以只需增加“邻边相等”或者“一组对应角相等”即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加，不能证明，故A符合题意； 添加，不能证明，故B符合题意； 添加，能利用证明，故C符合题意； 添加，则是，无法证明，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟知全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题关键．根据全等三角形的性质得到的度数，然后利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 3．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 4．如图，，要使，还需要补充一个条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据三角形全等的判定定理，选择适当定理添加条件即可． 【详解】解：（答案不唯一） 理由如下： ∵， ∴， 故可添加条件为． 故答案为：（答案不唯一）． 5．在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 6．如图①，中，，延长到E，过点E 作交的延长线于点F，延长到G，过点G作交的延长线于点H，且． (1)求证：； (2)如图②连接与相交于点D．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）由即可证明，进而可得； （2）由，推理得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ． ，， ． 在和中， ， ∴， ． 7．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，全等三角形的概念； （1）根据网格的特点将平移至，即可求解； （2）根据平移的方法作出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一） （2）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一）； 8．是经过顶点C的一条直线，，E，F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； 三条线段的数量关系是： ．（填“”，“”或“”） ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． (2)如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想并证明． 【答案】(1)①；；② (2)，证明见解析 【分析】本题综合考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）①当E在F的左侧时，求出，，再由已知，即可证明，推出，即可得到，当E在F的右侧时，同理可证，即可得到结论； ②当时，当E在F的左侧时，求出，，再由已知，证明，推出，得到，当E在F的右侧时，同理可证，即可得到结论； （2）得到，，又由，即可证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）①如图1中， 当E在F的左侧时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当E在F的右侧时，同理可证， ∴； 故答案为：；； ②时，①中两个结论仍然成立； 证明：如图2中， 当E在F的左侧时， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当E在F的右侧时，同理可证， ∴； 故答案为：． （2）猜想：． 证明过程： ∵，，，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形的概念与性质 【解惑】如图，，若cm，cm，则下列判断错误的是（      ） A． B． C． D．cm 【融会贯通】 1．下列说法：①全等图形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等图形的周长相等，面积相等；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（  ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，，，，，则的度数为 3．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则 ． 类型二、全等三角形的性质与判定(SAS) 【解惑】如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 【融会贯通】 1．如图是某太阳伞截面示意图，平分，．若需要安装支杆，则支杆的长度应与哪条线段长度相等（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、、在同一条直线上，，，，如果，，那么的长等于 ． 3．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于点． (1)求证：； (2)求证：． 类型三、全等三角形的性质与判定(ASA) 【解惑】要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，使、、在同一条直线上，如图，可以证明，得到，因此测得的长就是的长，判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A． B． C． D．25 2．如图，已知是的中线，是的中线，交的延长线于点E．若的面积为3，则的面积是 ． 3．如图，已知，，E、F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型四、全等三角形的性质与判定(AAS) 【解惑】如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【融会贯通】 1．如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为 ． 2．如图，在中，，，E是上一点，交于点F，当时，则图中阴影部分的面积为 ． 3．已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 类型五、全等三角形的性质与判定(SSS) 【解惑】如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角的两边的距离相等 【融会贯通】 1．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，点，分别为边，上的点，且，，，则 ．    3．在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动2中有这样一段描述：我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个等形，其中，，猜想筝形的对角线有什么性质（写出一条即可）．并用全等三角形的知识证明你的猜想． 类型六、全等三角形的性质与判定(HL) 【解惑】如图，在中，，E是上一点，且，过点E作交于点D，连接，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 2．如图，在四边形中，，，于点E，且，若，则的长为 ． 3．如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． 类型七、格点三角形 【解惑】在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），请在下面每个网格内画出与有一条公共边且全等（不含）的一个格点三角形（不能重复）．        【融会贯通】 1．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中画出一个与全等的． 2．如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图： (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，找到格点，使得与全等（标出一个即可）； (3)在图3中，仅用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）． 3．如图，在的正方形网格中，点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中过点画出的平行线，并标出格点； (2)在图2中过点画出的垂线，并标出格点； (3)图3中，在网格内与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）的个数是___________．（不用画图，直接写出结论） 类型八、尺规作图 【解惑】如图，有一长方形木板，要在木板上截一个平行四边形（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形），使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为． (1)请过C点画出与平行的另一条边．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的结果中，若，则___________． 【融会贯通】 1．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 2．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 3．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【一览众山小】 1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，要使还需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 4．如图，，要使，还需要补充一个条件为 ． 5．在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 6．如图①，中，，延长到E，过点E 作交的延长线于点F，延长到G，过点G作交的延长线于点H，且． (1)求证：； (2)如图②连接与相交于点D．若，求的长． 7．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 8．是经过顶点C的一条直线，，E，F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； 三条线段的数量关系是： ．（填“”，“”或“”） ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． (2)如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想并证明． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$