精品解析：江西省新余市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年江西省新余市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 某种流感病毒的直径在米左右，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解； 【详解】解：A、，此选项错误；不符合题意， B、，此选项错误；不符合题意， C、，此选项正确；符合题意， D、，此选项错误．不符合题意， 故选：C 4. 若一个三角形两边长分别为和，则第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系可得： 第三边， 即：第三边， ∴第三边长可以． 故选：C． 5. 如图，小明用4张A类正方形卡片，1张B类正方形卡片和4张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出9张卡片的总面积，根据完全平方公式即可求解．本题考查完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式． 【详解】解：由题意可知：9张卡片的总面积， ∵， ∴拼成的大正方形的边长， 故选：D． 6. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故选A. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 计算：_________． 【答案】9999 【解析】 【分析】根据平方差公式即可进行简便计算． 【详解】（100-1）×（100+1）=1002-12=10000-1=9999 故答案为：9999． 【点睛】此题主要考查平方差公式的运用，解题的关键是熟知平方差公式的特点． 8. 若分式无意义，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】分式无意义，则分式中的分母为0. 【详解】∵分式无意义 ∴，解得 故答案为： 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是根据分式无意义判断分母的值为0. 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据点坐标关于轴对称变换规律求出的值，再代入计算即可得．本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据任何多边形的外角和都是，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 本题考查了多边形的内角和外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 【详解】解：多边形的边数为：， 正多边形的内角和的度数是：， 故答案为： 11. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________. 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，连接，根据三线合一定理得到，进而根据三角形面积公式求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，故当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边长为4，点为的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积是24， ∴， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故答案为：14． 12. 如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是____________. 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数． 【详解】解：， ，， 是等边三角形， ，即， ，又， 是等边三角形， ， ， ， ， 若，则， 即 解得：； 若，则， 即 解得：； 若，则， 即， 解得：； 综上所述，当是等腰三角形时，的度数是或或． 故答案为：或或． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算： （2）若，，求的值. 【答案】（1）0；（2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）∵，， ∴． 14. 油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗产．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？ 【答案】始终平分同一平面内两条伞骨所成的，理由见解析 【解析】 【分析】根据三角形“”判定和全等，根据全等三角形的性质即可说明． 【详解】理由： 在和中 ， ， ， 即平分． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形“边边边”全等判定定理是解决本题的关键． 15. 以下是某同学解分式方程的过程： 解：方程两边同时乘，得…………① …………② 解得…………③ 检验：当时，…………④ 所以，原分式方程的解为.…………⑤ 老师批改后说答案错了，请问是从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】②，过程见解析， 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤一步步检查即可判断出现错误的步骤，再按照解分式方程的步骤进行计算即可．本题主要考查了解分式方程，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键． 【详解】第②步去分母结果错误，因此解法从第②步开始出现错误． 故答案为：②； 正确过程如下： 方程两边同时乘，得 解得 检验：当时， 所以是原方程的解． 16. 先化简：，然后在5，2，0这三个数中选取一个合适的数作为a的值代入计算. 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的除法法则和约分进行计算，再进行分式的减法即可得到化简结果，最后把分式有意义的字母值代入化简结果计算即可.此题考查了分式的混合运算和化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键. 【详解】解： 当或时，分式无意义， 当时， 原式 17. 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点A求作此正五边形的对称轴； （2）如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、、、，设和交于点F，连接即可； （2）连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点． 【小问1详解】 解：连接、、、，设和交于点F，连接，则为正五边形的对称轴，如图所示： ∵五边形为正五边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴为正五边形的对称轴． 小问2详解】 解：连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点，如图所示： 根据解析（1）可知，为正五边形的对称轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，正五边形的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 18. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，重叠部分为． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称，等腰三角形的判定，三角形的面积公式． （1）由矩形的性质可得，由折叠可得，从而，进而得证结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵在矩形中，， ∴， ∵折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵在矩形中，， ∴． 19. 某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？ （2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？ 【答案】（1）50元 （2）27个 【解析】 【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x＋30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可； （2）设小区一次性购买A型垃圾桶y个，则购买B型垃圾桶（60−y）个，根据“总费用不超过4000元”列出不等式并解答． 【小问1详解】 解：设购买一个A型垃圾桶需元． 根据题意得： 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：购买一个A型垃圾桶需50元． 【小问2详解】 解：设购买个A型垃圾桶， 解得：， 答：最少要购买27个A型垃圾桶． 【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的数量关系列出方程是解决问题的关键． 20. 课本再现：如图1，在等腰中，因为，过点A作于点D，所以，均为直角三角形，由，， 可得，因此，， 由上面推理我们发现了等腰三角形的两条性质如下： 性质1：等腰三角形的两个底角相等； 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）. （1）请你在备用图中用添加其他辅助线的方法，证明等腰三角形的这两条性质. （2）如图2，在中，，运用上述等腰三角形的性质证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作等腰底边上的中线，证明，得出，，，根据，证明，即可证明结论； （2）过点A作于点D，先证明，根据三线合一得出，，根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：作等腰底边上的中线，如图所示： 则， ∵在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）． 【小问2详解】 证明：过点A作于点D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; 【小问2详解】 解：设 , 由（1）知，在和中， ， 解得 22. 整体思想是数学解题中常见一种思想方法．阅读下列材料： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“” 看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 问题： （1）该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______； （2）根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （3）根据材料，请模仿以上方法尝试计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设…，则原式…，再将y代入即可求解． 【小问1详解】 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， 原式 ； 【小问3详解】 解：设…， 原式…… ……… … … …… 23. 【阅读理解】 （1）如图1，点A，B，C在同一直线上，于点A，于点C，，，求证：； 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，，分别连接，，设与x轴正半轴的夹角为，与x轴正半轴的夹角为，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，轴于点F，设点G为x轴上的一动点，当满足时，求OG的长. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，根据，得出，求出，根据等腰三角形的性质即可证明结果； （2）作点B关于x轴的对称点C，连接，，根据对称性得出得出，根据两点间距离公式求出，，，根据，得出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （3）取中点H，连接并延长，取，连接，过点F作于点N，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作点B关于x轴的对称点C，连接，，如图所示： 根据对称性可知，， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）取中点H，连接并延长，取，连接，过点F作于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∵中点H， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江西省新余市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某种流感病毒的直径在米左右，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个三角形两边长分别为和，则第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明用4张A类正方形卡片，1张B类正方形卡片和4张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一张三角形纸片一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 计算：_________． 8. 若分式无意义，则=________． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则__________. 10. 已知一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为______． 11. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________. 12. 如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是____________. 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算： （2）若，，求的值. 14. 油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗产．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？ 15. 以下是某同学解分式方程过程： 解：方程两边同时乘，得…………① …………② 解得…………③ 检验：当时，…………④ 所以，原分式方程的解为.…………⑤ 老师批改后说答案错了，请问是从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 16. 先化简：，然后在5，2，0这三个数中选取一个合适的数作为a的值代入计算. 17. 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点A求作此正五边形的对称轴； （2）如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使． 18. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，重叠部分为． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 19. 某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？ （2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？ 20. 课本再现：如图1，在等腰中，因为，过点A作于点D，所以，均为直角三角形，由，， 可得，因此，， 由上面推理我们发现了等腰三角形的两条性质如下： 性质1：等腰三角形两个底角相等； 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）. （1）请你在备用图中用添加其他辅助线的方法，证明等腰三角形的这两条性质. （2）如图2，在中，，运用上述等腰三角形的性质证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求长． 22. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“” 看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 问题： （1）该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______； （2）根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （3）根据材料，请模仿以上方法尝试计算：． 23. 【阅读理解】 （1）如图1，点A，B，C同一直线上，于点A，于点C，，，求证：； 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，，分别连接，，设与x轴正半轴的夹角为，与x轴正半轴的夹角为，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，轴于点F，设点G为x轴上的一动点，当满足时，求OG的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $