专题04 几何图形初步（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题04 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、七巧板问题 【解惑】用边长为1的正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，则阴影部分的面积是原正方形面积的（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形性质及图形的特点求出空白图形的面积，故可求解． 【详解】如图，图形1的面积为×1×1=； 图形2的面积为××1×1=； 图形3的面积为×××1×1=； 图形4的面积为×= ∴阴影部分面积为1----= 故选C． 【点睛】本题利用了正方形的性质求解．七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的． 【融会贯通】 1．如图所示，用一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按下面的做法做一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF；连接BD，交EF于G，交AC于H；将正方形ABCD沿画出的线剪开，现把它们拼成一座桥，如图右所示，这座桥阴影部分的面积是（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 【答案】C 【分析】观察图形可知，阴影桥是有△ABC剪下的图形拼成的，阴影桥的面积即为△ABC的面积，求出△ABC的面积即可． 【详解】观察图形可知，阴影桥是由△ABC剪下的图形拼成的，所以阴影桥的面积即为△ABC的面积， ∵， ∴这座阴影桥的面积为4． 故选C． 【点睛】本题考查拼图的知识，观察图形确定阴影桥的面积为△ABC的面积是解决问题的关键． 2．在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为 平方厘米． 【答案】20 【分析】确定①②③④这四块面积的和就是图中圈出来的图形面积的和，其面积=正方形的面积-大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积． 【详解】如下图所示： 所求面积为： ①②③④这四部分的面积之和 ＝ ＝20（平方厘米）． 故答案为：20． 【点睛】本题是七巧板的问题，考查了图形面积的计算．难点在于如图所示的第③④这区域的面积等于原图中圈出来的梯形的面积． 3．我们熟知的七巧板，是由宋代黄伯思设计的“燕几图”（“燕几”就是“宴几”，也就是宴请宾客的案几）演变而来.到了明代，严澄将“燕几图”里的方形案几改为三角形，发明了“蝶翅几”.而到了清代初期，在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形和平行四边形，能拼出更加生动、多样图案的七巧板就问世了（如图1网格中所示） （1）若正方形网格的边长为1，则图1中七巧板的七块拼板的总面积为_____________ （2）使用图1中的七巧板可以拼出一个轮廓如图2所示的长方形，请在图2中画出拼图方法（要求：画出各块拼板的轮廓） （3）随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板，如图3所示的是另一种七巧板.利用图3中的七巧板可以拼出一个轮廓如图4所示的图形；大正方形的中间去掉一个小正方形，请在图4中画出拼图的方法（要求：画出各块拼板的轮廓） 【答案】（1）8；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）首先求出七巧板的七块拼板组成的正方形的边长，然后即可得出面积； （2）根据题意，拼接即可； （3）根据题意，拼接即可. 【详解】（1）根据图1，得七巧板的七块拼板组成的正方形的边长为， 则其总面积为； （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】此题主要考查正方形和长方形的性质，熟练掌握，即可解题. 类型二、最短问题 【解惑】已知是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T〈M，N，S，T均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（ ）． A．M B．N C．S D．T 【答案】B 【分析】根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N． 【详解】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是N， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短． 【融会贯通】 1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误， 又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D． 点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力． 2．如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有 种． 【答案】9 【分析】从到最短爬行3条正方体的棱，有3种方法，从到同样最短爬行3条正方体的棱，也有3种方法，据此可知从经过到达的最短路线有几种．找出从到的最短路线有几种，从到的最短路线有几种，两者相乘就是从经过到达最短路线的种数． 【详解】解：从到的最短路线有3种，从到的最短路线也有3种． （种 所以从经过最终到达的最短路线有9种． 故答案为：9． 3．尺规作图：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．    (1)在图（1）中，请在直线上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出作图的依据； (2)在图（2）中，连接，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足． 【答案】(1)见解析，作图依据：两点之间线段最短； (2)见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知，连接与直线的交点即为所求的点O； （2）以M为圆心的长为半径画弧，与直线的交点即为点N的位置． 【详解】（1）解：点O如图所示，作图依据：两点之间线段最短；    （2）解：点N如图所示．      【点睛】本题考查了尺规作图，两点之间线段最短，熟练掌握基本作图方法是解题的关键． 类型三、线段的n等分点的计算 【解惑】已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 【答案】A 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键．根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论，分别画出对应的图形，根据线段的关系即可求出结论． 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； 综上： 故选A． 【融会贯通】 1．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，若线段的长为，则线段的长度是（   ） A．10 B．9 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点、三等分点及线段的和；如图，点为线段的三等分点有，两种情况，分别求解，长度即可． 【详解】解：如图，由题意可知，， 故选：D． 2．如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 【答案】4或8/8或4； 【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案； 【详解】解：∵C为线段的中点，， ∴， ∵D是线段的三等分点， ①三等分点靠近B点时， ， ②三等分点靠近A点时， ， 故答案为：4或8． 3．如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 根据，，将未知线段都转化成已知线段，代入数值即可求出的长． 【详解】解：， ， 而是线段的中点， ， 又， ， ， ， 故线段的长为cm． 类型四、角n等分线的计算 【解惑】如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【答案】D 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，BD在∠ABC的内部，∠ABD＝∠CBD，如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝（　　） A． B．20° C．60° D． 【答案】B 【分析】根据角的和差与倍分得出∠ABC=4∠ABD，列方程求解即可． 【详解】解：∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CBD=3∠ABD， ∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=3∠ABD+∠ABD=4∠ABD=80°， ∴ABD=20°． 故选择B． 【点睛】本题考查角的倍分，角的和差，一元一次方程，掌握角的倍分关系，角的和差计算，解一元一次方程是解题关键． 2．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 3．将一直角三角板的直角顶点放在直线上的点处，过点作射线. (1)已知， ①如图1，当在射线上时，的度数为________； ②如图2，当在内部时，若，求的度数； (2)如图3，，在内部，.在图中画射线，使为的三等分线，且.当时，探究与的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，三等分线的有关计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据余角的定义即可得到结论； ②设，，求得，列方程得到，于是得到； （2）根据为的三等分线，设，，得到，，列方程得到，于是得到． 【详解】（1）解：①，， ； 故答案为：； ②， 设，， ， ， ， ， ； （2）． 理由：如图， 为的三等分线， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型五、线段的新定义 【解惑】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，线段的中点表示的数为．已知有理数a，b，B，C，其中b是最小的正整数，a和c满足． (1)填空：　　，　　，　　； (2)现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，的长度是长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段的中点Q进行折叠，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 【答案】(1)，1，2 (2)①或；②或或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值及偶次方非负性，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据最小正整数、绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）①先用t表示点A、B、C表示的数，进而用绝对值表示出、，再根据列出关于t的方程，求其即可；②分三种情况：当点B为点A和点C的中点时（点A在点B的左侧），当点A为点B和点C的中点时，当点C为点A和点B的中点时（点A在点C的右侧）．根据“线段的中点表示的数为”，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， a和c满足， ∴， 解得：， 故答案为：，1，2． （2）解：①t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． ∴． ∵， ∴， ∴或； 解得：或， ∴当或时，的长度是长度的两倍． ②当点B为点A和点C的中点时， 得：， 解得：； 当点A为点B和点C的中点时， 得：， 解得：； 当点C为点A和点B的中点时（点A在点C的右侧）， 得：， 解得：； 综上，或或． 【融会贯通】 1．【定义】已知是线段上的一个分点，若在得到的三条线段，，中，有一条线段是另外一条线段的2倍，则称点为线段的“梦点”． (1)直接回答线段的中点是不是这条线段的“梦点”？ (2)如图，已知线段，点为线段的“梦点”，求线段的长； 【应用】 (3)如图2，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为12，边长为3．将长方形沿数轴正方向水平移动，使移动后的长方形与原长方形有重叠部分（图3中阴影部分），设重叠部分的面积为，点的移动距离为． ①当时，求的值； ②若为线段的中点，点在线段上，且，当点为线段的“梦点”时，求所有可能的值． 【答案】(1)线段的中点是这条线段的“梦点” (2)6或9或12 (3)①；②或 【分析】（1）根据“梦点”和线段中点的概念进行判断即可； （2）设，分别讨论：当时，当时，当时，列一元一次方程求解即可； （3）①求出的长，表示出，当时，列方程求解即可； ②分别表示出， ，，在根据“梦点”的定义，分三种情况讨论，进而计算即可． 【详解】（1）∵线段中点平分这条线段， ∴被线段中点平分的两条线段中的任意一条的长度均等于这条线段的一半，即有一条线段是另外一条线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“梦点”； （2）设，当时，则， 由题意得，，解得； 当时，由题意得，，解得； 当时，则，由题意得，，解得， 所以线段的长为6或9或12． （3）根据题意得的长为，所以． ①当时，由题意得，解得，． ②因为为的中点，，所以，， 因为点为的“梦点”， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得， 因为，所以的值为或． 【点睛】本题考查了新定义，线段中点的意义，线段的和差，一元一次方程的应用，准确理解“梦点”的定义是解题的关键． 2．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为，其中是点A，B的“联盟点”的是__________； (2)点A表示的数是，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点： ①若点P在线段上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数： ②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据两点距离分别求得的长，根据定义，进行判断即可求解； （2）①令点表示的数为，分类讨论，根据新定义列出算式，进行计算即可求解；②令点表示的数为，分类讨论，根据新定义列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴不是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴不是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴是的“联盟点”； 综上所述，是点的“联盟点”的为． 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， ①∵点P在线段上， ∴， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 综上所述，此时点表示的数为； ②根据题意得：， ∵点P在点A的左侧， ∴， 当点为“联盟点”时， 若，即，解得， 若，即，解得， 当点为“联盟点”时， ，即，解得， 当点P为“联盟点”时，，即，解得， 综上所述，此时点表示的数为． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． 3．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（，），M为线段AB的中点．给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”．例如，时，A是B的“正比点”；，时，A是B的“反比点”． (1)若，则M对应的数为______，下列说法正确的是______（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”； (2)若，且M是A的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 【答案】(1)1；③④ (2) (3)或． 【分析】（1）先根据非负数的性质求解，，以及中点对应的数为：，再根据新定义逐一判断即可； （2）先求解对应的数为：，由，，同号，再分两种情况：当，时，则，当，时，，再根据新定义可得，从而可得答案； （3）由，可得，异号，由M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，可得，再分两种情况：当，当，再根据新定义建立绝对值方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵M为线段AB的中点， ∴对应的数为：， ∴，，， ∴，，，， ∴A不是M的“正比点”；A不是M的“反比点”；故①②不符合题意； B是M的“正比点”；B是M的“反比点”；故③④符合题意； （2）∵为的中点， ∴对应的数为：， ∵， ∴，同号， 当，时，则， ∴，， ∵M是A的“正比点”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当，时，， 同理可得：， 解得：， ∴， 综上：． （3）∵， ∴，异号， ∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”， ∴，， 或，， ∴， ∴， 当， ∴， ∴或， 解得：（不符合题意舍去），或， ∴， 当， ∴， ∴或， 解得：（不符合题意舍去），或， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是绝对值非负性与偶次方非负性的应用，新定义运算，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，求解代数式的值，对于七年级学生来说，是一个不错的锻炼思维的题，清晰的分类讨论是解本题的关键． 类型六、角的新定义 【解惑】射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为．例如，如图1，，，则，即，反之，则． (1)如图2，射线在的内部． ①若射线是的平分线，则______； ②若，，则______； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒． ①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值； ②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)①；②； (2)①t的值为或，②． 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用， （1）①根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可． ②根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可 （2）①分两种情况，根据列示计算即可得出答案． ②设若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，根据题意即可得，进一步得到，有，则射线旋转的角度为，即可求得． 【详解】（1）解：①∵是的平分线， ∴，即 ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①当由向运动时： ∵ ∴ 解得： ． 当由向运动时， ∵， ∴ 解得： ， 综上所述， t的值为或． ②设若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒， ∵当到达时，也恰好回到， ∴， ∵， ∴，则， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴． 【融会贯通】 1．定义：如图①，射线在的内部，图中共有3个角：，，．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数＝______； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 【答案】(1)15°或20°或40°或45° (2)或或20 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握“妙分线”定义是解答本题的关键． （1）根据“巧分线”定义即可求解； （2）根据“巧分线”定义分4种情况：当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解： ，且射线在的“巧分线”， 或或或， ∵ 或或或； 故答案为：15°或20°或40°或45° （2）解：根据题意得： 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时， ， 解得． 此时，故不符合题意，舍去； 综上，当为或或20时，射线是的“巧分线”． 2．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不变，见解析 (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1），为的分位线，且； ， （2）①，分别为与的分位线，（，） ，， ，， ，， ，， ； ②不变；，分别为与的分位线，（，）， ， 若，的度数不会改变； （3）根据题意作图，如图所示 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ， 点、、在同一条直线上 ， ， 解得 的度数为或 3．定义若已知两个角、满足，则称、互为“差余角”，．    (1)若与互为“差余角”，当时，； (2)如图，，射线从开始绕点顺时针旋转，速度为度秒，同时，射线从开始绕点逆时针旋转，速度为度秒，当与重合时，与同时停止运动．设运动时间为秒． ① 当时，与互为“差余角”(填“是”或“不是”)； ② 若与互为“差余角”，求t的值； ③ 能否既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”，如果可以，求的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)①不是；②或 或；③不可以，理由见解析 【分析】本题考查了“差余角”的定义，解一元一次方程，角度的计算； （1）根据定义，即可求解； （2）①当时，，；，根据定义，即可求解； ②分时，时分别求得，根据新定义列出方程，解方程，即可求解； ③根据②的方法求得当与互为“差余角”时的值，与②的结果比较，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，当， ∴ 当，则（舍去） 故答案为：． （2）①当时，，， ∵ ∴与不是互为“差余角”， 故答案为：不是． ②∵，则经过秒相遇，与重合时， 当时，依题意，，， ∵与互为“差余角”， ∴ 解得：或 当时，依题意，，， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，或 或时与互为“差余角”； ③解：不能既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”理由如下， 当与互为“差余角” 当时， ， 解得：或（舍去） 当时， 解得：（舍去），（舍去） ∴时，当与互为“差余角” 由②可得或或时，与互为“差余角”； ∴不能既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角” 类型七、射线旋转求t 【解惑】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【融会贯通】 1．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 2．如图，已知，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；点、同时出发，同时射线绕着点从上以每秒的速度顺时计旋转，设运动时间是． (1)当点在上运动时，__________(用含的代数式表示)； (2)当点在线段上运动时，为何值时，？此时吗？如果是，请说明理由； (3)在射线上是否存在，相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时，理由见解析 (3)存在，，或， 【分析】本题考查了角度的计算，两点距离，一元一次方程的应用， （1）先确定的长度，然后根据、距离即可得出的长度； （2）根据得出的值，然后根据角的关系得出； （3）设、相距，则或，然后根据射线绕着点从上以每秒的速度顺时针旋转，分别求出的值，再求出的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 故答案为：； （2）由题意得，， ， 解得， ，， ； （3）设、相距， 则或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， ， 射线上存在、相距，，或，． 3．如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算以及角平分线的性质，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当第一次达到时，根据角之间的和差关系得到列出方程即可； （3）根据题意分三种情况进行分类讨论即可； 【详解】（1）解：由题意可得：射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转， ； （2）解：根据题意可得：， 当第一次达到时，， 即， 解得； （3）解：射线是由射线中的其中两条组成的角的平分线， ①平分， 解得； ②平分， ，即， ， 解得； ③平分， ， ， 解得； 综上所述，当的值分别为时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线． 类型八、三角板旋转求t 【解惑】如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或27 【分析】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键． （1）根据平角的概念求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意分还没追上和追上后两种情况讨论，然后分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得； （3）解：当还没追上时，， 解得； 当追上后，， 解得； 综上所述，或27． 【融会贯通】 1．如图，直线上有一点，过点在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，或20 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论． （1）设，则其补角为，根据题意列方程即可求得结果； （2）分两种情况讨论：当在直线上方时；当在直线下方时，分别列出算式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设，则其补角为， 由题意得：，解得：， 即； （2）存在，理由如下： ①当在直线上方时，此时平分， ， ， 当没有旋转时，，所以旋转了 则旋转的时间（秒）， ②当在直线下方时，如图， ，且， 即：， 旋转了， ， ，解得：， 综上所述，当或20时，． 2．将一副三角板如图放置，其中点、、在同一直线上，，，． (1)若与相交于点，则______； (2)将图中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，当为何值时，第一次与垂直； (3)绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，绕点以每秒的速度旋转时，两个三角形同时停止旋转，旋转过程中若射线、、的两条射线组成的角（大于不超过）恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，直接写出满足条件的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)或或 【分析】本题主要考查三角形的综合题、一元一次方程的应用： （1）根据三角形内角和为得出结论即可； （2）根据（1）中得出的夹角求出旋转角度，然后得出值即可； （3）分三种情况分别列方程求解即可． 熟练掌握三角形的内角和及一元一次方程的应用等知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ， 故答案为：． （2）若第一次与垂直时，， ， 旋转角度为， 即， 解得（秒）， 当为秒时，第一次与垂直． （3）当绕点以每秒的速度顺时针旋转时： 若平分和， ， 旋转角为， 即， 解得； 若平分和， 是， 旋转角为， 即， 解得； 若平分和， ， 旋转角度为， 即， 解得； 综上所述，若逆时针转符合条件的值为或；若顺时针转符合条件的值为或或． 3．【操作拼图】 已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】 （3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）75；（2）15秒或秒；（3）9秒或秒或27秒 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、角的和、差、倍、分的计算、角平分线的定义等知识，正确地用代式表示射线OB及射线OD转过的度数是解题的关键． （1）由，，得，于是得到问题的答案； （2）分两种情况讨论，一是在外部，且时，则，于是得，求得；二是在内部，且时，由，得，于是得，求得； （3）分三种情况讨论，列方程求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：75． （2）当在外部，且时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当在内部，且时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，旋转时间t的值为15秒或秒； （3）存在， 由得， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分时，则，    ∴， 解得； 当平分时，则，    ∴， 解得； 当平分时，则：，    ∴， 解得：； 综上所述，或或． 【一览众山小】 1．点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 【详解】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 2．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，找出变化的规律是解题的关键． 先向右翻滚，然后按逆时针方向旋转，叫做一次变换，那么连续次变换则是一个循环．本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余数是几，从而确定第次变换后的点数． 【详解】解：第一次变换后朝上一面的点数为5， 第二次变换后朝上一面的点数为6， 第三次变换后朝上一面的点数为3， 第四次变换后朝上一面的点数为5， 连续3次变换是一个循环， 余， 连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故选：． 3．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 4．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点在的左侧和右侧，分别画出图形，根据中点的性质求得，结合图形求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∵、分别是线段，的中点， ∴ ∴ 如图所示， ∵，， ∴ ∵、分别是线段，的中点， ∴ ∴ 故答案为：或． 5．【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①，；②；，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角的大小比较，掌握角的计算，角的大小比较方法是解题的关键． （1）根据图形中角的关系即可得出的度数．由题意，得，，进而得出，，然后根据角度运算可得出答案； （2）①根据角的运算可得出的度数，再根据计算即可得出的度数；先根据计算得出的度数，再根据角的运算即可得出的度数； ②由，，可得出，，则得出，进而得出，进而得出答案； （3）根据题意，由得出：，进而得出，由此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1）由题意，得，，， ∴， ， ∴． 故答案为：，； （2）①∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，； ②∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴ ， ∴与之间的数量关系是． 故答案为：； （3）与之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， 即， ∴ ． 6．线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解； （2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）解：设，，，则． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 7．如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)能重合， (4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 8．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或60或70秒 【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出； （2）先根据题意可得，，然后作差即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）平分， ， 三角板旋转的角：， （2）当在外部时，，理由如下： ，， ，， ； 当在内部时，，理由如下： ，， ； （3）射线平分，射线平分， ，， 选择前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，， ； ④，解得，， ， 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或70 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、七巧板问题 【解惑】用边长为1的正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，则阴影部分的面积是原正方形面积的（　　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，用一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按下面的做法做一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF；连接BD，交EF于G，交AC于H；将正方形ABCD沿画出的线剪开，现把它们拼成一座桥，如图右所示，这座桥阴影部分的面积是（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 2．在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为 平方厘米． 3．我们熟知的七巧板，是由宋代黄伯思设计的“燕几图”（“燕几”就是“宴几”，也就是宴请宾客的案几）演变而来.到了明代，严澄将“燕几图”里的方形案几改为三角形，发明了“蝶翅几”.而到了清代初期，在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形和平行四边形，能拼出更加生动、多样图案的七巧板就问世了（如图1网格中所示） （1）若正方形网格的边长为1，则图1中七巧板的七块拼板的总面积为_____________ （2）使用图1中的七巧板可以拼出一个轮廓如图2所示的长方形，请在图2中画出拼图方法（要求：画出各块拼板的轮廓） （3）随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板，如图3所示的是另一种七巧板.利用图3中的七巧板可以拼出一个轮廓如图4所示的图形；大正方形的中间去掉一个小正方形，请在图4中画出拼图的方法（要求：画出各块拼板的轮廓） 类型二、最短问题 【解惑】已知是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T〈M，N，S，T均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（ ）． A．M B．N C．S D．T 【融会贯通】 1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 2．如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有 种． 3．尺规作图：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．    (1)在图（1）中，请在直线上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出作图的依据； (2)在图（2）中，连接，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足． 类型三、线段的n等分点的计算 【解惑】已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 【融会贯通】 1．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，若线段的长为，则线段的长度是（   ） A．10 B．9 C．7或9 D．8或10 2．如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 3．如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 类型四、角n等分线的计算 【解惑】如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【融会贯通】 1．如图，BD在∠ABC的内部，∠ABD＝∠CBD，如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝（　　） A． B．20° C．60° D． 2．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 3．将一直角三角板的直角顶点放在直线上的点处，过点作射线. (1)已知， ①如图1，当在射线上时，的度数为________； ②如图2，当在内部时，若，求的度数； (2)如图3，，在内部，.在图中画射线，使为的三等分线，且.当时，探究与的数量关系，并说明理由. 类型五、线段的新定义 【解惑】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，线段的中点表示的数为．已知有理数a，b，B，C，其中b是最小的正整数，a和c满足． (1)填空：　　，　　，　　； (2)现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，的长度是长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段的中点Q进行折叠，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 【融会贯通】 1．【定义】已知是线段上的一个分点，若在得到的三条线段，，中，有一条线段是另外一条线段的2倍，则称点为线段的“梦点”． (1)直接回答线段的中点是不是这条线段的“梦点”？ (2)如图，已知线段，点为线段的“梦点”，求线段的长； 【应用】 (3)如图2，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为12，边长为3．将长方形沿数轴正方向水平移动，使移动后的长方形与原长方形有重叠部分（图3中阴影部分），设重叠部分的面积为，点的移动距离为． ①当时，求的值； ②若为线段的中点，点在线段上，且，当点为线段的“梦点”时，求所有可能的值． 2．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为，其中是点A，B的“联盟点”的是__________； (2)点A表示的数是，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点： ①若点P在线段上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数： ②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数． 3．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（，），M为线段AB的中点．给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”．例如，时，A是B的“正比点”；，时，A是B的“反比点”． (1)若，则M对应的数为______，下列说法正确的是______（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”； (2)若，且M是A的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 类型六、角的新定义 【解惑】射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为．例如，如图1，，，则，即，反之，则． (1)如图2，射线在的内部． ①若射线是的平分线，则______； ②若，，则______； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒． ①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值； ②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【融会贯通】 1．定义：如图①，射线在的内部，图中共有3个角：，，．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数＝______； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 2．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 3．定义若已知两个角、满足，则称、互为“差余角”，．    (1)若与互为“差余角”，当时，； (2)如图，，射线从开始绕点顺时针旋转，速度为度秒，同时，射线从开始绕点逆时针旋转，速度为度秒，当与重合时，与同时停止运动．设运动时间为秒． ① 当时，与互为“差余角”(填“是”或“不是”)； ② 若与互为“差余角”，求t的值； ③ 能否既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”，如果可以，求的值，如果不可以，请说明理由． 类型七、射线旋转求t 【解惑】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 2．如图，已知，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；点、同时出发，同时射线绕着点从上以每秒的速度顺时计旋转，设运动时间是． (1)当点在上运动时，__________(用含的代数式表示)； (2)当点在线段上运动时，为何值时，？此时吗？如果是，请说明理由； (3)在射线上是否存在，相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 3．如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 类型八、三角板旋转求t 【解惑】如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 【融会贯通】 1．如图，直线上有一点，过点在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； 2．将一副三角板如图放置，其中点、、在同一直线上，，，． (1)若与相交于点，则______； (2)将图中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，当为何值时，第一次与垂直； (3)绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，绕点以每秒的速度旋转时，两个三角形同时停止旋转，旋转过程中若射线、、的两条射线组成的角（大于不超过）恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，直接写出满足条件的值． 3．【操作拼图】 已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】 （3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【一览众山小】 1．点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 2．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 4．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，则线段的长度是 ． 5．【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 6．线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 7．如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 8．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$