5.3分式的加减 习题 2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

5.3分式的加减 习题 2024-2025学年 北师大版数学八下 一、单选题 1．下列各式变形中，正确的是（） A． B． C． D． 2．下列选项正确的是（   ） A．分式的最简公分母是 B． C． D．分式 中的a，b同时扩大2倍值不变 3．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A．1 B． C．3 D． 5．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则分式的值是 ． 7．甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天的工作量是 ． 8．若，则 ． 9．若a，b互为倒数，且，则分式 的值为 ． 10．已知实数满足，则 ． 11．已知函数，那么 ． 12．若，则 ． 13．如图（1），标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个面积相等的长方形，已知Ⅰ和Ⅱ能够完全重合，Ⅲ和Ⅳ能够完全重合，如图（2），将这四个长方形不重叠地围成两个新的长方形和长方形．若设，其中，且代数式，则 ． 三、解答题 14．先化简，再求值：，其中． 15．先化简，再求值：，其中． 16．小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如下： 解：    ①                     ②                          ③ 当时，原式                      ④                         ⑤ (1)请指出他解答过程中开始出现错误的步骤是_________；（填序号） (2)写出正确的完整解答过程． 17．已知，求的值． 18．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可以买50份奖品．问：这笔钱全部用来买钢笔或日记本，各可买多少？ 19．有这样一道题：“计算：的值，其中”甲同学把“”错抄成“”，但他计算结果也是正确的．请你具体解释这是怎么回事． 20．已知：，． (1)当时，比较与的大小，并说明理由； (2)设，若是整数，求的整数值． 21．因为，所以（第一步） 所以．（第二步） (1)回答问题： ①第一步运用了 ___________的基本性质； ②第二步的解题过程运用了 ___________的方法，是对分式进行了 ___________． (2)模仿材料解答：已知，求的值． 22．已知 (1)化简W； (2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 23．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 24．阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C B A A 1．D 【分析】本题考查了分式的加减法、合并同类项、同底数幂的乘法完全平方公式，解题的关键熟练运用运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A．与不是同类项，无法合并，故错误，不符合题意 B．，原计算错误，不符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，故原化简正确，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了最简公分母和分式的性质，A中两个分式的最简公分母为；根据分式的基本性质可判断B、C、D；分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变． 【详解】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意； B．，原说法错误，不符合题意； C．，原说法正确，符合题意； D．分式 中的a，b同时扩大2倍变为，即分式 中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】此题主要考查分式的加减运算、乘方运算以及分式的约分，熟记运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算法则以及分式的约分进行化简计算即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了分式化简和代数式求值，先化简得，再将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 5．A 【分析】此题考查了通分，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是 故选：A． 6．2 【分析】本题考查的是分式的化简求值，由，根据完全平方公式得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 7． 【分析】本题考查的是列代数式中的分式，分式的加法运算，根据两队的工作时间可得每天的工作效率，再列式计算即可. 【详解】解：∵甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程， ∴乙工程队完成一项工程需天， ∴两队共同工作一天的工作量是：， 故答案为： 8． 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，整体代入是解题的关键，注意符号问题． 由已知条件化简得到，整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 9． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据倒数的定义得到，再根据分式的减法计算法则把所求式子先化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得：，，代入原式后化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴代入到上式，即原式， ， ， ， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查了函数值、分式求值，看懂函数解析式是解题的关键． 把自变量的值代入函数解析式即可求解， 【详解】解：， 把代入得 ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，分式的加减，根据题意，则，把代入，即可． 【详解】解：∵， 把代入， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键． 根据得出，设设四个长方形的面积都是，可得，，然后用表示长方形和长方形的边长和面积，进而求出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴，则， ∵设四个长方形的面积都是， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为：． 14．， 【分析】本题主要考查分式的化简求值和二次根式的性质，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 16．(1)① (2)，，过程见解析． 【分析】此题考查了分式的化简求值． （1）根据分式加法运算步骤进行判断即可； （2）先通分把异分母分式加法变为同分母分式加法，再进行计算即可． 【详解】（1）解：他解答过程中开始出现错误的步骤是①，理由是： 这是分式的加减法，不是解分式方程，不能去分母； 故答案为：① （2）解：     当时， 原式                       17．， 【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【详解】解：， 由题意可知：， 解得：，． 18．这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本 【分析】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．设钢笔每支元，日记每本元，根据题意可求出，分别代入即可求出答案． 【详解】解：设钢笔每支元，日记本每本元，由题意可知 ， 化简得， 钢笔可买， 日记本可买， 答：这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 19．他的计算结果也是正确的，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可． 【详解】解： ， 无论x为何值，原分式均为0， 他的计算结果也是正确的． 20．(1)，见解析 (2)3或或或 【分析】本题考查分式的加减运算： （1）作差法比较分式的大小即可； （2）先根据分式的减法运算，求出，再根据是整数，也是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：， ， ， ． （2）解：， 均为整数， 的值为，， 的整数值为3或或或． 21．(1) (2)； 【分析】本题考查了分式的化简求值，积的乘方以及负整数指数幂的计算； （1）根据异分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，根据已知等式得出，据此求出x的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 原式 22．(1)等式；代入，约分 (2) 【分析】本题主要考查了等式的性质，约分，分式化简求值等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据等式的基本性质、约分的定义进行解答即可； （2）令，再用表示出、、的值，然后代入分式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步运用了等式的基本性质； 第二步的解题过程运用了代入的方法，由得到，是对分式进行了约分； 故答案为：等式；代入，约分； （2）解：， 令，则，，， 原式． 23．(1) (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴a可以取得整数为2或4， 当时，； 当时，． 24．(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 25．（1）1；；（2）；（3）或或2或 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可． 【详解】解：（1）∵ 又， ∴； ∵ ， 又， ∴， 故答案为：1；； （2）∵ ， 又， ∴； （3） ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴或， ∴或或2或． 26．5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$