专题04 几何图形初步（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题04 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面图形旋转后所得的立体图形 【解惑】学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【融会贯通】 1．如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ． 3．（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ （2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 类型二、线段的和与差 【解惑】如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 【融会贯通】 1．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点在线段上，，点是线段的中点，则线段的长度为 ． 3．如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 类型三、两点间的距离 【解惑】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【融会贯通】 1．如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（） A． B． C． D． 2．已知线段，线段，线段在线段上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段，记图中所有线段的长度之和为S，则 ．（用含a，x的代数式表示）    3．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段，点C为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，点C为线段的中点， 所以____________． 因为， 所以______． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段上，事实上，点D还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整； (2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 类型四、钟面角 【解惑】钟面上分针走一圈，时针转动的角度是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（   ） A． B． C． D． 2．在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 3．探究实验：《钟面上的数学》 实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想． 实验准备：机械钟（手表）一只 实验内容与步骤： （一）观察与思考： (1)时针每分钟转动______，分针每分钟转动______． (2)从3点整到3点20分，分针转动的角度为______． （二）操作与探究： (3)若时间为，则钟面角为______°（钟面角是时针与分针所成的夹角）． (4)1点整到3点整之间，钟面角为的情况有______种． （三）拓展延伸： (5)晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看时钟，发现此时时针和分针在同一直线上，他做完作业，八点不到，此时，时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间？（直接写出答案） 类型五、三角板中的角度问题 【解惑】用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 【融会贯通】 1．如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一副三角板的直角与的顶点O重合在一起，若，则的度数为 ． 3．已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 类型六、角平分线的计算 【解惑】如图，，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的平分线，是的平分线，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，，，平分，，则的度数为 ． 3．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 类型七、同角的余(补)角相等 【解惑】如图所示，将一副直角三角板的顶点重合后放置，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 2．已知与互余，与互余，，则 ． 3．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想与的大小关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 类型八、角度的四则运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【一览众山小】 1．线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．十点一刻时，时针与分针所成的角是（　 ） A． B． C． D． 3．根据如图所示，下列式子错误的是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 5．如图，，点，在线段上，，是线段的中点，则线段的长度为 ． 6．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 7．如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 8．如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面图形旋转后所得的立体图形 【解惑】学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了面与体的关系，正确理解面与体的关系是解题的关键．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，关键是同学们要注意观察，培养自己的空间想象能力．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：将如图所示的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体，里面是空的圆锥体 故选：B． 2．如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是平面图形的旋转，从不同方向看立体图形，首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，再找出从从左面看到的图形的形状可得答案． 【详解】解：直线为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6， 从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形， 因此面积为：， 故答案为：18． 3．（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ （2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】（1）这个棱柱共有8个面，有 12 个顶点，有18条棱；侧面积为；（2）①圆柱，面动成体；②方案一得到的圆柱的体积大 【分析】本题考查基本图形旋转得到的体积及棱柱、圆柱体积计算； （1）根据棱柱特征直接解答即可； （2）①根据面动成体解答即可；②先求出所得几何体体积再比较大小即可． 【详解】解：（1）①这个棱柱共有8个面，        有 12 个顶点，       有18条棱；       ②它的侧面积为 ； （2）①长方形旋转可以得到圆柱，上述操作能形成的几何体是圆柱， 说明的事实是：面动成体，           ②方案一：，     方案二：，       ∵，                       ∴方案一得到的圆柱的体积大． 类型二、线段的和与差 【解惑】如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长． 【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为； 当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为． 所以这条绳子的原长为12cm或24cm． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，已知，点在线段上，，点是线段的中点，则线段的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点，根据点是线段的中点，得出，因为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：2． 3．如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 类型三、两点间的距离 【解惑】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键； 设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离及线段的中点，解决本题的关键是掌握线段的中点定义并熟练应用．根据线段，点为线段的中点，可得，点将线段分成，可以设，进而，求出，进而可求线段的长度． 【详解】解：线段，点为线段的中点， 点将线段分成， 设， ，解得， 则线段的长度为． 故选：． 2．已知线段，线段，线段在线段上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段，记图中所有线段的长度之和为S，则 ．（用含a，x的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是正确计算所有线段的长度之和．，可得的含的代数式表示． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 3．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段，点C为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，点C为线段的中点， 所以____________． 因为， 所以______． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段上，事实上，点D还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整； (2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了线段的性质、线段的和差等知识，解题的关键是读懂题意，分情况讨论． （1）根据点C为的中点，即可得到与的数量关系，若在线段上时，根据和的长即可求得的长； （2）根据点C为的中点，即可得到与的数量关系，若在射线上时，根据和的长即可求得的长． 【详解】（1）解：线段，点为线段的中点， ， ， 当在线段上时， ， 故答案为：；； （2）解：如图，当点在射线上时， 线段，点为线段的中点， ， ， 类型四、钟面角 【解惑】钟面上分针走一圈，时针转动的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．根据时钟上一大格是即可解答． 【详解】解：钟面上分针走一圈，时针转动的角度是， 故选：D． 【融会贯通】 1．经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查的是钟面上的知识，即在钟面上，分针或时针转动一圈是360度，转动一个小格是6度，转动一个大格是30度.经过1小时，钟面上分针转过了一周，即360度，时针转过一个大格，即30度，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度之差就很容易算出来了 【详解】解：． 即：钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差． 故选：A． 2．在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键． 用分针转动的角度：减去时针与分针所成角度为，时针转动的角度：，即即可求解． 【详解】解：寅时二刻是指， ∵时，时针与分针所成角度为， 再过15分钟，分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ∴， 故答案为：． 3．探究实验：《钟面上的数学》 实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想． 实验准备：机械钟（手表）一只 实验内容与步骤： （一）观察与思考： (1)时针每分钟转动______，分针每分钟转动______． (2)从3点整到3点20分，分针转动的角度为______． （二）操作与探究： (3)若时间为，则钟面角为______°（钟面角是时针与分针所成的夹角）． (4)1点整到3点整之间，钟面角为的情况有______种． （三）拓展延伸： (5)晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看时钟，发现此时时针和分针在同一直线上，他做完作业，八点不到，此时，时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间？（直接写出答案） 【答案】(1)0.5，6° (2)120 (3)105 (4)4 (5)小强做数学作业花了分钟 【分析】本题主要考查了钟面角、一元一次方程的应用等知识点，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解成为解题的关键 （1）钟面总度数为，钟面分为12个大格，每个大格分为5个小格，则时针每分钟转动度数：，分针每分钟转动：； （2）从3点整到3点20分走了20分钟，根据分针每分钟转动，得出分针转动的角度为； （3）以时间为起点，先计算时针转动的度数，再计算分针转动的度数，分针转动的度数减去时针转动的度数求得钟面角； （4）设1点整到3点整之间经过x小时时针与分针的夹角为，列出方程式求得x的值，那么x的个数为几，钟面角为的情况就有几种； （5）小强做完作业时第二次时针和分针在同一直线上，求出此时的时间，即可求得小强做作业花的时间，设每经过y分钟时针与分针在同一条直线，列出方程式求得y的值． 【详解】（1）解：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 故答案为：0.5，6°． （2）解：． 故答案为：120． （3）解：时间为，则钟面角为． 故答案为：105． （4）解：设经过x小时钟面角为， 当时间在1点整到2点整之间，钟面角为的情况： ①，解得： ； ②，解得：， 所以时间分别为，； 当时间在2点整到3点整之间，钟面角为的情况： ①，解得： ， ②，解得：， 所以时间分别为，； 综上所述，当时间为、、、3点整时，钟面角为90°； 故1点整到3点整之间，钟面角为的情况有4种． 故答案为：4． （5）解：设每经过y分钟时针与分针在同一条直线， 第一次时针与分针在同一条直线，小强开始做作业：，解得 ， 第二次时针与分针在同一条直线，小强结束做作业：，解得：， 所以（分钟）， 所以故小强做数学作业花了分钟． 类型五、三角板中的角度问题 【解惑】用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算．用三角板拼特殊角其实质是角的和差运算，理解题意是关键．用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．的角，；故本选项不符合题意； B．的角，；故本选项不符合题意； C．的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意； D．的角，；故本选项不符合题意． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算．注意数形结合． 先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵的度数是的倍， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 2．如图，一副三角板的直角与的顶点O重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角板中角的计算、解一元一次方程，设，则，根据，列方程求得，则，再利用求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查角之间的和差关系、一元一次方程的应用，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）将变形为求解； （3）设旋转角度为，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分和两种情况，用含n的式子表示出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：图1中，， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：平分时，， 设旋转角度为，， ， 解得， 即旋转角的度数为； （4）解：当时，，， ； 当时，，， ； 综上可知，当时，；当时，． 类型六、角平分线的计算 【解惑】如图，，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解：，， ， 平分， 故选： 【融会贯通】 1．如图，是的平分线，是的平分线，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算．根据角平分线的定义可得，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 2．如图，直线相交于点O，，，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，设，根据角平分线的定义结合已知条件，得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则：， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分两种情况讨论：当平分时；当的反向延长线平分时；分别求出旋转的角度，再结合每秒的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是：， ， ； 如图，当的反向延长线平分时， ， ， 旋转的角度是：， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，等式的性质，对顶角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． 类型七、同角的余(补)角相等 【解惑】如图所示，将一副直角三角板的顶点重合后放置，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角的和差关系，根据同角的余角相等，即可得出结论． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选A． 【融会贯通】 1．如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 2．已知与互余，与互余，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等角的余角相等，根据等角的余角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余，与互余， ∴， 故答案为：． 3．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想与的大小关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为； (3)的度数为． 【分析】（1）通过同角的余角相等，即可得出，（2）通过等量代换即可求解，（3）通过比例关系结合图形列式，即可求解，本题考查了同角或等角的余角相等，解题的关键是，熟练掌握同角或等角的余角相等的性质，并结合图形，并正确列式求解． 【详解】（1） 解：， 理由是：， ， ； （2）， ， ， 故答案为：的度数为； （3）， 设，则， ， ， ， 又， ，解得：， ， 故答案为：的度数为． 类型八、角度的四则运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的计算，理解角度的四则混合运算法则是解答关键． （1）根据角度加减法的运算法则来计算求解； （2）根据角度的乘法和加法的运算法则来计算求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）根据同单位的相加，满60时向上一单位进1，可得答案； （2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借1转为60，可得答案； （3）根据满60时向上一单位进1，可得答案； （4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【一览众山小】 1．线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，两种情况根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时，则， 当点C在线段的延长线上时，则， 故选：D． 2．十点一刻时，时针与分针所成的角是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题的关键．根据时钟上一大格是，即每份是，再根据时针与分针相距份数乘每份的度数，即可得出答案． 【详解】解：十点一刻的时针与分针所成的角是： ． 故选：D． 3．根据如图所示，下列式子错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的计算，根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【详解】解：A.，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C.由于不确定，所以，故此选项符合题意； D. ，正确，不符合题意． 故选：C． 4．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 5．如图，，点，在线段上，，是线段的中点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段长度的计算，一元一次方程的应用，设，则，，根据列方程求，则可求，根据线段的和差关系求线段长度是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 6．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 /116度20分 /11度40分20秒 /106度25分 /58度57分20秒 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）首先将度转化为度分秒，然后计算减法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先将度转化为度分秒，然后计算除法即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 7．如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 【答案】50 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键．设，根据线段的和差关系，中点的概念，结合，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则． 因为N是的中点， 所以． 因为，所以， 解得， 所以． 8．如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，是解题的关键．根据，分别是，的平分线，得出，．根据求出结果即可． 【详解】．理由如下： 因为，分别是，的平分线， 所以，． 又因为， 所以． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$